2022高考数学一轮复习课时作业49直线与圆圆与圆的位置关系理.doc

课时作业49　直线与圆、圆与圆的位置关系
[基础达标]
一、选择题
1．[2020·江西上饶一模]直线ax－by＝0与圆x2＋y2－ax＋by＝0的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
解析：圆的方程可化为2＋2＝，圆心坐标为，半径r＝，圆心到直线ax－by＝0的距离d＝＝＝r，故直线与圆相切．
答案：B
2．[2020·菏泽模拟]已知圆(x－1)2＋y2＝1被直线x－y＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为(　　)
A．1:2　B．1:3
C．1:4 D．1:5
解析：(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d＝＝，所以较短弧所对的圆心角为，较长弧所对的圆心角为，故两弧长之比为1:2.选A.
答案：A
3．[2020·山西太原模拟]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)
A．21 B．19
C．9 D．－11
解析：圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m<25)．从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C.
答案：C
4．[2020·河北九校联考]圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　)
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
解析：由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则＝2，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.
答案：C
5．[2019·山东济宁期末]已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝9，过点M(1,1)的直线l与圆C交于A，B两点，当弦长AB最短时，直线l的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．x＋2x－8＝0
C．2x－y＋1＝0 D．x＋2y－3＝0
解析：根据题意，圆C的圆心C(2,3)，半径r＝3.当CM与AB垂直时，即M为AB的中点时，弦长AB最短，此时CM的斜率kCM＝＝2，则AB的斜率kAB＝－，所以直线AB的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0，故选D.
答案：D
二、填空题
6．[2020·北京师大附中月考]过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，则l的方程为________．
解析：将圆的方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，则圆心的坐标为(－1,2)，半径等于5，设圆心到直线的距离为d，
则8＝2，得d＝3.
当直线l的斜率不存在时，方程为x＝－4，满足条件．
当直线l的斜率存在时，设斜率等于k，直线l的方程为y－0＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，
由圆心到直线的距离d＝＝3，
解得k＝－，则直线l的方程为y＝－(x＋4)，即5x＋12y＋20＝0.
综上，满足条件的直线l的方程为x＝－4或5x＋12y＋20＝0.
答案：x＝－4或5x＋12y＋20＝0
7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.
解析：方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4.
两式相减得：2ay＝2，则y＝.
由已知条件＝，即a＝1.
答案：1
8．[2019·浙江卷]已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.
解析：解法一　设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝＝.
解法二　因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以×2＝－1，所以m＝－2，r＝＝.
答案：－2　
三、解答题
9．[2020·山东夏津一中月考]已知圆C的圆心在直线x＋y＋1＝0上，半径为5，且圆C经过点P(－2,0)和点Q(5,1)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过点A(－3,0)且与圆C相切的切线方程．
解析：(1)设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝25，点C在直线x＋y＋1＝0上，则有a＋b＋1＝0.圆C经过点P(－2,0)和点Q(5,1)，则解得所以圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
(2)设所求直线为l.①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程是x＝－3，与圆C相切，符合题意．
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＝0.
由题意知，圆心C(2，－3)到直线l的距离等于半径5，即＝5，解得k＝，故切线方程是y＝(x＋3)．综上，所求切线方程是x＝－3或y＝(x＋3)．
10．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解析：(1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.
设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2.
又|O1O2|＝＝2，
所以r2＝|O1O2|－r1＝2－2.
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
相减得AB所在的直线方程为4x＋4y＋r－8＝0.
设线段AB的中点为H，
因为r1＝2，所以|O1H|＝＝.
又|O1H|＝＝，
所以＝，解得r＝4或r＝20.
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
[能力挑战]
11．[2020·江西吉安五校联考]若直线mx＋2ny－4＝0(m，n∈R，n≠m)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0，则mn的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(－1,0)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
解析：x2＋y2－4x－2y－4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，∵直线mx＋2ny－4＝0(m，n∈R，m≠n)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0，∴圆心(2,1)在直线mx＋2ny－4＝0上，得m＋n＝2，n＝2－m，∴mn＝m(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1，∵m≠n，∴m≠1，∴mn<1.故选C.
答案：C
12．[2019·江西师范大学附中期末]已知对任意实数m，直线l1：3x＋2y＝3＋2m和直线l2：2x－3y＝2－3m分别与圆C：(x－1)2＋(y－m)2＝1相交于A，C和B，D，则四边形ABCD的面积为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由直线l1：3x＋2y＝3＋2m和直线l2：2x－3y＝2－3m，易得l1⊥l2，得S四边形ABCD＝AC·BD.由题可知，l1，l2过圆心C，所以AC＝BD＝2，所以S四边形ABCD＝2，故选B.
答案：B
13．[2020·山东实验中学质量检测]过直线l：x＋y＋1＝0上一点P作圆C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB的面积为3，则点P的横坐标为________．
解析：圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C的坐标为(2,1)，半径为1.因为四边形PACB的面积为3，所以|PA|·1＝3.连接PC，在直角三角形PAC中，由勾股定理可得，|PC|＝＝.设P(a，－a－1)，则＝，解得a＝－1或a＝1.
答案：－1或1