2022高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第6讲双曲线课时作业含解析北师大版.doc

双曲线
课时作业
1．双曲线－＝1(0<m<3)的焦距为(　　)
A．6 B．12
C．36 D．2
答案　B
解析　c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6.双曲线的焦距为12.
2．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点是(0,3)，那么k的值是(　　)
A．1 B．－1
C． D．－
答案　B
解析　∵双曲线8kx2－ky2＝8，焦点在y轴上，∴双曲线的标准方程为－＝1，又c＝3，∴－－＝9，解得k＝－1.
3．(2022·湖南永州模拟)焦点是(0，±2)，且与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是(　　)
A．x2－＝1 B．y2－＝1
C．x2－y2＝2 D．y2－x2＝2
答案　D
解析　由，双曲线焦点在y轴上，且为等轴双曲线，应选D．
4．(2022·辽宁凌源联考)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的顶点(a,0)到渐近线y＝x的距离为，那么双曲线C的离心率是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　A
解析　因为顶点(a,0)到渐近线y＝x的距离d＝＝，所以＝，所以e＝＝2.应选A．
5．(2022·山东滕州月考)双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，假设双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，那么|NO|等于(　　)
A． B．1
C．2 D．4
答案　D
解析　由双曲线－＝1，知a＝5，由双曲线定义，得|MF2|－|MF1|＝2a＝10，得|MF1|＝8，所以|NO|＝|MF1|＝4.
6．虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，那么△ABF2的周长为(　　)
A．3 B．16＋
C．12＋ D．24
答案　B
解析　由于2b＝2，e＝＝3，∴b＝1，c＝3a，
∴9a2＝a2＋1，∴a＝.
由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a＝，①
|BF2|－|BF1|＝，②
由①＋②，得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝，
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，
∴|AF2|＋|BF2|＝8＋，
那么△ABF2的周长为16＋，应选B．
7．(2022·全国卷Ⅲ)F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．假设|OP|＝|OF|，那么△OPF的面积为(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，那么解得所以P，所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.应选B．
8．过双曲线－＝1(a>0)的右焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|＝6，假设这样的直线有且只有两条，那么a的取值范围是(　　)
A．(0,1]∪(3，＋∞) B．(0,1)∪(3，＋∞)
C．(0,1) D．(3，＋∞)
答案　B
解析　假设A，B在同一支上，那么有|AB|min＝＝；
假设A，B不在同一支上，那么|AB|min＝2a.依题意，
得与2a不可能同时等于6，所以或
解得a>3或0<a<1，应选B．
9．点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，那么|PQ|－|PR|的最大值是(　　)
A．6 B．8
C．10 D．12
答案　C
解析　由题意可知点C3，C2分别是双曲线C1：－＝1的左、右焦点，点P在双曲线的左支上，那么|PC2|－|PC3|＝8.|PQ|max＝|PC2|＋1，|PR|min＝|PC3|－1，所以|PQ|－|PR|的最大值为(|PC2|＋1)－(|PC3|－1)＝|PC2|－|PC3|＋2＝8＋2＝10.应选C．
10．(2022·河南豫南、豫北联考)直线y＝x＋1与双曲线－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，且线段AB的中点M的横坐标为1，那么该双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C．2 D．
答案　B
解析　由题意得M(1,2)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入双曲线方程，两式相减并整理得＝＝kAB·kOM＝2.∴b2＝2a2，即c2－a2＝2a2，∴e＝.应选B．
11．(2022·安徽淮南联考)双曲线－＝1的右焦点F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，那么△APF的周长的最小值为(　　)
A．4＋ B．4(1＋)
C．2(＋) D．＋3
答案　B
解析　双曲线－＝1的右焦点为F(，0)，设其左焦点为F′.△APF的周长l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a＋|PF′|，要使△APF周长最小，只需|AP|＋|PF′|最小．如图，当A，P，F′三点共线时l取到最小值，且lmin＝2|AF|＋2a＝4(1＋)．应选B．
12．(2022·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.假设|PF1|＝|OP|，那么C的离心率为(　　)
A． B．2
C． D．
答案　C
解析　由题可知|PF2|＝b，|OF2|＝c，∴|PO|＝a.
在Rt△POF2中，cos∠PF2O＝＝，
∵在△PF1F2中，
cos∠PF2O＝＝，
∴＝⇒c2＝3a2，∴e＝.应选C．
13．双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，那么该双曲线的标准方程为________．
答案　－y2＝1
解析　根据渐近线方程为x±2y＝0，可设双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，)，所以42－4×()2＝λ，即λ＝4.故双曲线的标准方程为－y2＝1.
14．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝，那么双曲线的渐近线方程为________．
答案　y＝±x
解析　根据可得，|PF2|＝且|PF1|＝，故－＝2a，所以＝2，＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x.
15．(2022·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．假设＝，·＝0，那么C的离心率为________．
答案　2
解析　解法一：由＝，得
A为F1B的中点．
又O为F1F2的中点，∴OA∥BF2.
又·＝0，∴∠F1BF2＝90°.
∴|OF2|＝|OB|，∴∠OBF2＝∠OF2B．
又∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，
∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，
∴△OBF2为等边三角形．
如图1所示，∵点B在直线y＝－x上，
∴－＝－，∴离心率e＝＝＝2.
解法二：∵·＝0，
∴∠F1BF2＝90°.
在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c.
如图2，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，
可得＝，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，
∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F2(c,0)．
又＝，∴A为F1B的中点．
∴OA∥F2B，∴＝，∴c＝2a，
∴离心率e＝＝2.
16．(2022·泉州摸底)F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝，P为双曲线C右支上一点，I为△PF1F2的内心，假设S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，那么双曲线的离心率为________，λ的值为________．
答案　　
解析　由F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝，可得2c＝＝，化简得e2－e－1＝0.∴e>1，∴e＝.设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，S△IPF1＝|PF1|·r，S△IPF2＝|PF2|·r，S△IF1F2＝·2c·r＝cr，由S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2得，|PF1|·r＝·|PF2|·r＋λcr，故λ＝＝＝＝.
17．(2022·上海崇明模拟)点F1，F2为双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2＝30°.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求·的值．
解　(1)设F2，M的坐标分别为(，0)，(，y0)(y0>0)，
因为点M在双曲线C上，所以1＋b2－＝1，
那么y0＝b2，所以|MF2|＝b2.
在Rt△MF2F1中，∠MF1F2＝30°，|MF2|＝b2，
所以|MF1|＝2b2.
由双曲线的定义可知，|MF1|－|MF2|＝b2＝2，
故双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)由条件可知，两条渐近线分别为
l1：x－y＝0，l2：x＋y＝0.
设双曲线C上的点P(x0，y0)，两条渐近线的夹角为θ，由题意知cosθ＝.
那么点P到两条渐近线的距离分别为
|PP1|＝，|PP2|＝.
因为P(x0，y0)在双曲线C：x2－＝1上，
所以2x－y＝2.
所以·＝··cosθ＝·＝.
18．双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)假设双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
解　(1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b，
∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，
∴双曲线方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，
∴x0＝y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程，得3y＋y＝c2，即y0＝c，
∴x0＝c，∴点A的坐标为，将其代入双曲线方程，得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2.②
又a2＋b2＝c2，
∴将b2＝c2－a2代入②式，
整理得c4－2a2c2＋a4＝0，
∴34－82＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0.
∵e>1，∴e＝，∴双曲线的离心率为.
19．(2022·承德模拟)点M(－2,0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|－|PN|＝2，记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程；
(2)假设A和B是W上的不同两点，O是坐标原点，求·的最小值．
解　(1)由|PM|－|PN|＝2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，半实轴长a＝.
又焦距2c＝4，所以半虚轴长b＝＝.
所以W的方程为－＝1(x≥)．
(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
当AB⊥x轴时，x1＝x2，y1＝－y2，
从而·＝x1x2＋y1y2＝x－y＝2.
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m(k≠±1)，与W的方程联立，消去y得(1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0，
那么x1＋x2＝，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)
＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝＋＋m2
＝＝2＋.
又因为x1x2>0，所以k2－1>0.所以·>2.
综上所述，当AB⊥x轴时，·取得最小值2.
20．中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)假设直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．
解　(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由，得a＝，c＝2.由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)由得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴
可得m2>3k2－1且k2≠.①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为B(x0，y0)．
那么x1＋x2＝，x0＝＝，
y0＝kx0＋m＝.
由题意，知AB⊥MN，
∴kAB＝＝－(k≠0，m≠0)，
整理得3k2＝4m＋1.②
将②代入①，得m2－4m>0，∴m<0或m>4.
又3k2＝4m＋1>0(k≠0)，∴m>－，
又k2≠，∴m≠0，
∴m的取值范围是∪(4，＋∞)．