江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十二简单的三角恒等变换理含解析苏教版.doc

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课时跟踪检测（二十二）简单的三角恒等变换
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1．(2018·东台期末)已知α∈(0，π)，tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝________.
解析：由α∈(0，π)，tan α＝2＝，得α为锐角，
结合sin2α＋cos2α＝1，可得sin α＝，cos α＝，
∴cos 2α＋cos α＝2cos2α－1＋cos α＝2×－1＋＝.
答案：
2．(2018·苏州高三期中调研)已知tan＝2，则cos 2α＝________.
解析：cos 2α＝sin＝2sincos＝＝＝－.
答案：－
3．(2018·通州期末)已知cos＝，则sin＝________.
解析：∵cos＝，
∴sin＝sin
＝cos＝2cos2－1
＝2×2－1＝－.
答案：－
4．化简：＝________.
解析：原式＝
＝＝＝.
答案：
5．已知tan(3π－x)＝2，则＝________.
解析：由诱导公式得tan(3π－x)＝－tan x＝2，
故＝＝＝－3.
答案：－3
6．(2019·宜兴检测)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足4cos2 － cos 2(B＋C)＝，则角A的大小为________．
解析：由4cos2－cos 2(B＋C)＝，
得2(1＋cos A)－cos 2(π－A)＝，
化简得4cos2A－4cos A＋1＝0，解得cos A＝，
∵0＜A＜π，故A＝.
答案：
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1．(2018·金陵中学检测)已知sin＝cos，则cos 2α＝________.
解析：因为sin＝cos，
所以cos α－sin α＝cos α－sin α，
即sin α＝－cos α，
所以tan α＝＝－1，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0.
答案：0
2．(2019·苏州中学模拟)已知α∈，sin＝，则tan 2α＝________.
解析：由sin＝－cos α＝，可得cos α＝－.
又α∈，∴sin α＝，tan α＝＝－，
∴tan 2α＝＝.
答案：
3．(2018·通州期中)计算：tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝________.
解析：tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20° tan 40°＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.
答案：
4．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝________.
解析：由题意得tan α＋tan β＝－3＜0，tan αtan β＝4＞0，所以tan(α＋β)＝＝，且tan α＜0，tan β＜0，又α，β∈，故α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.
答案：－
5．(2019·如东中学月考)已知cos＝，≤α≤，则cos＝________.
解析：∵≤α≤，cos＝＞0，
∴＜α＋≤，
∴sin＝－ ＝－，
∴sin α＝sin＝sin－cos＝－，
cos α＝－＝－，
∴cos 2α＝2cos2α－1＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝，
则cos＝cos 2α－sin 2α＝－.
答案：－
6．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β的值为________．
解析：因为cos(α＋β)＝，
所以cos αcos β－sin αsin β＝.①
因为cos(α－β)＝，
所以cos αcos β＋sin αsin β＝.②
①＋②得cos αcos β＝.
②－①得sin αsin β＝.
所以tan αtan β＝＝.
答案：
7．若tan α＋＝，α∈，则sin＝________.
解析：由tan α＋＝，得＋＝，所以＝，所以sin 2α＝.
因为α∈，所以2α∈，所以cos 2α＝－.所以sin＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＝×＝－.
答案：－
8．(2019·南京模拟)若tan α＋＝，α∈，则sin＋2coscos2α的值为________．
解析：∵tan α＋＝，α∈，
∴tan α＝3或tan α＝(舍去)，
则sin＋2coscos2α
＝sin 2αcos＋cos 2αsin＋·
＝sin 2α＋cos 2α＋
＝·＋·＋
＝·＋·＋
＝×＋×＋＝0.
答案：0

9．(2018·南通调研)已知sin＝，α∈.
求：(1)cos α的值；
(2)sin的值．
解：(1)因为α∈，所以α＋∈，
又sin＝，
所以cos＝－ ＝－ ＝－.
所以cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝－×＋×＝－.
(2)因为α∈，cos α＝－，
所以sin α＝＝ ＝.
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－.
所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝×－×＝－.
10．(2019·扬州调研)已知cos＝，α∈.
(1)求sin α的值；
(2)若cos β＝，β∈(0，π)，求cos(α－2β)的值．
解：(1)∵cos＝，α∈，
∴sin＝ ＝，
∴sin α＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.
(2)由(1)知cos α＝＝，
∵cos β＝，β∈(0，π)，∴sin β＝＝，
∴cos 2β＝2cos2β－1＝－，sin 2β＝2sin βcos β＝2××＝，
∴cos(α－2β)＝cos αcos 2β＋sin αsin 2β＝×＋×＝.
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1．(2018·启东高三测试)若sin 2α＝2cos，则sin 2α＝________.
解析：因为sin 2α＝2cos，所以sin22α＝4cos2，即sin22α＝4×，所以sin22α＝2(1＋sin 2α)，解得sin 2α＝1±，显然sin 2α＝1＋不成立，所以sin 2α＝1－.
答案：1－
2．化简：coscoscoscoscos＝________.
解析：原式＝－coscoscoscoscos
＝－
＝－＝＝＝.
答案：
3．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．
(1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f 2(x)在区间上的值域．
解：(1)因为角α的终边经过点P(－3，)，
所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
所以sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.
(2)因为f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，x∈R，
所以g(x)＝cos－2cos2x＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1，
因为0≤x≤，所以－≤2x－≤.
所以－≤sin≤1，所以－2≤2sin－1≤1，
故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．