高考数学艺体生好题突围系列基础篇专题16二项式定理及其应用理.doc

专题16 二项式定理及其应用（理）

利用二项式定理求指定项
【背一背基础知识】
1．二项式定理：，二项式定理的右边是一个关于的次齐次多项式，即每一项都是次的（的指数与的指数之和为），展开式中共有项，从左向右，各项系数依次为，字母按降幂排列，字母按升幂排列．
2．二项展开式的通项公式：（）．二项展开式共有项，其通项是指第项．
【讲一讲基本技能】
1．必备技能：这类问题我们主要掌握住其展开式的通项公式，如果直接要求某一项（如第几项或者展开式中含的项），那就直接用通项公式写出这项即可；一般这类问题可能是在中含有参数，已知某一项要求另一项或参数，同样我们是把已知项用通项公式写出求出参数，再去求题设要求的那一项．
2．典型例题
例1．在的展开式中，含项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】项数不太多，可以直接由二项式定理展开得含项的系数．

例2．的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
【分析】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法，本题中展开式通项公式是（注意要整理成单项式的简单形式），然后根据常数项就是的指数为0,因此我们令，即，这样就求出了常数项．
【练一练趁热打铁】
1．若二项式的展开式中的系数是84，则实数（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】因为，令，得，所以，解得，故选C．
2． 的二项展开式中的常数项为______．
【答案】15
3．的展开式中的系数是（ ）
A. B． C．5 D．20
【答案】A
【解析】根据二项式定理可得理项展开式为,则时,
,所以的系数为,故选A．

二项式系数与项的系数
【背一背基础知识】
1．在的二项展开式中第项的二项式系数为，这一项的二项式系数与它的系数可能不一样．
2．二项式系数的性质：(1)在二项展开式中，当为偶数时，中间一项即第的二项式系数最大，当为奇数时，中间两项即第和第项的二项式系数即和最大；(2)所有的二项式系数的和为，即．
【讲一讲基本技能】
1．必备技能：我们仍然是主要掌握住其展开式的通项公式，解题时注意把通项化简即把系数与后面的字母分开．因为对于我们来讲，这种问题的类型主要有(1)求某项的系数；(2)已知某项系数，求另一项系数或其中某一项或者只是求其中参数的值．
2．典型例题
例1．设常数,若的二项展开式中项的系数为,则．
【分析】本题二项展开式的通项为，为了求的系数，必须把展开式变形为
，这里会发现含的项为，即．

例2． （　　）
A． B． C． D．
【分析】我们要抓住它的展开式的通项公式，这一项的二项式系数为，但它的系数是，故我们要先确定是第几项，即为多少，然后就可求出结果．
【解析】二项展开式的通项公式为，令，则，因此的系数为，选C．
【练一练趁热打铁】
1．的展开式中的系数是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】由二项式定理得，所以的系数为21，选D．
2．使得 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B

（一） 选择题（12*5=60分）
1．(x2-)5展开式中的常数项为 （　　）
A．80 B．-80 C．40 D．-40
【答案】C
2．的展开式中常数项为　　　　　　　（　　）
A． B． C． D．105
【答案】B
3．在的二项展开式中，的系数为
（A）10 （B）-10　　 　 （C）40 （D）-40
【答案】D
【解析】二项展开式的通项为，令，解得，所以，所以的系数为，选D．
4．的展开式中，的系数等于 （　　）
A．80 B．40 C．20 D．10
【答案】B
【解析】的展开式的通项为，所以的系数为，选B．
5．（R）展开式中的常数项是 （ ）
（A） （B） （C）15 （D）20
【答案】C
6．的展开式中与的系数相等，则=
（A）6 （B）7 （C）8 （D）9
【答案】B
【解析】其展开式的通项为，与的系数相等，则，即
，，所以，选B．
7．若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A

8．二项式展开式中含有项，则可能的取值是（ ）
A 5 B 6 C 7 D 8
【答案】D
【解析】展开式的通项公式为：，由得：，时，．选D．
9．的展开式中常数项是（ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】D
10．设为正整数,展开式的二项式系数的最大值为,展开式的二项式系数的最大值为,若,则（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】根据二项式系数的性质知，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，因此，即，即，得，选B．
11．的展开式中的系数是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】展开式中系数为，展开式中的系数为，因此所求的系数为，选D．
12．已知的最小值是，则二项式展开式中项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A

（二） 填空题（4*5=20分）
13．的展开式中，的系数为15，则a=________．(用数字填写答案（zxxk）)
【答案】
【解析】因为，所以令，解得，所以=15，解得．
14．若的展开式中项的系数为20，则的最小值 ．
【答案】
15．设是大于1的自然数，的展开式为．若点的位置如图所示，则．

【答案】
16．的展开式中的系数为________．（用数字填写答案）
【答案】

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