高考数学艺体生好题突围系列基础篇专题11线性规划与基本不等式.doc

专题11 线性规划与基本不等式

利用线性规划求目标函数的最值
【背一背基础知识】
1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分

2. 二元一次不等式表示的平面区域的确定：
对于二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般来说有两种方法：（1）.是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．（2）.将“x”前系数变为正数，观察“y”前面的符号如果“y”前面的符号为正且不等号方向为“>”(或者)则区域在直线上方，反之在直线下方。
3. 线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
4.求目标函数的最值步骤：（1）.作图—画出约束条件表示的平面区域；（2）. 平移—利用线性平移的方法找点使目标函数取得最值；（3）.求值—求出目标函数的最值.
【讲一讲基本技能】
1. 必备技能：①.平面区域的确定。②.求目标函数最值对目标函数的处理：可按照如下的步骤进行，如果目标函数为第一把目标函数整理成斜截式即这时候看z前面的符号本例中z前的符号为正那就是目标函数平移进可行域时截距最大的时候z有最大值，截距最小时z有最小值.第二令z=0画出目标函数。第三将目标函数平移进可行域找寻符合截距最大最小的最优解.
2. 典型例题
例1.已知x，y满足约束条件，则z＝x＋3y的最小值为(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
【答案】B

例2.已知a>0，x，y满足约束条件，若z＝2x＋y的最小值为，则a＝(　　)
A. B. C．1 D．2
【答案】A

【练一练趁热打铁】
1.若变量满足条件，则的最小值为
A. B.0 C. D.
【答案】A

2. 设变量x，y满足则的最大值为( )
(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55
【答案】D

基本不等式
【背一背基础知识】
1. 基本不等式≤
①．基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
②．等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2. 几个重要的不等式
①.a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号)．
②.ab≤2(a，b∈R)；2≤(a，b∈R)
3. 算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4. 利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
【讲一讲基本技能】
1.必备技能：1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
2．对于公式a＋b≥2，ab≤2，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．
3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥(a，b>0)逆用就是ab≤2(a，b>0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．
2.典型例题
例1. 已知，函数的最大值是 （ ）
A. B.4 C.-4 D.-
【答案】C
例2 ，则的最小值是
【答案】9

例3.若正数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：将等式变形将等式两边同时除以项得到，再将与（3x+4y）乘积就可以利用基本不等式求解.∵，∴， ∴
．答案为C.
【练一练趁热打铁】
1. 设函数 则（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数
【答案】A

2.若，则的最小值为 ．
【答案】4

3. 已知a＞0，b＞0，且a＋2b＝1.则＋的最小值为________．
【答案】
【解析】
所以最小值为.

（一） 选择题（12*5=60分）
1. 已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为(　　)
A．(－24,7)　　　　　　　 B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
【答案】B
【解析】根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0.即(a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24.
2.设变量满足约束条件：，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】C

3.若实数满足则的最小值是（ ）
A．18 B．6 C．2 D．2
【答案】B
【解析】
试题分析：．
4.若变量满足约束条件，则的最大值是( )
A、12 B、26 C、28 D、33
【答案】C

5. 若满足约束条件：，则目标函数的取值范围是( )
A B C D
【答案】A

6. （2013年天津市文）设变量满足约束条件,则目标函数z=3x-2y的最小值为( )
（A）－5 （B）－4 （C）－2 （D）3
【答案】B

【解析】作出不等式对应的可行域如图，由得.
由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，而此时最小为，故选B。
7. 若满足约束条件：；则的最小值是（ ）

【答案】A

8．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是 (　　)
A. B．4 C. D．5
【答案】C
9． 函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，∴，
∴，
，当且仅当，即时，取等号．
10.若直线上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
A．－1 B．1 C. D．2
【答案】B

11.已知,满足约束条件,若的最小值为,则 （　　）
A． B． C． D．

【答案】B
12．已知O是坐标原点，点A(－1,1)．若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是 (　　)
A．[－1,0] B．[0,1] C．[0,2] D．[－1,2]

【答案】C

（二） 填空题（4*5=20分）
13.已知，则的取值范围是 。
【答案】[4，+∞）
【解析】试题解析：，当且仅当取等号。
14. 若满足约束条件则的取值范围是__________
【答案】[1,4]

15. 若变量满足约束条件,则的最小值为 .
【答案】-6

16．若实数满足，则的最大值是 .
【答案】

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