1993考研数二真题及解析.docx

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1) ＿＿＿＿＿＿.
(2) 函数由方程所确定,则＿＿＿＿＿＿.
(3) 设,则函数的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿.
(4) ＿＿＿＿＿＿.
(5) 已知曲线过点,且其上任一点处的切线斜率为,则＿＿＿＿＿＿.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 当时,变量是 ( )
(A) 无穷小 (B) 无穷大
(C) 有界的,但不是无穷小 (D) 有界的,但不是无穷大
(2) 设 则在点处函数 ( )
(A) 不连续 (B) 连续,但不可导
(C) 可导,但导数不连续 (D) 可导,且导数连续
(3) 已知 设,则为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(4) 设常数,函数在内零点个数为 ( )
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
(5) 若,在内,则在内 ( )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)
(1) 设,其中具有二阶导数,求.
(2) 求.
(3) 求.
(4) 求.
(5) 求微分方程满足初始条件的特解.
四、(本题满分9分)
设二阶常系数线性微分方程的一个特解为,试确定常数,并求该方程的通解.
五、(本题满分9分)
设平面图形由与所确定,求图形绕直线旋转一周所得旋转体的体积.
六、(本题满分9分)
作半径为的球的外切正圆锥,问此圆锥的高为何值时,其体积最小,并求出该最小值.
七、(本题满分6分)
设,常数,证明.
八、(本题满分6分)
设在上连续,且,证明：,其中.
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
【解析】这是个型未定式,可将其等价变换成型,从而利用洛必达法则进行求解.
.
(2)【答案】
【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数,将方程两边对求导,得
,
化简得 .
【相关知识点】复合函数求导法则：
如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为
或 .
(3)【答案】
【解析】由连续可导函数的导数与的关系判别函数的单调性.
将函数两边对求导,得 .
若函数严格单调减少,则,即.
所以函数单调减少区间为.
【相关知识点】函数的单调性：设函数在上连续,在内可导.
(1) 如果在内,那么函数在上单调增加；
(2) 如果在内,那么函数在上单调减少.
(4)【答案】
【解析】
.
(5)【答案】
【解析】这是微分方程的简单应用.
由题知 ,分离变量得 ,两边对积分有
.
由分部积分法得

因为曲线过点,故,所以所求曲线为
.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(D)
【解析】因为当时,是振荡函数,所以可用反证法.
若取 ,则,
,则.
因此,当时,有及,但变量或等于0或趋于,这表明当时它是无界的,但不是无穷大量,即(D)选项正确.
(2)【答案】(A)
【解析】利用函数连续定义判定,即如果函数在处连续,则有
.
由题可知
,
.
因在处左右极限不相等,故在处不连续,因此选(A).
(3)【答案】(D)
【解析】这是分段函数求定积分.
当时,,故,所以
.
当时,故,所以
.
应选(D).
(4)【答案】(B)
【解析】判定函数零点的个数等价于判定函数与的交点个数.
对函数两边对求导,得 .
令,解得唯一驻点,
即
所以是极大值点,也是最大值点,最大值为.
又因为 ,
由连续函数的介值定理知在与各有且仅有一个零点(不相同).
故函数在内零点个数为2,选项(B)正确.
(5)【答案】(C)
【解析】方法一：由几何图形判断.
由知为奇函数,图形关于原点对称；
在内图形单调增加且向上凹,
根据图可以看出在内增加而凸,,选(C).
方法二：用代数法证明.
对恒等式两边求导,得
.
当时,有,所以
,
故应选(C).
三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)
(1)【解析】,

.
【相关知识点】复合函数求导法则：
如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为
或 .
(2)【解析】应先化简再求函数的极限,

.
因为,所以
.
(3)【解析】先进行恒等变形,再利用基本积分公式和分部积分法求解.

.
(4)【解析】用极限法求广义积分.

.
(5)【解析】所给方程是一阶线性非齐次微分方程,其标准形式是
,
通解为

.
代入初始条件 ,得 ,所以 .所求特解为 .
【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程的通解公式为:
,其中为常数.
四、(本题满分9分)
【解析】要确定常数,只需将特解代入原微分方程后,用比较系数法即得.
对于特解,有
,
,
代入方程,得恒等式
,
化简得
,
比较同类项系数,得
,
解之得.
于是原方程为,所对应的齐次微分方程的特征方
程为,解之得 .
所以微分方程的通解为
.
五、(本题满分9分)
【解析】利用定积分求旋转体的体积,用微元法.
等价于.
解法一：考虑对的积分,则边界线为
与,
时,

.
所以 .
对于,令,则,所以
；
对于 ,
所以 .
解法二：取为积分变量,则边界线为
与,
如右图所示.
当时,

所以.
令,则,所以

.
再令,则,
所以

.
所以 .
六、(本题满分9分)
【解析】这是一个将立体几何问题转化为函数求最值的问题.
A
D
O
C
B
设圆锥底半径为,如图,.
由,有
.
于是圆锥体积
.
对上式两端对求导,并令,得
,
得唯一驻点,且
,
所以为极小值点也是最小值点,最小体积.
七、(本题满分9分)
【解析】首先应简化不等式,从中发现规律.
当,常数时,原不等式两边取自然对数可化为
或 .
证法一：令,则.
由知故 .
从而为严格单调递增函数,且

即 ,
所以 .
证法二：令,则.
当时,有,
所以函数在为严格单调递减函数,即,
所以有 ,
即 .
八、(本题满分9分)
【解析】证法一：用微分中值定理.
对任意给定的,由拉格朗日中值定理,得

由,知.因为,所以
,
将两边从做的定积分,有
.
由定积分的基本性质可知 .
证法二：用牛顿-莱布尼茨公式.
对任意给定的,以及,可知
,
从而 ,
以下同证法一.
证法三：分部积分法.

.
所以

.