2022届高考数学一轮复习第六章不等式第三节基本不等式课时作业.doc

第三节 根本不等式
课时作业
A组——根底对点练
1．假设对任意x>0，≤a恒成立，那么a的取值范围是(　　)
A．a≥　　　　　　　　 B．a>
C．a< D．a≤
解析：因为对任意x>0，≤a恒成立，
所以对x∈(0，＋∞)，a≥max，
而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，
当且仅当x＝时等号成立，∴a≥.
答案：A
2．(2022·厦门一中检测)设0<a<b，那么以下不等式中正确的选项是(　　)
A．a<b<<　 B．a<<<b
C．a<<b< D．<a<<b
解析：因为0<a<b，所以a－＝(－)<0，故a<；b－＝>0，故b>；由根本不等式知>，综上所述，a<<<b，应选B.
答案：B
3．(2022·山东名校调研)假设正数x，y满足3x＋y＝5xy，那么4x＋3y的最小值是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·(＋)＝(4＋9＋＋)≥(4＋9＋2)＝5，当且仅当＝，即y＝2x时，“＝〞成立，故4x＋3y的最小值为5.
答案：D
4．假设a，b∈R，且ab>0，那么以下不等式中，恒成立的是(　　)
A．a＋b≥2 B．＋>
C.＋≥2 D．a2＋b2>2ab
解析：因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当a＝b时取等号．
答案：C
5．以下不等式一定成立的是(　　)
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
解析：对选项A，当x>0时，x2＋－x＝2≥0，∴lg≥lg x，故不成立；对选项B，当sin x<0时显然不成立；对选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；对选项D，∵x2＋1≥1，∴0<≤1，故不成立．
答案：C
6．假设实数a，b满足＋＝，那么ab的最小值为(　　)
A. B．2
C．2 D．4
解析：法一：由得＋＝＝，且a>0，b>0，
∴ab＝b＋2a≥2，∴ab≥2.
法二：由题设易知a>0，b>0，
∴＝＋≥2，即ab≥2，选C.
答案：C
7．(2022·天津模拟)假设log4(3a＋4b)＝log2，那么a＋b的最小值是(　　)
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
解析：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a>0，b>0，所以＋＝1(a>0，b>0)，a＋b＝(a＋b)·(＋)＝7＋＋≥7＋2 ＝7＋4，当且仅当＝时取等号，应选D.
答案：D
8．(2022·银川一中检测)对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．[－2，＋∞)
C．[－2,2] D．[0，＋∞)
解析：当x＝0时，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，此时a∈R，当x≠0时，那么有a≥＝－(|x|＋)，设f(x)＝－(|x|＋)，那么a≥f(x)max，由根本不等式得|x|＋≥2(当且仅当|x|＝1时取等号)，那么f(x)max＝－2，故a≥－2.应选B.
答案：B
9．当x>0时，函数f(x)＝有(　　)
A．最小值1 B．最大值1
C．最小值2 D．最大值2
解析：f(x)＝≤＝1.当且仅当x＝，x>0即x＝1时取等号．所以f(x)有最大值1.
答案：B
10．(2022·南昌调研)a，b∈R，且ab≠0，那么以下结论恒成立的是(　　)
A．a＋b≥2 B．a2＋b2>2ab
C.＋≥2 D．|＋|≥2
解析：对于A，当a，b为负数时，a＋b≥2不成立；
对于B，当a＝b时，a2＋b2>2ab不成立；
对于C，当a，b异号时，＋≥2不成立；
对于D，因为，同号，所以|＋|＝||＋||≥2 ＝2(当且仅当|a|＝|b|时取等号)，即|＋|≥2恒成立．
答案：D
11．设f(x)＝ln x,0<a<b，假设p＝f()，q＝f()，r＝(f(a)＋f(b))，那么以下关系式中正确的选项是(　　)
A．q＝r<p B．p＝r<q
C．q＝r>p D．p＝r>q
解析：∵0<a<b，∴>，又f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，故f()<f()，即q>p，∴r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln＝f()＝p，∴p＝r<q.应选B.
答案：B
12．正实数a，b满足a＋b＝4，那么＋的最小值为__________．
解析：∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，
∴＋
＝[(a＋1)＋(b＋3)]
＝
≥(2＋2)＝，
当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号，
∴＋的最小值为.
答案：
13．函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，那么a＝__________.
解析：f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2时取等号，那么由题意知a＝4×32＝36.
答案：36
14．(2022·邯郸质检)x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝()y，那么＋的最小值为________．
解析：2x－3＝()y＝2－y，∴x－3＝－y，∴x＋y＝3.又x，y∈(0，＋∞)，所以＋＝(＋)(x＋y)＝(5＋＋)≥(5＋2 )＝3(当且仅当＝，即y＝2x时取等号)．
答案：3
15．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，那么该容器的最低总造价是________(单位：元)．
解析：设底面的相邻两边长分别为x m，y m，总造价为T元，那么V＝xy·1＝4⇒xy＝4.T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y时取等号)．
故该容器的最低总造价是160元．
答案：160
B组——能力提升练
1．设正实数x，y满足x>，y>1，不等式＋≥m恒成立，那么m的最大值为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：依题意得，2x－1>0，y－1>0，＋＝＋≥＋≥4×2 ＝8，即＋≥8，当且仅当，即时，取等号，因此＋的最小值是8，m≤8，m的最大值是8，选C.
答案：C
2．假设a，b，c∈(0，＋∞)，且ab＋ac＋bc＋2＝6－a2，那么2a＋b＋c的最小值为(　　)
A.－1 B．＋1
C．2＋2 D．2－2
解析：由题意，得a2＋ab＋ac＋bc＝6－2，所以24－8＝4(a2＋ab＋ac＋bc)≤4a2＋4ab＋b2＋c2＋4ac＋2bc＝(2a＋b＋c)2，当且仅当b＝c时等号成立，所以2a＋b＋c≥2－2，所以2a＋b＋c的最小值为2－2，应选D.
答案：D
3．(2022·保定调研)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝，a＋b＝λ，假设△ABC面积的最大值为9，那么λ的值为(　　)
A．8 B．12
C．16 D．21
解析：S△ABC＝absin C＝ab≤·()2＝λ2＝9，当且仅当a＝b时取“＝〞，解得λ＝12.
答案：B
4．x，y都是正数，且x＋y＝1，那么＋的最小值为(　　)
A. B．2
C. D．3
解析：由题意知，x＋2>0，y＋1>0，(x＋2)＋(y＋1)＝4，那么＋＝≥＝，当且仅当x＝，
y＝时，＋取最小值.
答案：C
5.(－6≤a≤3)的最大值为(　　)
A．9 B．
C．3 D．
解析：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，那么由根本不等式可知，≤＝，当且仅当a＝－时等号成立．
答案：B
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos(B－)＝b＋c，△ABC的外接圆半径为，那么△ABC周长的取值范围为(　　)
A．(3,9] B．(6,8]
C．(6,9] D．(3,8]
解析：由2acos(B－)＝b＋c，得acos B＋asin B＝b＋c，由正弦定理得sin Asin B＋sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)，即sin Asin B＝sin B＋cos Asin B，又sin B≠0，∴sin A－cos A＝1，∴sin(A－)＝，由0<A<π得－<A－<，∴A－＝，
∴A＝.又△ABC的外接圆半径为，∴2＝⇒a＝2sin A＝3.
b＋c＝2sin B＋2sin C＝2[sin B＋sin(－B)]＝2(sin B＋cos B)＝6(sin B＋cos B)＝6sin(B＋)，由0<B<得，<B＋<，故3<6sin(B＋)≤6，∴6<a＋b＋c≤9.
答案：C
7．假设2x＋2y＝1，那么x＋y的取值范围是(　　)
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：∵2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴≤，∴2x＋y≤，x＋y≤－2，应选D.
答案：D
8．假设两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，那么实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：∵不等式x＋<m2－3m有解，∴min<m2－3m，∵x>0，y>0，且＋＝1，∴x＋＝＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时取等号，
∴min＝4，∴m2－3m>4，即(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4，故实数m的取值范围是 (－∞，－1)∪(4，＋∞)．
答案：B
9．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.那么当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)
A．0 B．1
C. D．3
解析：＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.
答案：B
10．设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，假设a1＝d＝1，那么的最小值是(　　)
A. B．
C．2＋ D．2－
解析：an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，
∴＝
＝
≥
＝，
当且仅当n＝4时取等号．
∴的最小值是，应选A.
答案：A
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A－sin B＝，b＝，那么△ABC的面积的最大值为(　　)
A. B．
C. D．
解析：根据正弦定理由sin A－sin B＝可得a－b＝，得a2－b2＝c(a－c)，即a2＋c2－b2＝ac，故＝＝cos B，∵B∈(0，π)，∴B＝.又由b＝，可得a2＋c2＝ac＋3，故a2＋c2＝ac＋3≥2ac，即ac≤3，当且仅当a＝c＝时取等号，故ac的最大值为3，这时△ABC的面积取得最大值，为×3×sin ＝.
答案：A
12．(2022·宝鸡模拟)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．
解析：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，那么y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)，
∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，
∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为万元，
∵5x＋≥2＝20，当且仅当5x＝，
即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．
答案：2　20
13．(2022·青岛模拟)实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，那么log2x＋log2y的最大值为__________．
解析：因为log2x＋log2y＝log22xy－1≤log22－1＝2－1＝1，当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，y＝1时等号成立，所以log2x＋log2y的最大值为1.
答案：1
14．在希腊数学家海伦的著作?测地术?中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，假设三角形的三边长分别为a，b，c，其面积S＝，这里p＝(a＋b＋c)．在△ABC中，BC＝6，AB＝2AC，那么其面积取最大值时，sin A＝________.
解析：在△ABC中，BC＝6，AB＝2AC，所以三角形的三边长为a＝6，c＝2b，p＝(6＋b＋2b)＝3＋，其面积
S＝
＝
＝
＝
＝≤×＝12，
当且仅当b2－4＝36－b2，即b＝2时取等号，此时a＝6，b＝2，c＝4，三角形存在，cos A＝＝，所以sin A＝.
答案：