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专题复习：证明角相等的方法

《专题复习：证明角相等的方法》导学案
学习目标
1、系统归纳已经学习过的结论是“角相等”的几何定理；
2、能够初步应用这些定理证明角相等；
3、养成执果索因的习惯，提高分析、解决问题的能力。
学习重、难点 熟悉几何定理的文字、符号表述，依据问题的条件恰当选择证明方法。
问题引入 证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。
一、 自主学习：
归纳已经学习过的结论是“角相等”的几何定理(能结合图形用符号语言表述)
（1）对顶角 ；
（2） 角的余角（或补角）相等；
（3）两直线平行， 相等、内错角 ；
（4）凡直角都 ；
（5）角的平分线分得的两个角 ；
（6）等腰三角形的两个底角 (简称 )
（7）等腰三角形底边上的高（或中线） 顶角（三线合一）；
（8）三角形外角和定理：三角形外角等于 的内角之和；
（9）全等三角形的对应角 ；
二、典例精析
1、利用平行线的判定与性质证明角相等
例1、如右图在△ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB，G在AC边上并且∠GDC=∠EFB，
求证：∠AGD=∠ACB

注：如果要证相等的两角是两条直线被第三条直线所截得的同位角或内错角，可考虑用此方法。
2、利用“等(同)角的补角相等”证明角相等
例2、如右图，AB∥CD，AD∥BC，求证：∠A=∠C

3、利用“等(同)角的余角相等”证明角相等
例3、如右图，在锐角△ABC中，BD、CE是它的两条高，求证：∠ABD=∠ACE

变式：若果∠A是钝角，其它条件不变，仍然有∠ABD=∠ACE？为什么？

4、利用全等△性质证明角相等
例4、 已知：如图，和相交于点，，。
求证：。

注：这种方法很普遍，如果要证相等的两角分别在不同的三角形中，而且能够说明它们全等，可考虑用这种方法。
5、利用“等边对等角”证明角相等
例5、如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：∠OAB=∠OBA

注：如果要证相等的两角是一个△的两角，可考虑用此方法。
6、利用“三线合一”证明两角相等
例6、如图，∠A=∠D=90°,AB=CD，AC与BD相交于点F，E是BC的中点.
求证：∠BFE=∠CFE.

 7、利用“角平分线的判定”证明角相等
例7、如图，AC=BD，S△PAC=S△PBD。求证：OP平分∠AOB

8、利用等式性质(如“相等角加减后仍然相等”)证明角相等
例8、如图，∠BAD=∠CAD，DE∥AC，EF⊥AD交BC于F
求证：∠B=∠FAC

9、利用等量代换证明两角相等.
例9、如图，△ABC是等腰Rt△，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

三、归纳总结
证明相等相等的方法
适用范围
证明步骤

三、 课后作业
1、如图，直线，连结，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连结，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角．）
（1）当动点落在第①部分时，求证：；
（2）当动点落在第②部分时，是否成立（直接回答成立或不成立）？

①
②
③

①
②
③
④

①
②
③
④

④
（3）当动点在第③或④部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

2、如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF

3、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC
求证：∠B=∠D 

4、已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

5、如图，已知BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD相交于点O，若BD=CE
求证：AO平分∠BAC.

6、已知：⊿ABC的三个内角平分线相交于点O，
过O作OG⊥BC垂足为G
求证:∠BOD=∠COG

7、如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D.求证：∠DBC＝∠BAC

8、已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。
求证：∠1=∠2+∠B

9、已知：如图，AB=AC，∠1=∠2.求证：∠3=∠4

10、如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B

11、已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

12、如图，AC⊥CB，DB⊥CB，AB=DC，
求证：（1）∠A=∠D；（2）∠ABD=∠ACD（提示：先证∠ABC=∠BCD）