多项式的最大公因式.doc

多项式得最大公因式
问题:
(一)、 多项式得最大公因式得定义就是什么？
设与就是中两个多项式,中多项式称为与得最大公因式,如果满足下面两个条件:
(1)、就是与得公因式;
(2)、,得公因式全就是得因式。
我们约定用表示首项系数为1得那个最大公因式。
定理1:对于中任意两个多项式,,在中存在一个最大公因式,且可以表示成,得一个组合,即有中多项式,使

引理:设,且

则有相同得公因式,因而有相同得最大公因式,且

定理2:得任意两个多项式一定存在最大公因式。
(二)、用来求最大公因式得方法
(1)、辗转相除法:
如果,且,使

其中,则就是与得一个最大公因式。
(2)、串位加减法
(3)、矩阵求法:

例1、设

求
解:法1辗转相除法。

求得就是最大公因式,即

法2串位加减法
设,则对于任意多项式

1 3 1 4 3
3 10 2 3

1 5 9 9
5 25 30
1 5 6
5 16 3
9 27
3
6
1 3
+x

0

于就是就是最大公因式,即

例2.令F就是有理数域,求出得多项式

使得成立得,其中。
解 我们把I拼在得右边一起做行初等变换:

。
所以。
注:如果就是,在中得公因式,则就是与得最大公因式得充分必要条件就是存在,使得
例3、求使:

(P45,6、(1))
解:,其中,

,其中,

,其中,

所以,就是得最大公因式。
因为,,所以

由此可得:

注:利用辗转相除法求出最大公约数,然后逆向推导。
例4.证明:如果,且为与得一个组合,那么就是与得一个最大公因式。(P45,8)
证:
设就是与得任一公因式,即有
不妨设
由已知条件可得
所以
故有
因此,就是与得一个最大公因式。
注:已知就是与得任一公因式,只需证明与得任一公因式都就是得公因式便可得证。