耦合摆带数据(吐血整理).docx

耦合摆实验
【实验目的】
1．测定单摆的固有圆频率和耦合摆的简正频率；
2．观察不同耦合长度对振动系统的影响和规律，并从中观察“拍”的现象；
3．验证耦合长度的平方分别与支频率的平方和反相振动简正频率的平方成线形关系。
4．学会用作图法处理数据。
【实验仪器】
1．摆杆固定和调整螺母；2．摆杆；3．立柱；4．耦合弹簧；5．耦合位置调节环；6．振动频率微调螺母；7．摆锤；8．振幅指针兼计数计时挡杆；9．水平尺固定架；10．振幅测量直尺；11．底盘；12．气泡式水准仪；13．激光光电门接收部件；14．振幅指针振动轨迹线；15．可见红色激光束；16．激光光电门支架；17．激光发射部件；18．仪器水平调整旋钮；19．次数预置－1按钮；20．预置次数显示；21．次数预置+l按钮；22．计数次数显示窗；23．相应次数的计时显示窗；24．秒表显示窗；25．计数计时复位按钮；26．＋5V接线柱；27．GND（公共地）接线柱；28．计数计时信号输入接线柱；29．输入信号低电平指示；30．次数－1相应时间查阅按钮；31．次数＋l相应时间查阅按钮；32．秒表时间复位按钮；33．秒表计时开始／停止按钮
图1 耦合摆实验装置示意图
整套仪器由耦合摆实验装置和MS－4计数计时多用秒表组成，采用激光光电门作为计数计时传感器。
【实验原理】
设有一理想单摆，刚性悬杆长度为l0，下悬一质量为m0的重质小球。在小球摆动角度不大时，若悬杆的密度非常小，可以认为小球是在平衡位置处做简谐振动，振动周期只与悬杆长度l0和重力加速度g有关，可以表示为。此时的圆频率叫做单摆的固有圆频率，用ω0表示，则。由于实际单摆的悬杆有质量，小球也不能看做质点，所以l0并不能准确测量。即固有频率需要修正为
（a）理想的耦合摆 （b）实际使用的耦合摆 （b）初始时刻
图2 耦合摆
θ0
L
若一根弹性系数为K的弹簧将两个完全相同的理想单摆连接起来即可组成一个理想的耦合摆，如图2（a）所示。如果一个摆固定，另一个摆振动，则振动频率叫做支频率，支频率，式中K为弹簧的倔强系数，m0为摆球质量。但实际使用的单摆，如图2（b）所示，并不是理想单摆，即悬杆质量不可忽略，小球并不能看做是质点等。所以l0和m都需修正。
设摆的总长为L0，悬杆的线密度ρ(l)为考察点到转轴的距离l的函数，可写为ρ(l)。
将一弹性系数为K的弹簧水平放置，两端连接在摆杆上，弹簧距离转轴为L，如图2（b）所示。固定其中一个单摆不动，轻轻摆动另一个单摆。若摆动角度θ较小时，认为弹簧的回复力垂直于悬杆，此时单摆绕转轴的回复力矩M包括重力矩、弹性力矩两部分，即M=M1+M2。考虑到θ非常小，可以近似认为θ=sinθ，则有
重力矩： （1）
弹性力矩： （2）
单摆绕转轴的转动惯量： （3）
所以转动方程为： （4）
将式（1）、（2）、（3）带入（4）式，得
（5）
由于（5）式是一个一元二阶常系数齐次微分方程，所以求解此方程需要两个定解条件。
初始时刻（时间t=0的时刻），摆偏离平衡位置的角度最大为θ0，角速度为0。将此初始状态用数学式表示为。这也就是方程式（5）的定解条件，带回方程中求解可得

其中 （6）
则 ω为耦合摆的支频率， 为有效摆长， 为有效质量。在耦合摆形状保持不变的情况下，有效摆长和有效质量都是固定常数。
在耦合长度L相同时，改变ρ(l)可以调节支频率的大小，且支频率ω的平方与耦合长度L的平方成线形关系。
实际上耦合系统的振动方式比较复杂，取决于初始条件。存在两种特有的振动方式，一种是两摆往同方向从平衡位置移开相等的距离引起的振动，即同相振动。另一种是两摆从平衡位置往相反方相移开相等距离引起的振动，即反相振动。反相振动和同相振动称作简正振动，其频率称为简正频率。反相振动其简正频率为；同相振动时，若弹簧的最大弹性力不大，则其简正频率为（固有圆频率）。
在一般情况下，耦合系统的振动是这两个简正振动的组合，振动表现出拍振的性质，拍振频率ω=ω1—ω2，两个摆相继地发生振幅周期性增大和减小，能量在两个摆之间交替传递。
实验中若把悬杆在不同位置用弹簧连接，可以测定耦合系统的支频率和简正频率，且可验证耦合长度的平方分别与支频率的平方和反相振动简正频率的平方成线形关系。
【实验内容】
（一） 调整两个单摆的固有圆频率相等，即ω10＝ω20（不加耦合弹簧）
1．打开“MS－4计数计时多用秒表”开关，次数预置设为20（摆锤指针经过平衡位置20次，则计时周期次数为10），“时间显示”和“秒表显示”均为0。
2．调节耦合摆底盘水平调节螺丝，使立柱铅直，调节“摆杆固定和调整螺母”（图1中1）使摆锤置于适当位置。
3．调节耦合位置调节环（图1中5），使两个单摆的耦合长度L相等（置于L＝10.00cm处）。
4．把钢板尺放到水平尺固定架（图1中9），调节其前后位置，避免单摆摆动时其指针与钢板尺之间有摩擦。
5．将光电门插入待测单摆,调节挡光位置以测试单摆周期，由于只有一个光电门，实验时可根据需要，多次移动光电门位置，动作要轻，移动后每次都要注意调好挡光位置（要求在摆的平衡位置挡光）。
6．令右单摆静止，用手轻轻将左单摆拉至距平衡位置2.50cm处，测出10个周期值。将数据填入表格1，计算出ω10。
7．令左单摆静止，操作同上，计算出ω20。
注意：若ω10和ω20相差较大，可适当调节振动频率微调螺母（图1中6），反复调节，直至ω10＝ω20（10个周期的时间显示值浮动不超过0.01秒，即可认为ω10＝ω20），该位置调好后，实验过程不要再动。
（二） 测耦合摆的支频率和简正频率
轻轻将两个摆用弹簧连接起来，次数预置为20次，从耦合长度L为10.00cm开始，在不同的耦合长度下，依次测出：
1．左/右单摆的支频率ω支：固定其中一支单摆，将另一拖离平衡位置后松手，测量其周期，计算频率，即为单摆的支频率ω支。
2．耦合摆同相简正频率ω同：将两支单摆都向内（或向外）拖离平衡位置后松手，测量其中一支的周期，计算频率，即为同相简正频率ω同。
3．耦合摆反相简正频率ω反：将两支单摆都向同一方向（向左或者向右）拖离平衡位置后松手，测量其中一支的周期，计算频率，即为相简正频率ω反。
将数据填入表格2。
注意：1．支频率的测试可参考固有圆频率的测试要求（实验内容（一）中的6、7）；
2．每次测试时都将待测摆拉至距平衡位置2.50cm处。
（三） 定性观察左单摆和右单摆之间的能量传递
令左单摆静止（左手轻轻扶住），将右单摆拉至距平衡位置2.50cm处，观察能量传递现象。在观察过程中，当一个摆静止时，启动秒表计时，当另一摆静止时停止计时。如此反复，可看到两个摆的振幅相继发生周期性增大和减小，定性认识拍振现象。
【数据表格及数据处理】
1．以L2为横坐标，ω支2为纵坐标，作出ω支2 ～L2图线，如果为一直线，则耦合长度的平方与支频率的平方成线形关系。
2．以L2为横坐标，ω反2为纵坐标，作出ω反2～L2图线，同理可得一直线，则耦合长度的平方与反相振动简正频率的平方成线性关系。
3．理论上分析应有ω同＝ω10＝ω20，实验时会有误差。
令，则
【数据表格及数据处理】
1．以L2为横坐标，ω支2为纵坐标，作出ω支2 ～L2图线。
2．以L2为横坐标，ω反2为纵坐标，作出ω反2～L2图线。
3．理论上分析应有ω同＝ω10＝ω20，实验时会有误差。
左单摆 （不加弹簧）
右单摆 （不加弹簧）
10T1 （s）
周期
T1（s）
固有圆频率
ω10（s-1）
10T2 （s）
周期
T2（s）
固有圆频率
ω20（s-1）
1
2
3
平均
1
2
3
平均
15.297
15.289
15.298
15.295
1.5295
4.1080
15.288
15.300
15.290
15.293
1.5294
4.1083
耦合长度L（cm）（加弹簧）
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
左/右单摆
10 T支
（s）
1
14.958
14.769
14.611
14.442
14.391
2
14.955
14.766
14.609
14.432
14.302
3
14.947
14.761
14.599
14.423
14.268
平均
14.953
14.765
14.606
14.432
14.320
周期
T支 （s）
1.4953
1.4765
1.4606
1.4432
1.4320
支频率
ω支 （s-1）
4.2019
4.2555
4.3018
4.3536
4.3877

ω支2 （s-2）
17.656
18.109
18.505
18.954
19.252
等振幅同相振动
10 T同
（s）
1
15.279
15.291
15.292
15.286
15.293
2
15.283
15.287
15.290
15.282
15.291
3
15.300
15.288
15.287
15.283
15.292
平均
15.287
15.289
15.290
15.284
15.292
周期
T同 （s）
1.5287
1.5289
1.5290
1.5284
1.5292
简正频率
ω同 （s-1）
4.1101
4.1096
4.1093
4.1110
4.1088

ω同2 （s-2）
16.893
16.889
16.886
16.900
16.882

ω同 平均值
4.1098
等振幅反相振动
10 T反
（s）
1
14.646
14.358
13.998
13.677
13.282
2
14.623
14.337
13.992
13.636
13.275
3
14.637
14.340
13.980
13.640
13.282
平均
14.635
14.345
13.990
13.651
13.280
周期
T反 （s）
1.4635
1.4345
1.3990
1.3651
1.3280
简正频率
ω反 （s-1）
4.2933
4.3801
4.4912
4.6027
4.7313

ω反2 （s-2）
18.432
19.185
20.171
21.185
22.385
拍振
10 T反
（s）
1
34.43
21.66
15.06
10.82
9.09
2
33.75
21.05
16.20
10.95
8.79
3
33.75
21.09
15.42
10.24
8.93
平均
33.98
21.27
15.56
10.67
8.94
周期
T拍（s）
3.398
2.127
1.556
1.067
0.894
拍频
ω拍（s-1）
1.849
2.954
4.038
5.889
7.028

ω拍2 （s-2）
3.419
8.726
16.31
34.68
49.39

【思考题】
1. 反相简正频率和支频率有什么异同点？
2. ω12（或ω22）～L2图线与ω反2～L2图线之间有什么关系？
3. 内容总结

4. （1）耦合摆实验
【实验目的】
1．测定单摆的固有圆频率和耦合摆的简正频率
（2）由于实际单摆的悬杆有质量，小球也不能看做质点，所以l0并不能准确测量
（3）同相振动时，若弹簧的最大弹性力不大，则其简正频率为（固有圆频率）
（4）7．令左单摆静止，操作同上，计算出ω20
（5）如此反复，可看到两个摆的振幅相继发生周期性增大和减小，定性认识拍振现象
（6）【思考题】
反相简正频率和支频率有什么异同点

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