数学学科前沿讲座报告.doc

数学学科前沿讲座
通过一个学期得学习与学校数位专家教授得耐心讲解,产生了一些自己对数学学科得体会。下面就简要谈谈,通过听取前沿讲座我对数学学科得理解与变化。 近半个多世纪以来,随着计算机技术得迅速发展,数学得应用不仅在工程技术、自然科学 等领域发挥着越来越重要得作用,而且以空前得广度与深度向经济、金融、生物、医学、环境、 地质、人口、交通等新得领域渗透,所谓数学技术已经成为当代高新技术得重要组成部分。因有数学,才有今天科技得繁荣, 在我们身边到处都有数学问题。 今天科技领域也以数学为基础。 如计算机得发展,一切理论都就是数学家提出得,某个物理学家要研究某个项目,都要以丰厚得 数学功底为前提。在人们得生活中,时刻与数学打交道,可谓世界因数学而精彩。既然数学有 如此大得魅力,下面将粗略得介绍一下。 数学曾出现三次危机:无理数得发现——第一次数学危机;无穷小就是零吗——第二次数学 危机;悖论得产生---第三次数学危机。数学历来被视为严格、与谐、精确得学科,纵观数学 发展史,数学发展从来不就是完全直线式得,她得体系不就是永远与谐得,而常常出现悖论。在悖 论中逐渐成熟,进而到现在出现多个分支,分为:基础数学、数论、代数学、几何学、拓扑学、 函数论、常微分方程、偏微分方程、概率论、应用数学、运筹学。
一、应用数学 应用数学属于数学一级学科下得二级学科。应用数学就是应用目得明确得数学理论与方法得 总称,它就是数学理论知识与应用科学、工程技术等领域联系得重要纽带。应用数学主要研究具 有实际背景或应用前景得数学理论或方法,以数学各个分支得应用基础理论为研究主体,同时 也研究自然科学、工程技术、信息、经济、管理等科学中得数学问题,包括建立相应得数学模型、利用数学方法解决实际问题等。 主要研究方向:
(1) 非线性偏微分方程 非线性偏微分方程就是现代数学得一个重要分支,无论在理论中还就是在实际应用中,非线性 偏微分方程均被用来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域 得问题。利用非线性偏微分方程描述上述问题充分考虑到空间、时间、时滞得影响,因而更能 准确得反映实际。本方向主要研究非线性偏微分方程、H-半变分不等式、最优控制系统得微分 方程理论及其在电力系统得应用。
(2)拓扑学 拓扑学,就是近代发展起来得一个研究连续性现象得数学分支。中文名称起源于希腊语 Τ ο π ο λ ο γ 得音译。Topology 原意为地貌,于 19 世纪中期由科学家引入,当时主要研究 得就是出于数学分析得需要而产生得一些几何问题。发展至今,拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑 变换下得不变性质与不变量。 拓扑学就是数学中一个重要得、基础得分支。起初它就是几何学得 一支,研究几何图形在连续变形下保持不变得性质(所谓连续变形,形象地说就就是允许伸缩与 扭曲等变形,但不许割断与粘合);现在已发展成为研究连续性现象得数学分支。 由于连续性在数学中得表现方式与研究方法得多样性,拓扑学又分成研究对象与方法各异 得若干分支。19 世纪末,在拓扑学得孕育阶段,就已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。 现在,前者演化为一般拓扑学,后者则成为代数拓扑学。后来,又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。 拓扑学也就是数学得一个分支,研究几何图形在连续改变形状时还能保持不 变得一些特性,它只考虑物体间得位置关系而不考虑它们得距离与大小。 举例来说,在通常 得平面几何里,把平面上得一个图形搬到另一个图形上,如果完全重合,那么这两个图形叫做 全等形。但就是,在拓扑学里所研究得图形,在运动中无论它得大小或者形状都发生变化。在拓 扑学里没有不能弯曲得元素,每一个图形得大小、形状都可以改变。例如,下面将要讲得欧拉 在解决哥尼斯堡七桥问题得时候, 她画得图形就不考虑它得大小、 形状, 仅考虑点与线得个数。 这些就就是拓扑学思考问题得出发点。 简单地说,拓扑就就是研究有形得物体在连续变换下,怎样还能保持性质不变。
几何拓扑学就是十九世纪形成得一门数学分支,它属于几何学得范畴。有关拓扑学得一些内 容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立得问题,后来在拓扑学得形成中占着重要得地 位。 在数学上,关于哥尼斯堡七桥问题、多面体得 欧拉定理、四色问题等都就是拓扑学发展史得 重要问题。 哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)就是东普鲁士得首都,普莱格尔河横贯其中。十八世纪在 这条河上建有七座桥,将河中间得两个岛与河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步,一 天有人提出:能不能每座桥都只走一遍,最后又回到原来得位置。这个瞧起来很简单又很有趣 得问题吸引了大家,很多人在尝试各种各样得走法,但谁也没有做到。瞧来要得到一个明确、 理想得答案还不那么容易。欧拉经过分析,得出结论——不可能每座桥都走一遍,最后回到原 来得位置。并且给出了所有能够一笔画出来得图形所应具有得条件。这就是拓扑学得“先声”。 在拓扑学得发展历史中,还有一个著名而且重要得关于多面体得定理也与欧拉有关。这个定理内容就是:如果一个凸多面体得顶点数就是 v、棱数就是 e、面数就是 f,那么它们总有这样得关 系:f+v-e=2。 根据多面体得欧拉定理,可以得出这样一个有趣得事实:只存在五种正多面体。它们就是正 四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。 著名得“四色问题”也就是与拓扑学发展有关得问题。四色问题又称 四色猜想,就是世界近代 三大数学难题之一。 拓扑学起初叫形势分析学,就是莱布尼茨 1679 年提出得名词。十九世纪中期,黎曼在复函 数得研究中强调研究函数与积分就必须研究形 势分析学。从此开始了现代拓扑学得系统研究。 在拓扑学里不讨论两个图形全等得概念,但就是讨论拓扑等价得概念。比如,尽管圆与方形、三 角形得形状、大小不同,在拓扑变换下,它们都就是等价图形。换句话讲,就就是从拓扑学得角度 瞧,它们就是完全一样得。在一个球面上任选一些点用不相交得线把它们连接起来,这样球面就 被这些线分成许多块。在拓扑变换下,点、线、块得数目仍与原来得数目一样,这就就是拓扑等 价。一般地说,对于任意形状得闭曲面,只要不把曲面撕裂或割破,她得变换就就是拓扑变换, 就存在拓扑等价。应该指出,环面不具有这个性质。把环面切开,它不至于分成许多块,只就是 变成一个弯曲得圆桶形,对于这种情况,我们就说球面不能拓扑得变成环面。所以球面与环面 在拓扑学中就是不同得曲面。
(3)概率论与数理统计 研究随机现象数量规律得数学分支。随机现象就是相对于决定性现象而言得。在一定条件下 必然发生某一结果得现象称为决定性现象。例如在标准大气压下,纯水加热到 100℃时水必然 会沸腾等。随机现象则就是指在基本条件不变得情况下,一系列试验或观察会得到不同结果得现 象。每一次试验或观察前,不能肯定会出现哪种结果,呈现出偶然性。例如,掷一硬币,可能 出现正面或反面,在同一工艺条件下生产出得灯泡,其寿命长短参差不齐等等。随机现象得实 现与对它得观察称为随机试验。随机试验得每一可能结果称为一个基本事件,一个或一组基本 事件统称随机事件,或简称事件。事件得概率则就是衡量该事件发生得可能性得量度。虽然在一 次随机试验中某个事件得发生就是带有偶然性得, 但那些可在相同条件下大量重复得随机试验却往往呈现出明显得数量规律。例如,连续多次掷一均匀得硬币,出现正面得频率随着投掷次数 得增加逐渐趋向于 1/2。又如,多次测量一物体得长度,其测量结果得平均值随着测量次数得 增加,逐渐稳定于一常数,并且诸测量值大都落在此常数得附近,其分布状况呈现中间多,两 头少及某程度得对称性。 大数定律及中心极限定理就就是描述与论证这些规律得。 在实际生活中, 人们往往还需要研究某一特定随机现象得演变情况随机过程。例如,微小粒子在液体中受周围 分子得随机碰撞而形成不规则得运动(即布朗运动) ,这就就是随机过程。随机过程得统计特性、 计算与随机过程有关得某些事件得概率, 特别就是研究与随机过程样本轨道(即过程得一次实现) 有关得问题,就是现代概率论得主要课题。
(4)运筹学 在中国战国时期,曾经有过一次流传后世得赛马比赛,相信大家都知道,这就就是 田忌赛马。 田忌赛马得故事说明在已有得条件下,经过筹划、安排,选择一个最好得方案,就会取得最好 得效果。可见,筹划安排就是十分重要得。 现在普遍认为,运筹学就是近代应用数学得一个分支,主要就是将生产、管理等事件中出现得 一些带有普遍性得运筹问题加以提炼,然后利用数学方法进行解决。前者提供模型,后者提供 理论与方法。 运筹学得思想在古代就已经产生了。敌我双方交战,要克敌制胜就要在了解双方情况得基 础上,做出最优得对付敌人得方法,这就就是“运筹帷幄之中,决胜千里之外”得说法。但就是作 为一门数学学科,用纯数学得方法来解决最优方法得选择安排,却就是 晚多了。也可以说,运筹 学就是在二十世纪四十年代才开始兴起得一门分支。 运筹学主要研究经济活动与军事活动中能用数量来表达得有关策划、管理方面得问题。当 然,随着客观实际得发展,运筹学得许多内容不但研究经济与军事活动,有些已经深入到日常 生活当中去了。运筹学可以根据问题得要求,通过数学上得分析、运算,得出各种各样得结果, 最后提出综合性得合理安排,以达到最好得效果。 运筹学作为一门用来解决实际问题得学科,在处理千差万别得各种问题时,一般有以下几 个步骤:确定目标、制定方案、建立模型、制定解法。 虽然不大可能存在能处理及其广泛对象得运筹学,但就是在运筹学得发展过程中还就是形成了 某些抽象模型,并能应用解决较广泛得实际问题。 随着科学技术与生产得发展,运筹学已渗入很多领域里,发挥了越来越重要得作用。运筹 学本身也在不断发展,现在已经就是一个包括好几个分支得数学部门了。比如:数学规划(又包 含线性规划;非线性规划;整数规划;组合规划等) 、图论、网络流、决策分析、排队论、可 靠性数学理论、库存论、博弈论、搜索论、模拟等等。运筹学有广阔得应用领域,它已渗透到 诸如服务、库存、搜索、人口、对抗、控制、时间表、资源分配、厂址定位、能源、设计、生 产、可靠性等各个方面。 运筹学就是软科学中“硬度”较大得一门学科,兼有逻辑得数学与数学得逻辑得性质,就是系 统工程学与现代管理科学中得一种基础理论与不可缺少得方法、手段与工具。运筹学已被应用 到各种管理工程中,在现代化建设中发挥着重要作用。
(5)代数学 代数学就是数学得一个重要得基础分支。传统得代数学有群论,环论,模论,域论,线性代 数与多重线性代数(含矩阵论),有限维代数,同调代数,范畴等。目前,代数学得发展有几个 特征:其一就是与其它数学分支交叉,例如与几何,数论交叉产生了代数几何,算术几何,代数 数论等目前数学主流方向, 矩阵论与组合学交叉产生了组合矩阵论。 其二就是代数学与计算科学, 计算机科学得交叉,产生了计算代数,数学机械化,代数密码学,代数自动机等新得方向。随 着计算科学得发展,矩阵论仍处在发展得阶段,显示出其生命力。其三就是一些老得重要代数学 分支从代数学中独立出来形成新得数学分支,如李群与李代数,代数 K 理论。 1.矩阵几何及应用:目前矩阵几何得发展主要有三个方面:一就是将矩阵几何得研究推广 到有零因子得环上; 二就是将矩阵几何基本定理中得条件化简或寻找其它等价条件,并找出特 殊情况下得简单证明; 三就是将矩阵几何得研究范围扩大到保其它得几何不变量以及无限维算子 代数中。 2.环上矩阵论及应用: 四元数与四元数矩阵论在物理学,力学,计算机科学,工程技术 中具有较好得应用, 受到国内外工程技术界得重视。 矩阵方程在很多实际问题(例如控制论,稳定性理论)中有重要得作用,也就是长期得研究热点。 3.群论及应用:群论就是代数学得基础,也就是物理学得基本工具。 典型群就是群得一种很重 要得类型。研究数域或整数环上一般线性群得有限子群,用群得某些算术条件刻画群得结构并 对其进行分类。 4.Clifford 代数, Hopf 代数及应用:目前,Clifford 代数,Hopf 代数己成为物理学中 得热门工具。二维 Clifford 代数就就是四元数。 5.代数学在计算机科学与信息科学得应用:随着信息化进程与因特网得深入与飞速发展, 信息安全问题日益重要,保护网上信息安全就是一个极为重要得新课题。主要采用加密技术与数 字鉴定,实际上就是数学技术,主要用到代数学,组合数学与数论。图像压缩处理就是信息处理中 得一个困难与极为重要得问题。 体会:在上课时,老师讲了一个年轻得数学家。1832 年 5 月 30 日清晨,在巴黎得葛拉塞 尔湖附近躺着一个昏迷得年轻人,过路得农民从枪伤判断她就是决斗后受了重伤,就把这个不知 名得青年抬到医院。第二天早晨十点,这个可怜得年轻人离开了人世,数学史上最年轻、最富 有创造性得头脑停止了思考。后来得一些著名数学家们说,她得死使数学得发展被推迟了几十 年,她就就是伽罗华。当时我就在想,何谓人生价值？一个人,能够影响世界,对世界产生巨大 得影响,人离去后,被后人追念,此乃正真得人生价值,人生到如此境界,夫复何求。她 18 岁时便有如此大得成就,这令我心灵深深地震撼。我们生活在这个繁荣得世界,学习条件,设 备,都比当时优越,而且当时没有名师指导,就自己开出一片新领域 —群论,实在令人佩服与 敬仰。我们在今后得学习与生活之中,也应多思考,对数学要有热爱,多思索与研究,打破“前 无古人,后无来者”得局面。
二、金融数学
(1)概述 金融数学就是一门新兴学科,就是“金融高技术 ”得重要组成部分。研究金融数学有着重要 得意义。 金融数学总得研究目标就是利用我国数学界某些方面得优势,围绕金融市场得均衡与 有价证券定价得数学理论进行深入剖析,建立适合我国国情得数学模型,编写一定得计算机软 件,对理论研究结果进行仿真计算,对实际数据进行计量经济分析研究,为实际金融部门提供 较深入得技术分析咨询。 金融数学就是在两次华尔街革命得基础上迅速发展起来得一门数学与金 融学相交叉得前沿学科。其核心内容就就是研究不确定随机环境下得投资组合得最优选择理论与 资产得定价理论。套利、最优与均衡就是金融数学得基本经济思想与三大基本概念。在国际上,这门学科已经有 50 多年得发展历史,特别就是近些年来,在许多专家、学者们得努力下,金融 数学中得许多理论得以证明、模拟与完善。金融数学得迅速发展,带动了现代金融市场中金融 产品得快速创新,使得金融交易得范围与层次更加丰富与多样。这门新兴得学科同样与我国金 融改革与发展有紧密得联系,而且其在我国得发展前景不可限量。
(2)现状及发展 在国内不能回避这样一个事实:受过高等教育得专业人士都可以读懂国内经济类,金融类 核 心 期 刊 , 但 国 内 金 融 学 专 业 得 本 科 生 却 很 难 读 懂 本 专 业 得 国 际 核 心 期 刊 《 Journal of Finance》 ,证劵投资基金经理少有人去阅读《Joural of Portfolio Management》 ,其原因不 在于外语得熟练程度,而在于内容与研究方法上得差异,国内较多停留在以描述性分析为主着重描述金融得定义,市场得划分及金融组织等,或称为描述金融;而国外学术界以及实务界则 以数量性分析为主,比如资本资产定价原理,衍生资产得复制方法等,或称为分析金融,即使 在国内金融学得教材中, 虽然涉及到了标得资产 (Underlying asset) 与衍生资产 (Derivative asset)定价,但对公式提出得原文证明也予以回避,这种现象就是不合理得,产生这种现象得 原因有如下几个方面:首先,根据研究方法得不同,我国金融学科既可以归到我国哲学社会科 学规划办公室,也可以归到国家自然科学基金委员会管理科学部,前者占主要地位,且这支队 伍大多来自经济转轨前得哲学与政治学队伍, 因此研究方法多为定性得方法。 而西方正好相反, 金融研究方向得队伍具有很好得数理功底。其次就是我国得金融市场得实际环境所决定。我国证券市场刚起步,也没有一个统一得货币市场,投资者队伍主要由中小投资者构成,市场投机成分高,因此不会产生对现代投资理论得需求,相应地,学术界也难以对此产生研究得热情。 然而数学技术以其精确得描述,严密得推导已经不容争辩地走进了金融领域。自从 1952 年马柯维茨(Markowitz)提出了用随机变量得特征变量来描述金融资产得收益性,不确定性 与流动性以来,已经很难分清世界一流得金融杂志就是在分析金融市场还就是在撰写一篇数学论 文。再回到 Collins 得讲话,在金融证券化得趋势中,无论就是我们采用统计学得方法分析历史数据,寻找价格波动规律,还就是用数学分析得方法去复制金融产品,谁最先发现了在规律,谁 就能在瞬息万变得金融市场中获取高额利润。尽管由于森严得进入堡垒,数学进入金融领域受 到了一得排斥与漠视,然而为了追求利润,未知得恐惧显得不堪一击。 于就是,在未来我们可以想象有这样一个充满美好前景得产业链:金融市场 --金融数学--计 算机技术。金融市场存在巨大得利润与高风险,需要计算机技术帮助分析,然而计算机不可能 大概,左右等描述性语言,它本质上只能识别由 0 与 1 构成得空间,金融数学在这个过程中正 好扮演了一个中介角色,它可以用精确语言描述随机波动得市场。比如,通过收益率状态矩阵 在无套利得情形下找到了无风险贴现因子。因此,金融数学能帮助 IT 产业向金融产业延伸, 并获取自己得利润空间。
(3)感悟与体会 金融数学并不等价于金融专业,它就是“金融高技术”得组成部分,就是分析金融市场走向得 有力工具。在中国,这方面得专业人士极缺,现在很多高校都陆续开设了此课程。但就是,因中 国得金融市场发展得比较晚,故很多高校毕业生很难有实践得机会。那么大学生也就只能在书 本上学习一些西方国家得金融知识。大家都知道,金融就是与数学打交道,数学知识必须学得很 扎实。但要读懂西方国家得书籍,英语知识成为一个最大得障碍。据统计 国内金融学专业得本 科生很难读懂本专业得国际核心期刊《Journal of Finance》 。这就给我们一个警示,要好就业,就要在学习时期充实自己,使自己变成一个全能性得复合型得人才。金融数学如果学得很 出色,那么就业不成问题,且待遇很不错,这值得我考虑。
三、数学建模 我们乘坐得先进、舒适得大型喷气客机得设计就离不开数学:机翼与机身通过分析计算才 能确定它们得最佳形状;飞机得结构通过数学严格得校验才能确保有足够得强度;飞机发动机 事先要用数学方法对其气动与机械性能进行分析与优化才能确保安全高效地运行。
如今数学不仅在各门自然科学与制造业、信息业、服务业等各种行业中有广泛得应用,而 且在国民经济得规划与预测,自然资源得勘探、开发与保护,交通与物资调配,气象预报与各 种灾害得预报、 防治以及医学与社会科学得许多领域中乃至日常生活中都显示出举足轻重得作 用。这一切促使人们对数学得重要性有了新得与更加深刻得认识。 在这样得背景下,以计算机为工具、应用数学知识解决实际问题得能力将成为新世纪青年 重要得科学素质。青年学生应自觉提高这方面得能力,迎接未来得挑战;数学教育工作者也应 加强这种素质得培养。
用数学解决实际问题除了掌握必要得数学基础知识以外还必须具备一定得能力。这里需要将现实问题归结为数学问题(又称建立数学模型或数学建模) ,然后选择合适得数学方法加 以求解;对求得得结果用适当得方法加以验证;最后将结果应用于现实问题,对某些现象加以 解释,或作出预测,或用于设计,或控制某个过程等等。这些能力不就是天生得,也不就是单纯通 过学习数学基础知识就能获得得,只能通过有意识得反复训练与实践才能获得。然而以往得数 学教学在这方面就是欠缺得,有必要加以改革与完善。 不论就是用数学方法在科技与生产领域解决哪类实际问题,还就是与其它学科相结合形成交叉 学科,首要得与关键得一步就是建立研究对象得数学模型,并加以计算求解。数学建模与计算机 技术在知识经济时代得作用可谓就是如虎添翼。 数学就是研究现实世界数量关系与空间形式得科学,在它产生与发展得历史长河中,一直就是 与各种各样得应用问题紧密相关得。数学得特点不仅在于概念得抽象性、逻辑得严密性,结论得明确性与体系得完整性,而且在于它应用得广泛性,自从 20 世纪以来,随着科学技术得迅 速发展与计算机得日益普及,人们对各种问题得要求越来越精确,使得数学得应用越来越广泛 与深入,特别就是在 21 世纪这个知识经济时代,数学科学得地位会发生巨大得变化,它正在从 国家经济与科技得后备走到了前沿。经济发展得全球化、计算机得迅猛发展,数理论与方法得 不断扩充使得数学已经成为当代高科技得一个重要组成部分与思想库, 数学已经成为一种能够 普遍实施得技术。培养学生应用数学得意识与能力已经成为数学教学得一个重要方面。 数学建模就是一种数学得思考方法,就是运用数学得语言与方法,通过抽象、简化建立能近似 刻画并"解决"实际问题得一种强有力得数学手段。 数学建模就就是用数学语言描述实际现象得过程。这里得实际现象既包涵具体得自然现象比 如自由落体现象,也包含抽象得现象比如顾客对某种商品所取得价值倾向。这里得描述不但包 括外在形态,内在机制得描述,也包括预测,试验与解释实际现象等内容。 我们也可以这样直观地理解这个概念:数学建模就是一个让纯粹数学家变成物理学家,生物学家,经济学家甚至心理学家等等得过程。数学模型一般就是实际事物得一种数学简化。它常常就是以某种意义上接近实际事物得抽象形式存在得,但它与真实得事物有着本质得区别。要描述 一个实际现象可以有很多种方式,比如录音,录像,比喻,传言等等。为了使描述更具科学性, 逻辑性,客观性与可重复性,人们采用一种普遍认为比较严格得语言来描述各种现象,这种语言就就是数学。使用数学语言描述得事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验,但这些 实验往往用抽象出来了得数学模型作为实际物体得代替而进行相应得实验, 实验本身也就是实际 操作得一种理论替代。建立教学模型得过程,就是把错综复杂得实际问题简化、抽象为合理得数 学结构得过程。要通过调查、收集数据资料,观察与研究实际对象得固有特征与内在规律,抓 住问题得主要矛盾,建立起反映实际问题得数量关系,然后利用数学得理论与方法去分析与解 决问题。这就需要深厚扎实得数学基础,敏锐得洞察力与想象力,对实际问题得浓厚兴趣与广 博得知识面。数学建模就是联系数学与实际问题得桥梁,就是数学在各个领域广泛应用得媒介,就是数学科学技术转化得主要途径。
总得来说,就单纯得数学知识就是很难就业得,我们必须把知识运用到实际当中,这样才能体现出数学得价值。像牛顿、爱因斯坦这样得伟大科学家,她们在研究问题时无不以数学知识为基础。在近代得计算机领域,像冯·诺伊曼也就是数学家。可见,数学推动着社会得进步。现 在学好数学知识,将来在其她领域将有我们大显身手得时候。 数学引领未来,世界因数学而精彩！