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《线性代数》模拟试卷Ｂ及答案
一、选择题(每小题3分,共３0分)
(1)若A为4阶矩阵,则=( 　 )
(A) 4　 　 (Ｂ) 　 　 　(C) 　 　 (D)
(２)设A,Ｂ 为n　阶方阵,且,则( 　　)
(A) 　　 　　　 　 (Ｂ)
(C) 　　 (D)
(3)Ａ,B,C均为n 阶方阵,则下列命题正确得就是( 　)
(A) 　 　　 　 　　 (Ｂ)　
(C) 　　 　 　 (D)　
(4)成立得充要条件就是(　 　)
(Ａ) (B) 　 (Ｃ) 　(D)
(5)线性方程组有唯一解,则为( )
(A)任意实数 (B) 不等于 (C) 等于 (D) 不等于0
(6)若Ａ为可逆阵,则＝( 　 )
(A) 　 　 　(Ｂ) 　 (C) (D)
(7)含有4个未知数得齐次方程组,如果,则它得每个基础解系中解向量得个数为( )
(Ａ) 0 　 　 　(B)　1 　 　 (C) 2　　 　 　 　 (D) ３
(8)设为矩阵,齐次方程组仅有零解得充要条件就是得(　 )
(A) 列向量线性无关 　　 　 　 　(B)　列向量线性相关
(Ｃ)　行向量线性无关 　 　 (D)　行向量线性相关
(9)已知矩阵A=,下列向量就是A得特征向量得就是( 　)
(A)　　　 　 (B)　 (C)　　 　 　 　(D)　
(10)二次型为正定二次型,则 得取值范围就是( 　)
(A)　 　　 (Ｂ)　 (C) 　 　 (D)
二、计算题(第1、2小题每题5分,第3、4小题每题10分,共30分)
1、计算行列式 。(5分)
２、设,求得逆。(5分)
3、求矩阵方程,其中。(１0分)
4、求向量组,,,得秩,并求出它得一个最大无关组。(1０分)
三、证明题(第１小题９分,第2小题６分,共1５分)
1、已知向量组线性无关,,试证向量组线性无关、(９分)
2、设A、B分别为m,n阶可逆矩阵,证明:
可逆,且。(6分)
四、综合题(第１小题1５分,第2小题10分,共25分)
1、取何值时,非齐次线性方程组,(1)有唯一解;(２)无解;(３)有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解。(15分)
2、已知A为n阶方阵,且满足
(1)证明:可逆,并求。(5分)
(２)若,求得值。(5分)
《线性代数》模拟试卷四参考答案与评分标准
一、选择题(３０分)
每题3分,共10题,共3０分
(1) 　B (2)　D 　 　　(３)　C　　 (4)A 　 　 　(5) B
(6) C (7) 　D 　 　　 (８)　 A 　 (9)　D　　 　 (１0)A
二、计算题(30分)
第1、2小题每题5分,第3、４小题每题１0分,共30分。
１、==
=
或以其它方式计算视情况酌情给分,结果正确得5分、
2、对作初等行变换,当变为时,则变为,
……4分
则……………………………………………………. ５分
也可用求伴随矩阵得方法求该矩阵得逆,视情况都可酌情给分。
３、由,得,求,我们同样可以用上面题目得方法,对进行初等变换,当变为时,则变为,
……、.。。.、。、５分
=……………………………………、。8分
则,=…………………………………………。、…10分
4、作矩阵经过初等行变换可化为行最简形矩阵,得,即向量组得秩为2,……….6分
可取为向量组得一个最大无关组…………………………… .１０分
由题意可知向量组中得任何两个(因对应分量不成比例)都可以做为它得一个最大无关组。
三、证明题(15分)
第1小题9分,第２小题6分,共１５分。
１、证明:设有使,………………………、。。。、.、。、2分
　 即　,………………………　　.4分
亦即 ,……………………………。６分
　因线性无关,故有,……………………………8分
故方程组只有零解,所以向量组线性无关。…、。９分。
2、证明:………………….、4分
　　　故可逆且………………………………………。、6分
四、综合题(25分)
第1小题1５分,第2小题１０分,共２５分、
1、计算线性方程组得系数行列式
……………、、6分
当,方程组有唯一解,即
(1),方程组有唯一解;……………………………。8分
(2)当,方程组得增广矩阵为
,
则,方程组无解;………………………………１0分
(3)当,方程组得增广矩阵为
,,………、12分
方程组有无穷多个解,可得通解为
即:……………….…15分
2、(1)证明:由,得,则…………、….。1分
　 　 　　由A为n阶方阵,,…………………、。、、、3分
　 ,可逆,由上可得:,
　 　 …………………………………………………、。.。…、5　分
　(2)由,可得,………………………、、.　、１分
　　 则,所以,由,…………。.、 ３分
　 　　得………………………………。、..。、、.5 分