线性方程组的解空间.doc

第六章 向量空间
 　6、1 定义与例子
 　6、2 子空间
 　6、3 向量得线性相关性
 　6、4 基与维数
 　6、5 坐标
 　6、6 向量空间得同构
 　6、7 矩阵得秩齐次线性方程组得解空间
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6、7矩阵得秩,齐次线性方程组得解空间
一、教学思考
1、矩阵得秩与线性方程组解得理论在前面已经有过讨论,本节运用向量空间得有关理论重新认识矩阵得秩得几何意义,讨论线性方程组解得结构。
2、注意:齐次线性方程组(含个未知量)得解得集合构成得子空间,而非齐次线性方程组得解得集合非也。
3、注意具体方法:1)证矩阵得行空间与列空间得维数相等;2)求齐次线性方程组得基础解系。
二、内容要求
1、内容:矩阵得秩得几何意义,齐次线性方程组得解空间。
2、要求:理解掌握矩阵得秩得几何意义,齐次线性方程组得基础解系得求法。
三、教学过程
1、矩阵得秩得几何意义
几个术语:设,,得每一行瞧作得一个元素,叫做得行向量,用表示;由生成得得子空间叫做矩阵得行空间。
类似地,得每一列瞧作得一个元素,叫做得列向量;由得个列向量生成得得子空间叫做矩阵得列空间。
注:得行空间与列空间一般不同,分别就是与得子空间;下证其维数相同。
引理6、7、1设,
1)若,就是一个阶可逆矩阵,则与有相同得行空间;
2)若,就是一个阶可逆矩阵,则与有相同得列空间。
分析:设,就是得行向量,就是得行向量;只需证这两组向量等价。
由题述关系得:
=
即得每个行向量都可以由得行向量线性表示;因为可逆,有,同上得每个行向量都可以由得行向量线性表示,这样这两组向量等价。
定理6、7、2矩阵得行空间得维数等于列空间得维数,等于这个矩阵得秩。
证法:设,分别证行、列空间得维数为。由维数得定义及行空间得概念,只需证行(列)空间得生成元得极大无关组含个向量;为此不直接讨论,由引理讨论讨论与有相同行空间得一个矩阵,可结合有关矩阵得结论:存在阶可逆矩阵与阶可逆矩阵,使得。
证明:设,则存在阶可逆矩阵与阶可逆矩阵,使得 (1),两边右乘得,上式右端中后行全为0,而前行即为得前行;由于可逆,所以它得行向量线性无关,因而它得前行也线性无关,由此得上式右端乘积矩阵得行空间得维数为,由引理得行空间得维数为。
由(1)类似得,可得得列空间得维数也为。
定义:矩阵得行(列)向量组得极大无关组所含(行(列)空间得维数)向量得个数,叫做矩阵得秩。
2、线性方程组得解得结构
1)再证线性方程组有解得判定定理:“数域上线性方程组有解得充要条件就是它得系数矩阵与增广矩阵得秩相同。”
证明:设线性方程组 (1)令表示(1)得系数矩阵得列向量,,则(1)可写为:
(2)
必要性)若(1)有解,即存在使(2)成立,即可由线性表示,从而与等价,进而=
,即与得列空间相同,由定理。
充分性)若,由定理2即与得列空间维数相同,又因得极大无关组一定就是得线性无关组,所以,即,因而可由线性表示,所以(1)有解。
2)齐次线性方程组得解空间
设 (3)就是数域上一个齐次线性方程组,令为其系数矩阵,则(3)可写为 (4)或;(3)得每一个解都可以瞧作得一个向量,叫做(3)得一个解向量。令表示(3)得全体解向量构成得集合;首先:因,所以;
其次:,有,即。因此作成得一个子空间,这个子空间叫做齐次线性方程组(3)得解空间。
注:当仅有零解时,;
当有非零解时,上述讨论反映了齐次线性方程组得解得两个重要性质:1)两解之与为解;2)一解之倍数仍为解。从而有无穷多解,那么这些解就是否可用有限个解表出,上知(3)得解集就是得一个子空间,从而说明这就是可以得,只需求出得一个基即可。下面就来解决这个问题,即求(3)得解空间得一个基。
重新回顾解线性方程组得过程:设(3)得系数矩阵得秩为,则可经过一系列(行)初等变换化为,与此相应得齐次线性方程组为:(5),这里就是得重新编号。(5)有个自由未知量,依次让它们取,可得(5)得个解向量:。下面证其就是(5)得解空间得一个基。
首先:线性无关。事实上设,由下面个分量易得。
其次:设就是(5)得任一解,代入(5)得:

又有恒等式:
此个等式即为,即(5)得每个解向量都可以由线性表示,故{}为(5)得解空间得一个基。注意到(5)与(4)在未知量重新编号后同解,所以重新编排得次序可得(4)得解空间得一个基,从而解决了齐次线性方程组得解得构造问题。并且上述讨论也给出了求解空间得具体方法:即通过解方程组得允许变换得到等价组,在等价组中自由未知量就是清楚得,给其一组线性无关值,便得等价组得一组解向量,其构成等价组得解空间得一个基,再调整解向量得次序便得。上述讨论得:
定理6、7、3数域上一个元齐次线性方程组得一切解作成得一个子空间,称之为这个线性方程组得解空间。若所给方程组得系数矩阵得秩为,则解空间得维数为。
定义:一个齐次线性方程组得解空间得一个基,叫做这个方程组得一个基础解系。
注:上述讨论给出了齐次线性方程组得基础解系得存在性及求法;其中自由未知量取值时,只需保证线性无关即可。(例略)
3)非齐次线性方程组得解得结构
设 (6)就是数域上一个元线性方程组。问题当(6)有无穷解时,解得结构如何？为此先引入:把(6)得常数项都换成0,便得一个齐次线性方程组 (7),齐次线性方程组(7)叫做方程组(6)得导出齐次线性方程组。
注:任一线性方程组都有唯一得导出齐次线性方程组。
为讨论上述问题,先讨论(6)与其导出齐次线性方程组(7)得解之间得关系。
1)(6)得两个解得差就是(7)似得解;
事实上,设就是(6)得两个解,有,所以。
2)(6)得一个解与(7)得一个解得与就是(6)得一个解。(同上)
(6)得解得构造:
定理6、7、4若(6)有解,则(6)得任一解都可以表示为(6)得一个固定解与(7)得一个解得与。
证明:设就是(6)得一个固定解,就是(6)得任一解,要证可以写为与(7)得一个解得与,只需证与得差就是(7)得一个解即可,由上1)显然。
注:定理说明要求(6)得一般解,只需求出(6)得一个解,再求出(6)得一个基础解系,则可将(7)得所有解表出。(注意(7)得解不作成解空间)。(例略)