2021版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.pdf

第第 2 2 课时课时简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换考点 1三角函数式的化简1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次12cosx2cosx2(1)化简：2 .2tan4xsin4x4210(2)已知 cos，0，则 sin2 .410235(3)已知为第二象限角，且 tantan2tantan2，则 sin61212 .143 33 10(1)cos 2x(2)(3)(1)原式21010124cosx4cosx142sinx422cosx4cosx42cosx14sinxcosx44cos 2xcos 2x1 cos 2x.2cos 2x22sin2x222221cos22142(2)由题意可得，cos，cos2sin 2，4221054即 sin 2.510因为 cos0，0，4102所以 0，20，243根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2，5由两角差的正弦公式，可得sin2sin 2coscos 2sin333413343 3 .525210(3)由已知可得 tan2，12为第二象限角，2 55sin，cos，1212555则 sinsin66sin3 10cossinsincos.12124410(1)化简标准：函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用考点 2三角函数的求值给角求值2sin 50sin 10(1 3tan 10)2sin280 .cos 10 3sin 106 原 式 2sin 50sin 10cos 102 sin80 13cos 10sin 102 cos 1022 sin 50cos222sin 502sin 10cos 1010sin 10cos(6010)2 2sin(5010)2 23 6.2该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值给值求值74 3(1)(2019益阳 模拟)已知 cos6sin5，则 sin6 .3177，则sin 22sin的值为(2)已知 cos，41tan45124284 3(1)(2)(1)由 cossin，65755可得314 3cos sinsin，2252334 3即 sincos，2254 3所以 3sin，654即 sin，6574所以 sinsin.665sin 22sin2sincos2sin(2)1tansin1cos2sincoscossincossin221tansin 2sin 2tan.1tan4由1775得2，12434又 cos3，5444所以 sin，tan.534427 2coscos，sin，1010447sin 2.252sin 22sin7428所以.1tan25375(1)给值求值的关键是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来(2)注意x与x互余，sin 2xcos 2x，cos 2xsin 2x的灵活4444应用。给值求角53 10(1)设，为钝角，且 sin5，cos10，则的值为()A.C.3474B.D.5457或4411(2)已知，(0，)，且 tan()，tan，则 2的值为27353 10(1)C(2)(1)，为钝角，sin，cos，45102 510cos，sin，510cos()coscossinsin又(，2)，7.4(2)tantan()1127tantan1 0，1tantan1131 270.220.23，2，22tan3又tan 222 0，1tan141 302，23147tan 2tantan(2)1.1tan 2tan311 471tan 0，20，7232.4通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：(1)已知正切函数值，则选正切函数123(2)已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数若角的范围是0，则选正、余弦2皆可；若角的范围是(0，)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好22提醒：求解此类问题时，一定要注意所求角的范围及解题过程中角的范围5101.(2019安徽六 安二模)若 sin 25，sin()10，且A.C.74，则的值是()9459或44515，所以 2，526B.D.57或44A因为所以，且 0sin 25，cos 2 1sin222 5.512213，所以，122100，所以，102因为又 sin()所以 cos()1sin23 10.10所以 cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()2 53 105102.5102105又选 A.sin4且 2sin2sin2 已知0，cos3cos20，则2sin 2cos 21 .26220，且 2sinsincos3cos0，28则(2sin3cos)(sincos)0，5，122，所以17，2，所以7.故412又0，sincos0，22sin3cos，又 sincos1，cos23，sin，131322sin4sin 2cos 212sincos2226.222sincoscossin4cos8cos 101 3tan 10的值是cos 503.cos 10 3sin 102sin10302sin 402原式2.cos 50cos 50sin 40考点 3三角恒等变换的综合应用三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用(2)把形如yasinxbcosx化为yabsin(x)，可进一步研究函数的周期性、22单调性、最值与对称性(2019浙江高考)设函数f(x)sinx，xR R.(1)已知0,2)，函数f(x)是偶函数，求的值；(2)求函数y解(1)因为f(x)sin(x)是偶函数，所以对任意实数x都有 sin(x)sin(x)，即 sinxcoscosxsinsinxcoscosxsin，故 2sinxcos0，所以 cos0.又0,2)，因此(2)y22sinxsinx4121cos2x1cos2x62221331cos 2x sin 2x22213cos2x.32.3或.22的值域因此，所求函数的值域是(1)求三角函数解析式yAsin(x)(A0，0)时要注意的取值范围(2)根据二倍角公式进行计算时，如果涉及开方，则要注意开方后三角函数值的符号已知函数f(x)sin2xcos2x2 3sinxcosx(xR R)(1)求f2的值；3(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间2321解(1)由 sin，cos，得323222f2312 3312.2232222(2)由 cos 2xcosxsinx与 sin 2x2sinxcosx，得f(x)cos 2x 3sin 2x2sin2x.6所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质，得32k2x2k，kZ Z，2622解得kxk，kZ Z.63所以f(x)的单调递增区间为(kZ Z).