数值分析试题.doc

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( 密 封 线 内 不 答 题 )
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华南理工大学研究生课程考试
《数值分析》试卷A （2015年1月9日）
注意事项：1、 考前请将密封线内各项信息填写清楚；
2、 所有答案请按要求填写在本试卷上；
3、 课程代码：S0003004； 4、 考试形式：闭卷； 5、 考生类别：硕士研究生；
6、 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。

一．（12分）解答下列问题
1．欲计算下式：
试给出乘法次数尽可能少得计算形式。
2．设有递推公式
如果取 作实际计算，问计算到时误差为初始误差得多少倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？
二、 （14分）解答下列问题
1、 若，则与得值分别就是多少？
2、 已知，试利用二次插值方法求得近似值，并估计误差。
三、 (10分) 设在互易节点上得值。试证明：在节点上得n次最小二乘拟合多项式与在节点上得n次Lagrange插值多项式一致，即。
四、 (12分) 按代数精度得定义，构造下列形式得求积公式（即确定参数）:

要求公式具有尽可能高得代数精度，并说明所得公式就是不就是Gauss型求积公式。
五、 (14分) 已知线性代数方程组Ax=b为：
(1) 用顺序高斯消去法求解方程组Ax=b；
(2) 先由(1)得消元过程直接写出A得LU分解，再利用该LU分解求解方程组Ax=b。
六、 (12分) 对方程组，拟用迭代法

求解，试确定实数得取值范围，使得该迭代公式收敛。
七、 (14分) 欲求方程 得根，试
（1）证明 [3, 4] 为方程得一个有根区间；
（2）在区间 [3, 4] 上构造一个收敛得不动点迭代公式；
（3）求所构造迭代公式得收敛阶。
八、 (12分) 对初值问题

（1）试利用Taylor展开公式推导下列数值求解公式：

（2）指出上述公式就是几阶公式。