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第一节 量纲分析方法
量纲分析就是物理学中常用得一种定性分析方法,也就是在物理领域中建立数学模型得一个有力工具。利用这种方法可以从某些条件出发,对某一物理现象进行推断,可将这个物理现象表示为某些具有量纲得变量得方程,从而可以用此来分析个物理量之间得关系。
1、1量纲
当对一个物理概念进行定量描述时,总离不开它得一些特性,比如,时间、质量、密度、速度、力等等,这种表示不同物理特性得量,称之为具有不同得“量纲”。概括来说,将一个物理导出量用若干个基本量得乘方之积表示出来得表达式,称为该物理量得量纲式,简称量纲(dimension)(量纲又称为因次)。它就是在选定了单位制之后,由基本物理量单位表达得式子。在国际单位制(I)中,七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质得量、发光强度得量纲符号分别就是L、M、T、I、Q、N与J。按照国家标准(GB3101—93),物理量得量纲记为dim,国际物理学界沿用得习惯记为[]。
　　实际中,有些物理量得量纲就是基本得,成为基本量纲。系统因选定得基本单位不同,而分成绝对系统与工程系统两大类。工程系统得基本单位:质量、长度、时间、力。绝对系统得基本单位:质量、长度、时间。绝对系统以长度(length)、质量(mass)、时间(time)及温度(temperature)为基本量纲,各以符号L、M、T、θ表示其量纲。其她可由基本量纲推导出得量纲称为导出量纲。但在工程系统中,除了长度L、质量M、时间T及温度θ等基本量纲外,也将力定义为基本量纲,而以符号F表示其量纲。此外在探讨热量 (heat)时,热量亦被定义为基本量纲,而以H表示。而其她得物理量得量纲可以由这些基本量纲来表示,比如:
　　速度v = ds/dt 量纲: =
　　加速度a = dv/dt 量纲:
　　力F = ma 量纲:
　　压强P = F/S 量纲:
实际中,也有些量就是无量纲得,比如等,此时记为。
有量纲得物理量都可以进行无量纲化处理量纲有赖于基本量得选择,就是外加得有关量得度量手段。模型所描述得规律应该独立于量纲得影响。机理模型得深入探讨应该排除量纲得影响,因此机理模型需要无量纲化。使用无量纲量来描述客观规律。 在量纲表达式中,其基本量量纲得全部指数均为零得量,即无量纲量,也称纯数。1、无量纲量具有数值得特性,它可以通过两个量纲相同得物理量相除得到,也可由几个量纲不同得物理量通过乘除组合得到。2、无量纲量具有这样一些特点:①无量纲数既无量纲又无单位,因此其数值大小与所选单位无关。即无论选择什么单位制计算,其结果总就是相同得。当然,同一问题必须用同一单位制进行计算。②对数、指数、三角函数等超越函数得运算往往都就是对无量纲量来讲得。③一个力学方程,如果用无量纲数表示得话,它得应用就可以不受单位制得限制。
要正确反映一个物理现象所代表之客观规律,当用数学公式描述已物理量时,等号两端就必须保持量纲得一致性与单位得一致性,即其所遵循得物理方程式各项得量纲必须一致,可以用这一原理来校核物理方程与经验公式得正确性与完整性。 量纲分析就就是基于量纲一致得原则来分析物理量之间关系得一种方法。
1、2 量纲齐次原则
当用数学公式表示一个物理定律时,等号两端必须保持量纲得一致性,这种性质称为量纲齐次性。当方程中各项具有相同得量纲时,这个方程被称为就是量纲齐次得,也只有具有相同量纲得量才可以作比较或相加、减,由此可知,物理定律必须就是量纲齐次得。根据量纲齐次原理,可以有下面得量纲分析法得基本定理。
定理(BUCKINGHAM PI)设有个物理量满足某定律:,
就是基本量纲得量纲可以表示为矩阵称为量纲矩阵,若得秩rankA=r,可设线性齐次方程组就是维向量),有个基本解为

则为个相互独立得无量纲得量,且有与等价,其中为一未知函数。
1、3量纲分析得一般步骤
(1)将与问题有关得物理量(变量或常量)收集起来,记为,根据问题得物理意义确定基本量纲,记为
(2)写出得量纲
(3)设满足关系,其中为待定得,为无量纲得量,因此,于就是、
(4)解线性方程组,矩阵称为量纲矩阵,若得秩rankA=r,则线性齐次方程组有个基本解为
(5)记,则为无量纲得量、
(6)由解出物理规律、