南昌大学第四届高数竞赛(经济类)试题答案.doc

南昌大学第四届高等数学竞赛(经济类)试题答案
一、 填空题：（每题3分，共18分）
1、； 2、2； 3、； 4、； 5、； 6、2.
二、选择题：（每题3分，共18分）
1、C； 2、D； 3、A ； 4、B； 5、A； 6、B.
三、解：是，的复合函数，故
……………………2分
类似地，于是……4分
由假设可知，从而，即，
故，，.…………6分
四、解：，由对称性可知
……………………………………………2分
…………………………………4分
……………………………………6分
五、解：已知直线的斜率，
设所求直线的斜率为，则………………………………1分
又设所求直线与曲线相切于点，则应有
(1)……2分
且，即 (2)……3分
联立(1)、(2)解得 及，故所求的直线方程为
和………………………………6分
六、解：由条件(1)可设所求抛物线方程为 (1)………1分
因抛物线过点，所以，由开口向下知，从而
，于是方程(1)可写成，其中………2分
当时，或，于是得到跑物线与轴所围图形的面积为
………………3分
将代入上式得，…………………………4分
，令得唯一驻点
因为时，，时，，所以在处(此时)取得最小值。故所求抛物线方程为：…………6分
七、解、等式两边对求导数，…………………………1分
即………………………………………………………………2分
因为，所以有……………………………………………3分
于是………………………………………………4分
由于，故，代入恒等式得
…………………………………………………5分
即，解得，故………………6分
八、解：设在处取得在上的最小值，则
，……………………………………………2分
依泰勒公式，介于之间。
特别地，， (1)
, (2)……4分
令，由(1)得 (3)
由(2)得 (4)……5分
若，由(3)知，若，由(4)知
综合可得：………………………………………………………6分
九、解：级数的收敛域为……………………………1分
令，，则时，
，………………3分
因为，故
即，
，
而，所以，………………5分
由于在左连续，在右连续，所以

故…………………………………………7分
十、解：(1) 令，则，故…2分
因为时，，且时，，
所以，
即，…………………………………………4分
(2)因为，，
所以，…………………………6分
而收敛，故收敛，从而绝对收敛……7分
十一、解：由知…………1分
对内任一给定值，

……3分
可见在点可导，且，即 ……5分
解上述方程得：……………………6分
由得，故…………………………………………7分
十二、解：……………………………………2分
而
…4分
………………………5分
，于是，
所以，由夹逼准则得到：……………………………7分