常数项级数的审敛法1.pptx

12.1 12.1 内容回顾内容回顾若若S 称级数称级数(1)收敛收敛,否则称发散。否则称发散。(1)当级数收敛时当级数收敛时,注注:只有收敛时才谈只有收敛时才谈余项余项及及误差误差问题。问题。称为用称为用sn近似代替近似代替s所产生的误差。所产生的误差。一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 性质性质1.若级数若级数收敛于收敛于 S,则则收敛于收敛于 c S.二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 性质性质2.2.设有两个收敛级数设有两个收敛级数则级数则级数也收敛也收敛,其和为其和为性质性质3.在级数前面在级数前面加上加上或或去掉去掉或或改变改变有限项有限项,不会影响级数的敛散性不会影响级数的敛散性.性质性质4.收敛级数加括弧后仍收敛于原级数收敛级数加括弧后仍收敛于原级数的和的和.设收敛级数设收敛级数则必有则必有性质性质5.1.等比级数等比级数(又称几何级数又称几何级数)时时,等比级数收敛等比级数收敛;时时,等比级数发散等比级数发散.2.调和级数调和级数发散发散.3.p-级数级数当当P1时收敛时收敛.当当P1时发散时发散.(证明在后面证明在后面)以上级数的敛散性一定要记住以上级数的敛散性一定要记住!常用级数常用级数二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法12.2 12.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 第十二章第十二章 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若若定理定理 1.正项级数正项级数收敛收敛部分和数列部分和数列有界有界.部分和数列部分和数列有界。有界。则称则称为为正项级数正项级数.单调递增单调递增,收敛收敛 收敛收敛证证:定理定理2(比较审敛法比较审敛法)设设若有若有(1)若若强强级数级数则则弱弱级数级数(2)若若弱弱级数级数则则强强级数级数则有则有收敛收敛,也收敛也收敛;发散发散,也发散也发散.是两个是两个正项级数正项级数,(常数常数 k 0 n=1,2),(大头收敛则小头收敛大头收敛则小头收敛)(小头发散则大头发散小头发散则大头发散)（1）因在级数前加、减有限项不改变其）因在级数前加、减有限项不改变其 其敛散性其敛散性,故不妨设故不妨设存在存在当当时，有时，有则定理则定理2的结论仍成立。的结论仍成立。(常数常数 k 0),说明说明级数、级数、调和级数、调和级数、p-级数当作强级数或弱级数。级数当作强级数或弱级数。（2）使用定理）使用定理2时，常常把某一个等比时，常常把某一个等比例例1.讨论讨论 p 级数级数(常数常数 p 0)的敛散性的敛散性.解解:1)若若因为对一切因为对一切而调和级数而调和级数由比较审敛法可知由比较审敛法可知 发散发散.发散发散,因为当因为当故故 级数级数部分和部分和时时,2)若若收敛收敛,p 级数收敛级数收敛.证明级数证明级数发散发散.证证:因为因为而级数而级数发散发散原级数发散原级数发散.例例2.2.定理定理3.(比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式)则有则有两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散;(2)当当 l=0(3)当当 l=证证:据极限定义据极限定义,设两正项级数设两正项级数满足满足(1)当当 0 l 时时,得同时收敛或发散得同时收敛或发散;(3)当当l=时时,即即得得发散发散,(1)当当0 l 时时,(2)当当l=0时时,收敛收敛,得得特别取特别取可得如下结论可得如下结论:（2）如何选择）如何选择 p?是关键是关键!首先首先(否则否则 发散发散)即为比较级数即为比较级数.说明说明 （1）定理）定理2中中则选择则选择的等价或同阶无穷小的等价或同阶无穷小的敛散性的敛散性.例例3.判别级数判别级数的敛散性的敛散性.解解:例例4.判别级数判别级数解解:定理定理4.比值审敛法比值审敛法设设 为正项级数为正项级数,且且则则(1)当当(2)当当证证:(1)收敛收敛,时时,级数收敛级数收敛;或或时时,级数发散级数发散.由比较审敛法可知由比较审敛法可知(达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法)因此因此不趋于零，所以级数发散不趋于零，所以级数发散.时时,(2)当当说明说明:当当时时,级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散.例如例如,p 级数级数但但级数收敛级数收敛;级数发散级数发散.从而从而例例6.讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性.解解:根据定理根据定理4可知可知:级数收敛级数收敛;级数发散级数发散;定理定理5.根值审敛法根值审敛法(柯西判别法柯西判别法)设设 为正项级为正项级则则证明方法与定理的证明方法类似，此略证明方法与定理的证明方法类似，此略 数数,且且时时,级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散.例如例如,p 级数级数 说明说明:但但级数收敛级数收敛;级数发散级数发散.另注意定理另注意定理4,5的条件的条件均为充分性条件均为充分性条件.思考：思考：何时用比值判别法？何时用根值判别法？何时用比值判别法？何时用根值判别法？当通项含阶乘时当通项含阶乘时,常用比值判别法常用比值判别法;当通项含当通项含n次幂时次幂时,常用根值判别法常用根值判别法.所以所以所以所以内容小结内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法正项级数审敛法必要条件必要条件不满足不满足发发 散散满足满足比值审敛法比值审敛法根值审敛法根值审敛法收收 敛敛发发 散散不定不定 比较审敛法比较审敛法用它法判别用它法判别部分和极限部分和极限(定义法定义法)(最好用极限形式最好用极限形式)作业习题作业习题12-212-2 1(1),(3),(5);2 (2),(3),(4);3 (1),(2);4 (1),(3),(5),(6);