不等式与线性规划.doc

2009年课改区高考数学试题分类汇编——
不等式与线性规划
一、选择题
1.（2009安徽卷理）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是
（A）p:＞b+d , q:＞b且c＞d
（B）p:a＞1,b>1 q:的图像不过第二象限
（C）p: x=1, q:
（D）p:a＞1, q: 在上为增函数
[解析]：由＞b且c＞d＞b+d，而由＞b+d ＞b且c＞d，可举反例。选A
2.(2009山东卷理)设x，y满足约束条件 ，
若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，
则的最小值为( ).
A. B. C. D. 4
x
2
2
y
O
-2
z=ax+by
3x-y-6=0
x-y+2=0

【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0）
过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,
目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,
即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.
答案:A
【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3.（2009安徽卷理）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是
B
（A） （B） （C） （D）
A
x
D
y
C
O
y=kx+
[解析]：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC
由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）
∴△ABC=，设与的
交点为D，则由知，∴
∴选A。
4.（2009安徽卷文）不等式组所表示的平面区域的面积等于
A. B.
C. D.
【解析】由可得，故阴 =，选C。
【答案】C
5.（2009安徽卷文）“”是“且”的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】易得时必有.若时，则可能有，选A。
【答案】A
6.（2009宁夏海南卷理）设x,y满足
（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值
（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值
解析：画出可行域可知，当过点（2，0）时，，但无最大值。选B.
7.（2009宁夏海南卷文）设满足则
（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值
（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【答案】B
【解析】画出不等式表示的平面区域，如右图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z＝2，无最大值，故选.B

8.（2009天津卷理）设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为
（A）6 （B）7 （C）8 （D）23
【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。
解析：画出不等式表示的可行域，如右图，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得，所以，故选择B。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

9.（2009天津卷理）设若的最小值为
A 8 B 4 C 1 D
【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。
【解析】因为，所以，
，当且仅当即时“=”成立，故选择C
10.（2009天津卷理）,若关于x 的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则
（A） （B） （C） （D）
【考点定位】本小题考查解一元二次不等式，
解析：由题得不等式＞即，它的解应在两根之间，故有，不等式的解集为或。若不等式的解集为，又由得，故，即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
11.（2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为
A. -5 B. 1 C. 2 D. 3
解析解析 如图可得黄色即为满足的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D.

二、填空题
1.（2009浙江理）若实数满足不等式组则的最小值是 ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
答案：4
【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时，
2.（2009浙江卷文）若实数满足不等式组则的最小值是 ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性区域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求
【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时，
3.(2009山东卷理)不等式的解集为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】:原不等式等价于不等式组①或②
或③不等式组①无解,由②得,由③得,综上得,所以原不等式的解集为.
答案:
【命题立意】:本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法,需要根据绝对值的定义分段去掉绝对值号,最后把各种情况综合得出答案.本题涉及到分类讨论的数学思想.
4.(2009山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】:设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示:
产品
设备
A类产品
(件)(≥50)
B类产品
(件)(≥140)
租赁费
(元)
甲设备
5
10
200
乙设备
6
20
300
则满足的关系为即:, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时，目标函数取得最低为2300元. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
答案:2300
【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题..
5.（2009年上海卷理）若行列式中，元素4的代数余子式大于0，
则x满足的条件是________________________ .
【答案】
【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
6.（2009上海卷文） 已知实数x、y满足 则目标函数z=x-2y的最小值是___________.
【答案】－9

【解析】画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：－z，画直线及其平行线，当此直线经过点A时，－z的值最大，z的值最小，A点坐标为（3,6），所以，z的最小值为：3－2×6＝－9。
三、解答题
1.（2009江苏卷）(本小题满分16分)
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为
(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=；
(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
【解析】 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。满分16分。
(1)
当时，,
, = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）当时，

由，
故当即时，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。
（3）（方法一）由（2）知：=
由得：，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
令则，即：。
同理，由得：
另一方面，
当且仅当，即=时，取等号。
所以不能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m