2019年高考—圆锥曲线知识点总结.doc

2019年高考专题-圆锥曲线的方程与性质
1．椭圆
（1）椭圆概念
平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。
椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。
注：①以上方程中的大小，其中；
②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；
②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；
③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即；
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。
2．双曲线
（1）双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。
注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

椭圆和双曲线比较：

椭 圆
双 曲 线
定义

方程

焦点

注意：如何用方程确定焦点的位置！
（2）双曲线的性质
①范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。
②对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。
令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
⑤等轴双曲线：
1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；
2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。
3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为： ，当时交点在轴，当时焦点在轴上。
⑥注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。
3．抛物线
（1）抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
方程叫做抛物线的标准方程。
注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是 ；

（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：
标准方程

图形

焦点坐标

准线方程

范围

对称性
轴
轴
轴
轴
顶点

离心率

说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。

（一）椭圆的定义：
1、椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 、叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
对椭圆定义的几点说明：
（1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；
（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分；
（3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F1F2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F1F2|时，我们得到的是线段F1F2；当这个“常数”小于| F1F2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。
（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A1， A2， B1， B2，于是我们易得| A1A2|的值就是那个“常数”，且|B2F2|+|B2F1|、|B1F2|+|B1F1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。

（5）中心在原点、焦点分别在x轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：

相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，。
不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c，0）和（c，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c）和（0，c）。椭圆的焦点在 x 轴上标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y2项的分母较大。
（二）椭圆的几何性质：
椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要的有关性质中横坐标x和纵坐标y互换，就可以得出的有关性质。总结如下：

几点说明：
（1）长轴：线段，长为；短轴：线段，长为；焦点在长轴上。
（2）对于离心率e，因为a>c>0，所以0<e<1，离心率反映了椭圆的扁平程度。
由于，所以越趋近于1，越趋近于，椭圆越扁平；越趋近于0，越趋近于，椭圆越圆。
（3）观察下图，，所以，所以椭圆的离心率e = cos∠OF2B2

知识点一：椭圆的定义
第一定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和为定值 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
　注意：若，则动点的轨迹为线段；
　　　　若，则动点的轨迹不存在.
知识点二：椭圆的标准方程
1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中
2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中.
注意：只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
‚在椭圆的两种标准方程中，都有和；ƒ椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；
当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；
知识点三：椭圆的第二方程
1. 椭圆的参数方程
（为参数）

2. 椭圆的第二定义
到F（c，0）的距离和到直线：的距离之比为常数（）的点的轨迹为。
3. 焦半径P（，）在椭圆上，F1（，0）、F2（，0）为焦点

例题讲解
（三）直线与椭圆：
直线：（、不同时为0）
椭圆：
那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下：
消去得到关于的一元二次方程，化简后形式如下
，
（1）当时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点；
（2）当时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）；
（3）当时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。
注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为，那么线段的长度（即弦长）为，设直线的斜率为，
可得：，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。
［例1］求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭圆经过点（－，）；
（3）焦点在坐标轴上，且经过点A（，－2）和B（－2，1）

分析：根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，求出椭圆中的a、b即可。若判断不出焦点在哪个轴上，可采用标准方程的统一形式。
解析：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＝1（a＞b＞0）
∵2a＝10，2c＝8，∴a＝5，c＝4
∴b2＝a2－c2＝52－42＝9
所以所求的椭圆的标准方程为＝1
（2）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＝1（a＞b＞0）
由椭圆的定义知，
2a＝
又c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6
所以所求的椭圆的标准方程为＝1
（3）解法一：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＝1（a＞b＞0）
由A（，－2）和B（－2，1）两点在椭圆上可得：
解之得
若焦点在y轴上，设所求椭圆方程为＝1（a＞b＞0），同上可解得，不合题意，舍去。
故所求的椭圆方程为＝1
解法二：设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0且m≠n）。
由A（，－2）和B（－2，1）两点在椭圆上可得

即，解得
故所求的椭圆方程为＝1
点评：（1）求椭圆的标准方程时，首先应明确椭圆的焦点位置，再用待定系数法求a、b。
（2）第（3）小题中的椭圆是存在且惟一的，为计算简便，可设其方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0），不必考虑焦点位置，直接可求得方程．想一想，为什么？

［例2］已知B、C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。
分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系．为选择适当的坐标系，常常需要画出草图。如图所示，由△ABC的周长等于16，|BC|＝6可知，点A到B、C两点的距离的和是常数，即|AB|＋|AC|＝16－6＝10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图。

解析：如图所示，建立坐标系，使x轴经过点B、Ｃ，原点Ｏ与BC的中点重合。
由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝16，|BC|＝6，有|AB|＋|AC|＝10，即点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2c＝6，2a＝10，
∴c＝3，a＝5，b2＝52－32＝16。
由于点A在直线BC上时，即y＝0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是＝1（y≠0）。
点评：椭圆的定义在解题中有着广泛的应用，另外，求出曲线的方程后，要检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在方程后注明，常用限制条件来注明。

［例3］一动圆与已知圆O1：（x＋3）2＋y2＝1外切，与圆O2：（x－3）2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程。
分析：两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，可以找到动圆圆心满足的条件。

解析：两定圆的圆心和半径分别为O1（－3，0），r1＝1；O2（3，0），r2＝9
设动圆圆心为M（x，y），半径为R，则由题设条件可得|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R
∴|MO1|＋|MO2|＝10
由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3。
∴b2＝a2－c2＝25－9＝16
故动圆圆心的轨迹方程为＝1。
点评：正确地利用两圆内切、外切的条件，合理地消去变量R，运用椭圆定义是解决本题的关键，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

［例4］已知P是椭圆＝1上的一点，F1、F2是两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△PF1F2的面积。
分析：如图所示，已知∠P＝30°，要求△PF1F2的面积，如用|F1F2|·|yP|，因为求P点坐标较繁，所以用S△＝|PF1|·|PF2|·sin30°较好，为此必须先求出|PF1|·|PF2|，从结构形式可看出用余弦定理可得出夹30°角的两边的乘积。

解析：由方程＝1，得a＝5，b＝4，
∴c＝3，∴|F1F2|＝2c＝6
|PF1|＋|PF2|＝2a＝10
∵∠F1PF2＝30°
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos30°
即62＝|PF1|2＋2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|－·|PF1|·|PF2|
（2＋）|PF1|·|PF2|＝（|PF1|＋|PF2|）2－36＝100－36＝64，
∴|PF1|·|PF2|＝＝64（2－）
∴＝|PF1|·|PF2|·sin30°＝·64（2－）·＝16（2－）
［例5］椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y＝1相交于P、Q两点，若|PQ|＝2，且PQ的中点C与椭圆中心连线的斜率为，求椭圆方程。
分析：该题是求椭圆方程，即利用题设中的两个独立条件，求出a、b之值即可

解析：由得（a＋b）x2－2bx＋b－1＝0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
x1＋x2＝，x1x2＝
∴|PQ|＝·
＝
∴＝a＋b ①
又PQ的中点C（，1－），即C（，）
∴kOC＝ ② 由①②得a＝，b＝
∴所求椭圆方程为＝1
［例6］中心在原点的椭圆C的一个焦点是F（0，），又这个椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点的横坐标是，求该椭圆方程。
分析：本题中涉及到弦的中点及弦所在直线的斜率，故可采用“平方差法”。

解析：据题意，此椭圆为焦点在y轴上的标准形式的椭圆，设其方程为＝1（a＞b＞0）
设直线l与椭圆C的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则有：
＝1，
两式相减得：＝0
∴
即3＝ ∴a2＝3b2 ①
又因为椭圆焦点为F（0，） ∴c＝
则a2－b2＝50 ②
由①②解得：a2＝75，b2＝25
∴该椭圆方程为＝1
［例7］设P是椭圆（a＞b＞0）上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2=90°，求证：椭圆的离心率e≥

证明：∵P是椭圆上的点，F1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a ①
在Rt△F1PF2中，
由①2，得
∴|PF1|·|PF2|=2（a2－c2） ②
由①和②，据韦达定理逆定理，知|PF1|·|PF2|是方程z2－3az+2（a2－c2）=0的两根，
则△=4a2－8（a2－c2）≥0，
∴（）2≥，即e≥
一、 选择题：
1、到x轴和到y轴的距离之比等于2的点的轨迹方程是（ ）
A．y = 2x B. y=2|x| C. |y| = 2 |x| D. |x| = 2 |y|
2、椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率e等于（ ）
A． B. C. D.
3、椭圆的两个焦点是和，一条准线方程是，则此椭圆方程是（ ）
A． B.
C. D.
4、直线x = 2 被椭圆截得弦长等于，则的值是（ ）
A． B.8 C.10 D.
5、方程y = |x| 和对应的两曲线围成的图形的面积等于（ ）
A． B. C. D.
6、椭圆的一个焦点是（ -2，0 ），则a等于（ ）
A． B. C. D.
7、在直角坐标平面上，点集M = { （x , y ）| y = ,y 0 } ,
N = { ( x , y ) | y = x + b } , 当 时，b 的取值范围是 （ ）
A． B. C. D.
二、 填空题：
1、由椭圆的四个顶点组成的菱形的高等于： 。
2、不论k为何实数值，直线y=kx+1和焦点在x 轴的椭圆总有公共点，则的取值范围是： 。
3、与椭圆轴长为2的椭圆方程是： 。
三、 解答题：
1、 求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过P（ 4， ），Q （ ）两点的椭圆方程。

2、 已知圆C与直线3x – 4y –11 =0 及x 轴都相切并且经过点M （ 6，2 ），求圆C的方程。

3、 经过点A（2，4）的直线l,被圆截得弦长为，求直线l的方程。

4、 已知椭圆和抛物线有四个不同的交点。
（1）试确定 m的取值范围；（2）证明这四个交点都在同一圆上。

5、点P在圆上运动，点Q在椭圆上运动，求最大值。

6、 已知椭圆内部一点A（4，）过A作弦PQ，使A恰为PQ中点，M为椭圆上任一点，求的最大值。

7、 P、Q为椭圆上两点，O为原点，，求证：

参考答案
选择题：
1、（ C ）2、（ A ）3、（ D ）4、（ B ）5、（ C ）6、（ B ）7、（ B ）
填空题：
1： 2 ：。 3、
解答题：
1解：设椭圆方程为，将P，Q两点坐标代入，解得
故为所求。
2解：设圆C方程为，由|b|=r,,解得 a= 2 , b = r = 5 或 a = -2 ,b=r=17
故为所求。
3解：设圆心，半径 r = 4.，弦长为 ，弦心距，设
由，解得故为所求。
4、解：代入，得①，由椭圆与抛物线有四个交点知，关于的方程有两相异正根。解不等式组得，由两曲线方程可得故四交点共圆。
5、解：
圆心A（0，2） Q（，）

∴
6、解：
中点弦公式 ∴ ：
设M（，）

∴
∴
7、解：
P（，）Q（，）
∴
∴ 即 ∴

课后作业
1. 如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是
A. （0，＋∞） B. （0，2）
C. （1，＋∞） D. （0，1）
2. 已知椭圆＝1，F1、F2分别为它的两焦点，过F1的焦点弦CD与x轴成α角（0＜α＜π＝，则△F2CD的周长为
A. 10 B. 12 C. 20 D. 不能确定
3. 椭圆＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是
A. ± B. ± C. ± D. ±
4. 设椭圆＝1的两焦点分别是F1和F2，P为椭圆上一点，并且PF1⊥PF2，则||PF1|－|PF2||等于
A. 6 B. 2 C. D.
5. 直线y＝x与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|等于
A. 2 B. C. D.
6. 点P是椭圆＝1上一点，F1、F2是其焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为___________。
7. △ABC的两顶点B（－8，0），C（8，0），AC边上的中线BM与AB边上的中线CN的长度之和为30，则顶点A的轨迹方程为___________。
8. F1、F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则M点的轨迹是___________。
9. 以两坐标轴为对称轴的椭圆过点P（，－4）和Q（－，3），则此椭圆的方程是___________。
10. 在椭圆＝1内，过点（2，1）且被这点平分的弦所在的直线方程是___________。
11. △ABC的两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0，－6），另两边AB、AC的斜率的乘积是－，求顶点A的轨迹方程。

12. 在面积为1的△PMN中，tanM＝，tanN＝－2，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点并且过点P的椭圆方程。

[参考答案]
1. 解析：将方程x2＋ky2＝2化为椭圆的标准方程为＝1，又焦点在y轴上，
∴>2，解之得0<k<1。
2. 解析：由椭圆方程知a＝5，|CF1|＋|CF2|＝2a＝10，|DF1|＋|DF2|＝2a＝10，则△F2CD的周长|F2C|＋|F2D|＋|CD|＝|CF1|＋|CF2|＋|DF1|＋|DF2|＝10＋10＝20。
3. 解析：由椭圆的标准方程易知c＝3，不妨设F1（－3，0）、F2（3，0），因为线段PF1的中点在y轴上，由中点坐标公式知xP＝3，由椭圆方程＝1解得yp＝±，故M点纵坐标为±。
4. 解析：从方程中可得a＝3，b＝2，c＝5
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴（|PF1|＋|PF2|）2＝180
即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝180
由已知PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝（2c）2＝100代入上式得2|PF1|·|PF2|＝80
∴（|PF1|－|PF2|）2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝20
∴||PF1|－|PF2||＝2
答案：B
5. 解析：设A（x1，y1），B（x2，y2）
由方程组得＝1
∴x＝±y＝±，
即A（），B（－，－）
由两点间距离公式可得|AB|＝
6. 解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
在△F1PF2中，由余弦定理有m2＋n2－2mncos60°＝|F1F2|2＝122，即m2＋n2－mn＝144 ①
由椭圆定义知m＋n＝20，则m2＋n2＋2mn＝400 ②
由②－①得，3mn＝256，故mn＝
因此，
7. 解析：如图所示，设B、C为B′C′的两个三等分点，则B′（－24，0），C′（24，0），连接AB′，AC′，设A（x，y），BM、CN又分别为△ACB′与△ABC′的中位线。

∴|AB′|＝2|BM|，|AC′|＝2|CN|
∴|AB′|＋|AC′|＝2（|BM|＋|CN|）＝60
由椭圆定义，动点A到两定点B′、C′的距离的和为定长60，所以点A在以B′、C′为焦点，中心在原点的椭圆上运动。
∵2a＝60，∴a＝30
由|B′C′|＝48，得c＝24
∴b2＝a2－c2＝900－576＝324
则点A的轨迹方程是＝1（y≠0）
8. 解析：尽管动点M满足|MF1|＋|MF2|＝2a＝6，但2a＝|F1F2|，∴M点轨迹应为F1、F2两点间的线段。
答案：F1、F2两点间的线段
9. 解析：设此椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n），把P（，－4），Q（－，3）代入得
解得m＝1，n＝，故椭圆方程为x2＋＝1。
10. 解析：设弦的两端点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则有＝1，＝1
两式相减得
∴
即弦所在直线的斜率为－，又弦过（2，1）点，故弦所在直线的方程是x＋2y－4＝0
11. 解：设顶点A的坐标为（x，y），由题意得：
∴顶点A的轨迹方程为：＝1（y≠±6）
12. 解：以直线MN为x轴，以线段MN的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示。

设所求椭圆方程为＝1（a>b>0），分别记M、N、P点的坐标为（－c，0）、（c，0）和（x0，y0）
∵tanα＝tan（π－∠N）＝2
∴由题设知 解得即 P
在△MNP中，|MN|＝2c，MN上的高为，
∴S△MNP＝＝1，解得c＝
即P（），由此得|PM|＝，|PN|＝
∴a＝（|PM|＋|PN|）＝，从而b2＝a2－c2＝3
故所求的椭圆方程为＝1

川越教育 第 21 页