数值分析试题-A卷与答案.doc

青岛科技大学 试题
__2014__年~__2015___年第 一学期
课程名称： 数值分析 专业年级： 2014级（研究生）
考生学号： 考生姓名：
试卷类型： A卷 √ B卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □
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一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
1.设有节点，其对应的函数的值分别为，则二次拉格朗日插值基函数为 。
2.设，则关于节点的二阶向前差分为 。
3.设，，则＝ ， 。
4. 个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？
2. 什么是不动点迭代法？满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于的不动点？
3. 设n阶矩阵A具有n个特征值且满足，请简单说明求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式，满足下列插值条件：

1
2
3

2
4
12

3

并估计误差。（10分）
四．试用的牛顿-科特斯求积公式计算定积分。（10分）
五．用Newton法求的近似解。（10分）
六．试用Doolittle分解法求解方程组：
（10分）
七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）
八．就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）

《数值分析》（A）卷标准答案
（2009－2010－1）

一． 填空题（每小题3分，共12分）
1. ； 2.7；3. 3，8；4. 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 （4分）
对于对称正定阵 A，从可知对任意k £ i 有。即 L 的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 （4分）
2. 解：（1）若，则称为函数的不动点。 （2分）
（2）必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于的不动点：
1）是在其定义域内是连续函数； （2分）
2）的值域是定义域的子集； （2分）
3）在其定义域内满足李普希兹条件。 （2分）
3.解：参照幂法求解主特征值的流程 （8分）
步1：输入矩阵A，初始向量v0，误差限e，最大迭代次数N;
步2：置k:=1,μ:=0，u0=v0/||v0||∞;
步3：计算vk=Auk-1;
步4：计算

并置mk:=[vk]r, uk:=vk/mk;
步5：若|mk- μ |< e，计算，输出mk,uk；否则，转6；
步6：若k<N,置k:=k+1, μ:=mk，转3；否则输出计算失败
信息，停止
三． 解：（1）利用插值法加待定系数法：
设满足 则（3分）
再设 （3分）
（1分）
（1分）
（2） （2分）
四．解：应用梯形公式得 （2分）
（1分）
应用辛普森公式得： （2分）
（1分）
应用科特斯公式得：
（2分）
（2分）
五．解：由零点定理，在内有根。 （2分）
由牛顿迭代格式 （4分）
取得，
（3分）
故取 （1分）
六．解：对系数矩阵做三角分解：
（2分）
（4分）
若，则； （2分）
若，则 （2分）
七．解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为
（2分）
其特征多项式为，且特征值为
（2分）
故有，因而雅可比迭代法不收敛。 （1分）
（2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为
（2分）
其特征值为 （2分）
故有，因而雅可比迭代法收敛。 （1分）
八．证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）
1. 证：该问题的精确解为 （2分）
欧拉公式为 （2分）
对任意固定的，
有， （2分）
则 （1分）
2.证：牛顿迭代格式为 （3分）
因迭代函数为而又， （2分）
则
。
故此迭代格式是线性收敛的。 （2分）

　女人如春天的桃花。阳春三月，春暖花开时，婀娜多情的桃花会竞相开放，如一片片红霞，与如纱的垂柳，形成了桃红柳绿的春日美景。而青春靓丽的美女，正恰如春光明媚中盛开的桃花，缤纷绚烂，激情四射，充满青春的活力，充满青春的幻想，充满青春美妙的情怀。
　　青春岁月， 容光焕发的美女，爽朗的笑声，轻盈飘逸的秀发，眉飞色舞的眼神，热情奔放的性格，恰如妩媚鲜艳的桃花，装扮了温暖的春天，惊艳了春天的美丽。无论走到哪里，美女总会给人赏心悦目的感觉，总是一道靓丽的风景，使春天增添了无与伦比的靓丽，所以说女人如春天如霞的桃花！
　　女人如夏日的荷花。“ 接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红。” 炎炎烈日下，荷花亭亭玉立，静谧地开放，粉绿相间，分外妩媚。“出污泥而不染，濯清涟而不妖 .” 清白闲逸，自由脱俗，清新淡雅，芬芳四溢的天然美丽。远离喧嚣的尘市，在一方水土里，独享一份圣洁高雅，恬静安然的舒适，柔情似水的缠绵婉约，恰如一个静享清欢的善良女子。
　　“ 清水出芙蓉，天然去雕饰 .” 女人天生就是清纯、善良、静美、温柔如水的性格，拥有善良的心灵，宽容的心胸。每天只求安静地做好自己，不斤斤计较，不张扬，以一颗博爱之心，宽容身边的人和事。容忍于心，善存心间，用一颗感恩的心，温暖着身边的人和事，所以说女人如夏日清爽的荷花！
　　女人如秋天的菊花。秋高气爽，硕果累累时，到处是丰收的喜悦景象。一场秋雨一场寒时，百花凋谢，万物凋零的时刻，菊花却在风吹雨打中毅然绽放，用顽强的生命力，笑对风雨。多姿多彩的菊花，傲然开放，装点了秋日的荒凉。“ 采菊东篱下，悠然见南山。”怡然自得的享受啊！
　　而如花的女人，一路走来，吃尽千辛万苦，历经曲曲折折，却毫不畏惧艰难。照顾老人，陪伴孩子，洗衣做饭，工作加班，任劳任怨。宁愿自己吃苦受累，从不抱怨。在平凡的岁月，书写着女人们的精彩与不平凡。即使韶华远逝，年青的容颜失去光彩，依然在为家人创造着温暖、快乐、幸福的家园，所以说女人如秋霜中绽放的菊花！
　　女人如冬日的梅花。在白雪皑皑的冬季，天苍苍，野茫茫之时，大地一片衰败的景象。行走在路上，寒风凛冽，刮到脸上如刀般的疼痛，但是女人依然在路上坚强地面对、承受。这不正是无惧风雪 、坚韧不拔、顽强不屈的梅花的品格吗？“ 遥知不是雪，唯有暗香来 .” 梅花以它的弱小娇艳的身躯，凌寒傲雪，装点着寂寞荒凉的冬日！
　　在光阴的故事里，女人走过青春岁月，走过三十而立，走过四十不惑……此刻，正逐渐走在繁华落幕的路上，肩负着生活无奈的痛苦，品尝着人间聚散离合的悲欢。无论条件多么的艰苦，女人们一如既往地在路上打拼、奋斗着，时刻承担着家庭和社会的责任，装扮着世界的美好和浪漫，正在骄傲地撑起自己的半边天。“ 梅花香自苦寒来 .” 所以说女人如冬日火红的寒梅！
　　女人如花，四季都在竞相地绽放，闪烁着耀眼的光华；女人又非花，漂亮、善良、宽容、感恩，是始终如一的信念。女人如水，柔情似水，缠绵婉约；女人又非水，坚强、勇敢、优雅、浪漫，是一生的追求。