伴随矩阵的若干性质及应用.docx

摘要矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般n阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单.
关键词 矩阵伴随矩阵 特征值
引言因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中经常出现，把矩阵的伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题.
本文出现的矩阵和均为阶方阵.
1.一般阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用
1.1 ,在求解与的乘积，和的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下：
当为可逆矩阵时，也为可逆矩阵，由可得；
当为可逆矩阵时，由可得；
例1、已知为一三阶矩阵，且，求.
解 经计算可得，所以.
例2、已知为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为，且，求.
解
.
例3、已知和均为阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为和，分块矩阵，求的伴随矩阵.
解 由得，
.
1.2当为可逆矩阵时，有
证明 因为 ，；又因为
从而 ，因，故, 所以
.
例4、已知为一三阶可逆矩阵，且，求伴随矩阵的逆矩阵.
㈠解 因为，且为可逆矩阵，可得
，
而=8，,所以.
㈡本题用性质6可直接得，可见简单之处.
1.3（为常数）
证明 因为
=
所以的阶子式中每一个元素都是中的相对应元素的倍，从每一行中提取公因子，从而矩阵中每一元素的阶代数余子式就是.
所以
==
故证之.
例5、设为一个3阶矩阵，且已知，求.
解 因为，
所以 .
1.4 伴随矩阵的秩的性质设是阶矩阵,则
秩
证明 当秩时，由于，两边同时取行列式，得
所以 故秩.
当秩，由
从而可知的每一列都是方程组的解向量,故由此可得， 又因为至少有一个阶子式不为零，故至少有一个元素不为零，所以此时秩.
当秩时，矩阵，所以
秩.
性质4在解关于矩阵的题目中用的很广泛，以下的性质5、6、9、16的证明过程中都有用到性质4，从而使证明简单、明了.
例6、设阶方阵，若秩时，则秩______.
A. B. C. D.
解 因为秩，由以上性质可得秩0，故选D.
例7、设为一四阶矩阵，且是的伴随矩阵，求秩.
解因为秩，而为4阶矩阵，
所以 秩，由以上性质可得 秩.
1.5
证明当可逆时，由于
，因为，两边同时乘以，得
；
当不可逆时，，则
从而此时也有.
例8、已知都是阶方阵，.
解.
1.6（）
证明当，
因为 所以 于是

=
当由此可得
当
.
例9、已知为阶可逆矩阵,且，化简.
解 因为，所以 ，所以
1.7
证明从而有
可得

因为矩阵的特征值最多只有有限个，因此存在有无穷多个，使得

由得结论可得，，
令 则由上式得
，
因为知有无穷多个但是由于
都是多项式，因此式对一切；特别，当令时有

故证明之.
例10、已知和为三阶可逆矩阵，且
，，求.
解 经计算可得，
所以 .
1.8
证明 由于
所以
又
因此有
当可逆时，则，
所以；
当不可逆时，则，此时用矩阵，得

因为矩阵的特征值最多只有有限个，因此存在无穷多个使得
从而有
令， ，
所以有
由此可得存在无穷多个使得上式成立，而都是多项式，因此上式对一切都成立，取代入式时，有
.
1.9伴随矩阵的特征值
设矩阵；

当为降秩矩阵时，那么伴随矩阵的个特征值至少有个为0，而且另一个不等于零的特征值若存在，则等于.
证明因为为满秩矩阵，所以为可逆矩阵也即，
此时矩阵的特征值均不为零，且的个特征值为，再由可得，伴随矩阵有个特征值为
；
①当秩 时，此时，秩，所以
因此可推得0,0，…,0为伴随矩阵的特征值
此时结论成立.
②当秩时，此时，秩，那么设的特征值为
由若尔当标准形知，存在可逆矩阵，使得
， 其中为的全部特征值
因为，不妨设则上式为

从而.
例11、设为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，为阶单位矩阵，若有特征值，则必有特征值什么?
解 由性质知，有特征值，必有特征值，从而必有特征值+1.
1.10如果是可逆矩阵，且
证明 因为，则存在可逆矩阵，使得

把上式两边同时取行列式得，
又由于可逆，故，从而，即也是可逆的，
所以，
由，则
因此
因为，则
把两端同时乘以得，
所以，.
例12、设、为三阶相似矩阵，的特征值为1，1，3，求.
解 因为的特征值为1，1，3， 故，
所以 的特征值为，
又因为，所以，
所以 的特征值为3，3，1， 所以.
1.11如果是可逆矩阵，且
证明 由题中矩阵合同，因此存在可逆矩阵，使
，等式两边分别取行列式，得
因为是可逆矩阵，所以，从而，而
又因为， 令
则= ， 从而
， 故，
从而
所以，
所以也合同.
2.某些特殊矩阵的伴随矩阵的性质
2.1 若是可逆的对称矩阵，则它的伴随矩阵也是可逆的对称矩阵
a.已知数量矩阵，它的伴随矩阵也是数量矩阵；
是可逆的，则它的伴随矩阵也是对角矩阵.
2.2 若是上（下）三角矩阵，且是可逆的，则也是上（下）三角矩阵
例13、设，故，所以是可逆的，
，所以是可逆的，且为上三角矩阵.
2.3 当阶实矩阵是半正定时，则它的伴随矩阵也是半正定的
证明 由于是半正定的，因此存在实矩阵，使

从而 其中
即有实矩阵，使得
所以也半正定的.
当阶实矩阵是正定矩阵时，则它的伴随矩阵也是正定矩阵
证明 由于矩阵是正定的，从而可知存在可逆矩阵，使

所以
即有
所以也是正定矩阵.
2.4 当阶矩阵为正交矩阵时，则其伴随矩阵也为正交矩阵
证明 由于为正交矩阵，从而可知，，
而，所以
而
故也是正交矩阵.
例14、设正交矩阵，易算，
从而可算的E,即也为正交矩阵.
2.5 若为幂等矩阵，也就是说满足，当秩时，对应可得矩阵也是幂等矩阵
证明 当秩时，由于，左式两边同时取行列式，得
，所以，
由，又可得；
而，，
从而，即
所以，此时也是幂等矩阵.
当秩时，可得秩，所以
=0，
当然有，所以，此时也是幂等矩阵.
小结本文运用矩阵计算的有关方法和技巧，以及应用已经证明了的关于伴随矩阵的性质，进一步证明了矩阵的伴随矩阵的其它相关性质.这样较广泛深入的理解了伴随矩阵，从而能更好的把伴随矩阵的性质运用到矩阵的学习中，不断升华知识.与伴随矩阵有关的性质还有很多，本文只是对其一部分性质进行说明，需要不断努力去挖掘找到它其它很有价值的性质.也可以把伴随矩阵放到高等代数的其它章节中找到它相应的性质，这需不断的去研究.
参考文献：
[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].高等教育出版社，2003：177-203
[2]贾云峰.矩阵与其伴随矩阵的特征值[J].陕西师范大学继续教育学报，2007年第24卷第1期：98-99
[3]乐茂华.高等代数[M].南京大学出版社，2002
[4]吕兴汉.关于伴随矩阵性质的进一步讨论[J].中国科技信息，2006年第22期：322-323
[5]钱吉林.高等代数题解精粹[M].中央民族大学出版社，2009年10月第二版：100-218
[6]邱森.高等代数[M].武汉大学出版社，2008
[7]王萼芳.高等代数[M].上海科学技术出版社，1981：271-296
[8]姚慕生.高等代数学[M].复旦大学出版社，1995：38-39
[9]叶世源.叶家琛等[M].同济大学出版社，1995
[10]张禾瑞.高等代数（第4版）[M].北京高等教育出版社，1999
[11]曾京玲.关于伴随矩阵的几个讨论[J].渭南师范学院学报，2003年增刊：28-29
Some Properties and Applications of the Adjoint Matrix
Name:Yang Ting Student Number:200740510647Advisor:Ge Xintong
Abstract Matrix is a very important point in learning higher algebra,while in matrix’s calculations and application adjoint matrix plays an extremely important role.This paper using some techniques and methods in matrix’s calculations,proved some properties of general n order phalanx and some special matrix’s adjoint matrix.These properties are discussed based on the relationship between the original matrix and adjoint matrix,using the study of matrix methods to begin.Through these properties we can have a deeper understand of matrix and adjoint matrix.Moreover,we can use these properties directly to make it simple when we encountered some problems about adjoint matrix.
Keywordsmatrix ;adjoint matrix; eigenvalue;