二次函数全章复习-吴永堃-1份.doc

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二次函数全章复习
【基础知识回顾】
一、二次函数的定义：
一般地如果y= （a、b、c是常数a≠0）那么y叫做x的二次函数
【名师提醒： 二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式，x的 最 高 次 数 是 ， 按 一次排列 2、强调二次项系数a 0】
二、二次函数的同象和性质：
1、二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的同象是一条 ，其定点坐标为 对称轴式
2、在抛物y=kx 2+bx+c(a≠0)中：
①、当a>0时，y口向 ，当x<时，y随x的增大而 ，当x 时，y随x的增大而增大，
②、当a<0时，开口向 当x<时，y随x增大而增大，当x 时，y随x增大而减小
【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点
1、y=ax2 ,对称轴 定点坐标
2、y= ax2 +k，对称轴 定点坐标
3、y=a(x-h) 2对称轴 定点坐标
4、y=a(x-h) 2 +k对称轴 定点坐标 】
三、二次函数同象的平移
【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可】
四、二次函数y= ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系：
a:开口方向 向上则a 0,向下则a 0 ｜a｜越大，开口越
b:对称轴位置，与a联系一起，用 判断b=0时，对称轴是
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c 0负半轴上则c 0，当c=0时，抛物点过 点
【名师提醒：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】

考点一：二次函数系数

【例1】 设二次函数图像如图所示，试判断的符号．

【例2】 二次函数的图象如下左图所示，判断，，，，，，的符号

【例3】 已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：
①；②；③；④；⑤
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③④
C．①②③⑤ D．①②③④⑤

考点二：二次函数图像
【例4】 已知二次函数的图象如下右图所示，则点在第 象限.

【例5】 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）

考点三：确定二次函数关系式
例1 （2016•牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．

思路分析：（1）利用待定系数法把A（1，0），C（0，-3）代入）二次函数y=x2+bx+c中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式是y=x2+2x-3；
（2）首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标．
解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3），
∴， 解得，
∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3；
（2）∵当y=0时，x2+2x-3=0，
解得：x1=-3，x2=1；
∴A（1，0），B（-3，0），
∴AB=4，
设P（m，n），
∵△ABP的面积为10，
∴AB•|n|=10，
解得：n=±5，
当n=5时，m2+2m-3=5，
解得：m=-4或2，
∴P（-4，5）（2，5）；
当n=-5时，m2+2m-3=-5，
方程无解，
故P（-4，5）（2，5）；
点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．

对应训练
1． （2016•湖州）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．

考点四：二次函数与x轴的交点问题
例2 （2016•苏州）已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（　　）
A．x1=1，x2=-1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3
对应训练
2．（株洲）二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（　　）
A．-8 B．8
C．±8 D．6

考点五、二次函数与不等式综合

【例1】 如图所示，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是 ．

【例2】 如下右图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ．

考点六、二次函数与实际应用
题目一：利用二次函数解决面积问题

例1、如图，在矩形中，；点从点点开始沿边向点一每秒的速度运动；点从点点开始沿边向点一每秒的速度运动；若分别同时从同时出发，设表示的面积,表示运动时间.
⑴.求出与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
⑵.求出的最大值或最小值，并说明理由.

题目二：利用二次函数解决利润等代数问题
例1、某商场一商场某产品每件成本10元，试销阶段发现每件产品的销售价（元）与产品销售量（件）之间的关系如下表，且日销售量（件）与是偶家（元）是一次函数.
⑴.求出日销售量（件）与是偶家（元）
的函数函数关系式.
⑵.要使每日的利润最大，每件产品的销售价应
定为多少元？此时最大利润是多少？

题目三：利用二次函数解决抛物线形问题

例、如图是抛物线形的小拱桥，当水面在时，拱
桥顶离水面2米（见图示），水面宽为4米；若水
面下降1米，水面宽度增加多少米？

【变式训练1】.(潜江、天门、仙桃中考)如图是一个横截面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米.水面下降1米时，水面的宽度为_______米.

【变式训练2】如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米. 现
以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

【考点七、二次函数的综合】
一、二次函数与四边形综合
【例1】如图所示，已知二次函数的图象的顶点为,二次函数
的图象与轴交于原点以及另一点,它的顶点在函数
上的图象的对称轴上.
⑴.求点以及点的坐标；
⑵.当四边形为菱形时，求的关系式.
⑶.求四边形为菱形时的面积.

二、二次函数与其三角形综合
【例1】 已知二次函数的图象经过点并且与轴相交于点和点，顶点为
（1）求二次函数的解析式；
（2）设为线段上一点，满足，求点的坐标

【例2】 已知一元二次方程的一根为．
（1）求关于的解析式；
（2）求证：抛物线与轴有两个交点；
（3）设抛物线的顶点为，且与轴相交于两点，求使面积最小时的抛物线的解析式．

三、二次函数与几何变换
【例1】 如图，中，，点的坐标是，，以点为顶点的抛物线经过轴上的点，．
⑴ 求点，，的坐标．
⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．

三、 二次函数与阴影面积问题

例1、如图两条抛物线分别经过
且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 .

例2、 如左图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线.
⑴.抛物线是如何平移的？
⑵.求出其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积？
（阴影部分见示意图）

2017年·秋季·同步班 二次函数全章复习·讲义 page 11 of 11