导数单调性分类讨论.doc

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类型二：导数单调性专题

类型１.导数不含参。类型２.导数含参。类型３：要求二次导
求单调性一般步骤：
(1) 第一步：写出定义域，一般有
(2) 第二步：求导，（注意有常数的求导）若有分母则通分。一般分母都比0大，故去死
若无分母，因式分解（提公因式，十字相乘法）或求根
（观察分子）判断导函数是否含参，再进行讨论（按恒成立与两个由为分界）
(3) 第三步由
(4) 下结论
类型一：导函数不含参：
对于这类型的题，直接由导函数大于0，小于0即可（除非恒成立）
例题１求函数的单调递增区间
解：
由 所以函数在区间单调递增
由 所以函数在区间单调递减
例题２：求函数的单调区间
解：
由 所以函数在区间单调递增
由 所以函数在区间单调递减
例题３：求函数的单调区间

例题４：已知函数
(1)若时，求函数的单调区间

例题５．(2010·新课标全国文，21)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；

例题６：已知函数
(1)若，求函数的单调区间

7.【2012高考天津文科20】（二次不含参）
已知函数，x其中a>0.
（I）求函数的单调区间；

8.已知函数，
（I）求函数的单调区间；

类型二：导函数含参类型：
9：求函数的单调区间（指数参）

例题10.（2009北京理）（一次参）设函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；

例题11.（二次参）设函数，其中常数
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。W

例题12：求函数上的单调区间

例题13.（2009安徽卷理）（ 二次参）
已知函数，讨论的单调性.

14.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）
已知函数，其中，讨论函数的单调性。

15.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）
已知函数
求的单调区间；

16.【2012高考新课标文21】（本小题满分12分）
设函数f(x)= ex－ax－2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间

17.【2012高考全国文21】
已知函数
（Ⅰ）讨论的单调性；

18.【2018高考全国文21】
已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；

训练：(1)求函数 的单调区间。

训练：(2)求函数 的单调区间。

训练：(3)求函数 的单调区间

训练：(4)求函数 的单调区间

训练：(5)求函数 的单调区间

近３年全国高考导数试题
１.(2017全国卷３)已知函数
（1） 若，求的值

２.(2017全国卷２)已知函数 ，且
（1） 求的值

３.(2017全国卷１)已知函数 ，
(1)讨论的单调性

4(2015全国卷2)已知函数 的单调性，
证明：在上单调递减，在上单调递增

5.(2015全国卷1)已知函数
(1)当为何值时，轴为曲线的切线。

6.(2017全国卷文1)已知函数
(1)讨论的单调性

7.(2017全国卷文２)已知函数
(1)讨论的单调性

8.（2016全国文卷2)已知函数
(1)当时，求曲线在处的切线。

9.(2016全国文卷１)已知函数 有两个零点，
(1)求实数的取值范围
(2)若有两个零点，求的取值范围

10.(2015全国文卷１)已知函数 ，
(1)讨论函数的导函数的零点个数

11..(2018全国文卷１)
已知函数.
（1） 设是的极值点，求，并求的单调区间

12(2011湖南)
已知函数.
（1）讨论函数的单调性

13.(2018全国文卷2)
已知函数.
1.设时，并求的单调区间

14.（2018全国理科）已知函数.
（1）讨论函数的单调性

这三道选择题是引入课题 不用多讲，然后总结做单调性步骤
1.函数f(x)=(2x−1)ex的递增区间为（ ）
A.(−∞, +∞)
B.(12,+∞)
C.(−∞,−12)
D.(−12,+∞)

2.函数f(x)=2x2−lnx的递增区间是（ ）
A.(0,12)
B.(−12,0)和(12,+∞)
C.(12,+∞)
D.(−∞,−12)和(0,12)

3.函数y=272x2+1x单调递增区间是（ ）
A.(0, +∞)
B.(−∞, 13)
C.(13, +∞)
D.(1, +∞)

4.已知函数f(x)=lnxx．
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；

5.已知函数f(x)=2lnx+2ex．
（1）求函数f(x)的单调区间；

6.已知函数f(x)=(2−a)x−2lnx+a−2．
(Ⅰ)当a=1时，求f(x)的单调区间；

7.已知函数f(x)=13x3−a(x2+x+1)．
(1)若a=3，求f(x)的单调区间；

8.已知函数f(x)=1x−x+alnx．
(1)讨论f(x)的单调性；

9.已知函数f(x)=lnx−ax+1−ax−1(a>0)
(1)设a>1，试讨论f(x)单调性；

10.已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x．
(1)讨论f(x)的单调性；

11.设定义在R上的函数f(x)=ex−ax(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；

12.已知函数f(x)=alnx−x2．
（1）讨论f(x)的单调性；

13.已知函数f(x)=lnx−12ax2+(1−a)x,a∈R．
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；

14.已知常数a>0，函数f(x)=ln(1+ax)−2xx+2．
（1）讨论f(x)在区间(0, +∞)上的单调性；

15.已知函数f(x)=x2+(2a−1a)x−lnx．
（1）讨论f(x)的单调性；

16.已知函数f(x)=x3−3ax2+4(a∈R)．
（1）讨论f(x)的单调性；

17.已知函数f(x)=−x+alnx(a∈R)．
（1）讨论f(x)的单调性；

．

18. 已知函数f(x)=ax2+x+lnx(a∈R)．
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；

答案
1.D
2.C
3.C
4.(Ⅰ)依题意f′(x)=1−lnxx2，
令f′(x)>0，得0<x<e，
令f′(x)<0，得x>e，
∴f(x)的单调增区间为(0, e)，单调减区间为(e, +∞)；
5.函数的导数f′(x)=2(1x*ex−(lnx+1)ex)(ex)2=2ex(1x−lnx−1)，
设g(x)=1x−lnx−1，x>0，
则g′(x)=−1x2−1x<0，则g(x)为减函数，
又g=1−ln1−1=0，
则当x>1时，g(x)>g(1)=0，此时f′(x)<0，此时f(x)为减函数，
当0<x<1时，g(x)<g(2)=0，此时f′(x)>0，此时f(x)为增函数．
即函数f(x)的增区间为(0, 1)，减区间为(1, +∞)．

6. (Ⅰ)a=1时，f(x)=x−2lnx−1，f′(x)=1−2x，
由f′(x)>0，得x>2，f′(x)<0，解得：0<x<2，
故f(x)在(0, 2)递减，在(2, +∞)递增；

7. 7.解：(1)当a=3时，f(x)=13x3−a(x2+x+1)，
所以f′(x)=x2−6x−3时，令f′(x)=0解得x=3±23，
当x∈(−∞, 3−23)，x∈(3+23, +∞)时，f′(x)>0，函数是增函数，
当x∈(3−23,3+23)时，f′(x)<0，函数是单调递减，
综上，f(x)在(−∞, 3−23)，(3+23, +∞)，上是增函数，在(3−23,3+23)上递减．

8. 解：(1)函数的定义域为(0, +∞)，
函数的导数f′(x)=−1x2−1+ax=−x2−ax+1x2，
设g(x)=x2−ax+1，
当a≤0时，g(x)>0恒成立，即f′(x)<0恒成立，此时函数f(x)在(0, +∞)上是减函数，
当a>0时，判别式△=a2−4，
①当0<a≤2时，△≤0，即g(x)>0，即f′(x)<0恒成立，此时函数f(x)在(0, +∞)上是减函数，
②当a>2时，x，f′(x)，f(x)的变化如下表：

 x
 (0, a−a2−42)
 a−a2−42
 (a−a2−42, a+a2−42)
 a+a2−42
 (a+a2−42, +∞)
 f′(x)
-
 0
+
 0
-
 f(x)
 递减

 递增

递减
综上当a≤2时，f(x)在(0, +∞)上是减函数，
当a>2时，在(0, a−a2−42)，和(a+a2−42, +∞)上是减函数，
则(a−a2−42, a+a2−42)上是增函数．
9. 解：(1)函数f(x)的定义域为(0, +∞)，
f′(x)=1x−a−1−ax2=−ax2+x+a−1x2=−ax2+x+a−1x2=(−x+1)(ax+(a−1))x2，
令f′(x)=0，则x1=1，x2=1−aa(a>1, x2<0)舍去．
令f′(x)>0，则x>1，令f′(x)<0，则0<x<1，
所以当x∈(1, +∞)时，函数f(x)单调递增；当x∈(0, 1)时，函数f(x)单调递减；
．
10. (1)解：因为f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，
求导f′(x)=1x+2ax+(2a+1)=2ax2+(2a+1)x+1x=(2ax+1)(x+1)x，(x>0)，
①当a=0时，f′(x)=1x+1>0恒成立，此时y=f(x)在(0, +∞)上单调递增；
②当a>0，由于x>0，所以(2ax+1)(x+1)>0恒成立，此时y=f(x)在(0, +∞)上单调递增；
③当a<0时，令f′(x)=0，解得：x=−12a．
因为当x∈(0, −12a)f′(x)>0、当x∈(−12a, +∞)f′(x)<0，
所以y=f(x)在(0, −12a)上单调递增、在(−12a, +∞)上单调递减．
综上可知：当a≥0时f(x)在(0, +∞)上单调递增，
当a<0时，f(x)在(0, −12a)上单调递增、在(−12a, +∞)上单调递减；
11. 解：（1）f′(x)=ex−a，
当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上为增函数；
当a>0时，由f′(x)>0，得ex−a>0，即x>lna，由f′(x)<0，得x<lna．
∴函数的单调增区间为(lna, +∞)，减区间为(−∞, lna)；
12.f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=ax−2x．
①当a≤0时，f′(x)<0，所以f(x)在(0, +∞)上单调递减，
②当a>0时，f′(x)=a−2x2x=−2(x+2a2)(x−2a2)x．
x，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：

x
(0,2a2)
(2a2,+∞)
f′(x)
+
-
f(x)
单调递增
单调递减

所以，f(x)在(0,2a2)上单调递增；在(2a2,+∞)上单调递减．
综上，当a≤0时，f(x)在(0, +∞)上单调递减；
当a>0时，f(x)在(0,2a2)上单调递增；在(2a2,+∞)上单调递减．
12. (Ⅰ)∵f′(x)=1x−ax+(1−a)=−ax2+(a−1)x−1x=−(ax−1)(x+1)x，x>0
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，∴f(x)在(0, +∞)上单调递增，
当a>0时，由x∈(0, 1a)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增，
由x∈(1a, +∞)时，f′(x)<0，∴f(x)单调递减，
综上所述：当a≤0时，f(x)在(0, +∞)上单调递增，
当a>0时，f(x)在(0, 1a)上单调递增，在(1a, +∞)单调性递减，
14.∵f(x)=ln(1+ax)−2xx+2，
∴f′(x)=a1+ax−4(x+2)2=ax2−4(1−a)(1+ax)(x+2)2，
∵(1+ax)(x+2)2>0，∴当1−a≤0时，即a≥1时，f′(x)≥0恒成立，
则函数f(x)在(0, +∞)单调递增，
当0<a≤1时，由f′(x)=0得x=±2a(1−a)a，
则函数f(x)在(0, 2a(1−a)a)单调递减，在( 2a(1−a)a, +∞)单调递增．
15. 函数f(x)的定义域是(0, +∞)，
f′(x)=2x+(2a−1a)−1x=(x+a)(2ax−1)ax，
(i)若a<0，当x>−a时，f′(x)>0，
当0<x<−a时，f′(x)<0，
故f(x)在(−a, +∞)递增，在(0, −a)递减，
(ii)若a>0，当x>12a时，f′(x)>0，
当0<x<12a时，f′(x)<0，
故f(x)在(12a, +∞)递增，在(0, 12a)递减；

16. f′(x)=−1+ax=−(x−a)x(x>0)，
①a≤0时，由于x>0，故x−a>0，f′(x)<0，
∴f(x)在(0, +∞)递减，
②a>0时，由f′(x)=0，解得：x=a，
在区间(0, a)上，f′(x)>0，在区间(a, +∞)上，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0, a)递增，在(a, +∞)递减，
综上，a≤0时，f(x)在(0, +∞)递减，
a>0时，函数f(x)在(0, a)递增，在(a, +∞)递减；

18.(Ⅰ)f′(x)=2ax+1+1x=2ax2+x+1x(x>0)
当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0, +∞)上是增函数；
当a<0时，由f′(x)=0，得x=−1−1−8a4a（取正根），
在区间(0,−1−1−8a4a)内，f′(x)>0f(x)是增函数；在区间(−1−1−8a4a,+∞)内，f′(x)<0，f(x)是减函数．
综上，当a≥0时，f(x)的增区间为(0, +∞)，没有减区间；
当a<0时，f(x)的减区间是(−1−1−8a4a,+∞)，增区间是(0,−1−1−8a4a)．

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