云南省昭通市2017届高三上学期期末统一检测数学(理)试题.doc

机密★启用前 【考试时间：2017年1月10日 15:00—17:00】
昭通市2017届高三复习备考秋季学期期末统一检测
理 科 数 学
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合，则（为自然数集）为（ ）
A． B． C． D．
（2）设是虚数单位，则复数（ ）
A． B． C． D．
（3）我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ）
A．164石 B．178石 C．189石 D．196石
（4）已知，，则数列的通项公式是（ ）
A． B． C. D．
第(6)题图
（5）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
（6）如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）
A． B. C． D.
（7）直线有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）
第(8)题图
A． B． C． D．
（8）公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的值为（ ）
参考数据：，，．
A． B． C． D． 96
（9）先将函数的图像纵坐标不变，横坐标压缩为原来一半，再将得到的图像向左平移个单位，则所得图像的对称轴可以为（ ）
A． B． C． D．
（10）已知是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
（11）双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ）
A． B． C． D．
（12）设函数若关于的方程（且）在区间内恰有5个不同的根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第
23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知实数满足不等式组则的最大值是___________．
（14）展开式中的常数项是 .
（15）已知向量=（1，），=（3, m），且在上的投影为3，则向量与夹角为 .
（16）已知数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列满足．若对都有成立，则实数的取值范围是___________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
在中，内角，，所对的边长分别是，，.
（I）若，，且的面积为，求，的值；
第（18）题图
（II）若，试判断的形状.
（18）（本小题满分12分）
某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中的值；
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．

第（19）题图

（19）（本小题满分12分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且=，过棱的中点，作交于点，连接
（Ⅰ）证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若面与面所成二面角的大小为，求的值．

（20）(本小题满分12分)
第（20）题图
如图，已知抛物线C1：，圆C2：，过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．
(I)求点A，B的坐标；
(II)求△PAB的面积．

（21）(本小题满分12分)
已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的参数方程为，（为参数），曲线的普通方程为，点的极坐标为．
（I）求直线的普通方程和曲线的极坐标方程；
（II）若将直线向右平移2个单位得到直线，设与相交于两点，求的面积．

（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知，对，恒成立，求的取值范围。
机密★启用前
昭通市2017届高三复习备考秋季学期期末统一检测
理科数学(参考答案)
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，则（为自然数集）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2.设是虚数单位，则复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ）
A．164石 B．178石 C．189石 D．196石
【答案】C
4.已知，，则数列的通项公式是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
5. 已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
6.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）
A． B. C． D.
【答案】C
7. 直线有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
8.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（ ）
参考数据：，，．
A． B． C． D．
【答案】B
9.先将函数的图像纵坐标不变，横坐标压缩为原来一半，再将得到的图像向左平移个单位，则所得图像的对称轴可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
10.已知是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
11.双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C

12.设函数若关于的方程（且）在区间内恰有5个不同的根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
试题分析：要使方程（且）在区间内恰有个不同的根，只需与的图象在区间内恰有个不同的交点，在同一坐标系内做出它们的图象 要使它们在区间内恰有个不同的交点，只需，得，故选C.
第II卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.已知实数满足不等式组则的最大值是___________．
【答案】6
14.展开式中的常数项是 .
【答案】
15.已知向量=（1，），=（3, m），且在上的投影为3，则向量与夹角为 .
【答案】
16.已知数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列满足．若对都有成立，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】由题意，得，所以，即，所以．若对都有成立，即恒成立，亦即 ①恒成立．当时不等式①恒成立；当时，不等式①等价于；当时，不等式①等价于，所以实数的取值范围是．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）在中，内角，，所对的边长分别是，，.
（I）若，，且的面积为，求，的值；
（II）若，试判断的形状.
试题解析：（I）∵，，∴由余弦定理得.．．．．．．．．．．．2分
又∵的面积为，∴，.．．．．．．．．．．．4分
联立方程组，解得，.．．．．．．．．．．．6分
（II）由，得，
即，∴.．．．．．．．．．．．8分
∴或，当时，
∵，∴，为直角三角形；．．．．．．．．．．．10分
当时，得，由正弦定理得，即为等腰三角形.
∴为等腰三角形或直角三角形.．．．．．．．．．．．12分
18.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．

(I)求图中x的值；
(II)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．

解：(I)由题意得：
10x＝1－(0.006×3＋0.01＋0.054)×10＝0.18，
所以x＝0.018.．．．．．．．．．．．4分
(II)∵成绩不低于80分的学生共有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，其中90分以上(含90分)的共有0.006×10×50＝3人，．．．．．．．．．．．6分
ξ的可能值为0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，p(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，．．．．．．．．．．．9分
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P

∴Eξ＝0×＋1×＋2×＝.．．．．．．．．．．．12分
19.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接
（Ⅰ）证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若面与面所成二面角的大小为，求的值．
试题解析：（解法1）（Ⅰ）因为底面，所以，
由底面为长方形，有，而，
所以. 而，所以. ．．．．．．．．．．．2分
又因为，点是的中点，所以.
而，所以平面. 而，所以.
又，，所以平面. ．．．．．．．．．．．4分
由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，
即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.．．．．．．．．．．．6分
（Ⅱ）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面
的交线. 由（Ⅰ）知，，所以.
又因为底面，所以. 而，所以.
故是面与面所成二面角的平面角， ．．．．．．．．．．．8分
设，，有，
在Rt△PDB中, 由, 得,
则 , 解得.．．．．．．．．．．．11分
所以故当面与面所成二面角的大小为时，.．．．．．12分.
（解法2）（Ⅰ）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设，，则，，点是的中点，所以，，．．．．．．．．．．．2分
于是，即. 又已知，而，所以.
因, , 则, 所以.
由平面，平面，．．．．．．．．．．．4分
可知四面体的四个面都是直角三角形，
图1
图2

即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.．．．．．．．．．．．6分
（Ⅱ）由，所以是平面的一个法向量；
由（Ⅰ）知，，所以是平面的一个法向量. ．．．．．．．．8分
若面与面所成二面角的大小为，
则，解得. ．．．．．．．．．．．11分
所以故当面与面所成二面角的大小为时，. ．．．．12分

20.(本小题满分12分)如图，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t，0)(t＞0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．

(I)求点A，B的坐标；
(II)求△PAB的面积．
解：(I)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t)．
由消去y，整理得x2－4kx＋4kt＝0，．．．．．．．．．．．2分
由于直线PA与抛物线相切，得k＝t.因此，点A的坐标为(2t，t2)．．．．．．．．．．．．4分
设圆C2的圆心为D(0，1)，点B的坐标为(x0，y0)．由题意知：点B，O关于直线PD对称，
故解得因此，点B的坐标为.．．．．．．．．．．．7分
（II）由(I)知|AP|＝t·，．．．．．．．．．．．9分
直线PA的方程为tx－y－t2＝0.点B到直线PA的距离是d＝ .．．．．．．．．．．．11分
设△PAB的面积为S(t)，则S(t)＝|AP|·d＝.．．．．．．．．．．．12分
21. (本小题满分12分)已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若恒成立，试确定实数k的取值范围；
（Ⅲ）证明：
【解析】（Ⅰ）函数的定义域为，．．．．．．．．．．．．2分
当时，，则在上是增函数 ；
当时，若，则；若，
则．所以在上是增函数，在上是减函数……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知时，在上是增函数，
而不成立，故．．．．．．．．．．．．6分
当时，由（Ⅰ）知．要使恒成立，则即可．
故，解得．．．．．．．．．．．．8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时有在恒成立，且在上是减函数，，所以在上恒成立.令，则，即，从而．．．．．．．．．．．10分
所以 ．．．．．．．．．．．．12分
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的参数方程为，（为参数），曲线的普通方程为，点的极坐标为．
（I）求直线的普通方程和曲线的极坐标方程；
（II）若将直线向右平移2个单位得到直线，设与相交于两点，求的面积．
【解析】（I）根据题意，直线的普通方程为，．．．．．．．．．2分
曲线的极坐标方程为．．．．．．．．．．．5分
（II）的普通方程为，所以其极坐标方程为，所以，
故，．．．．．．7分
因为，所以点到直线的距离为，．．．．．．．9分
所以．．．．．．．．10分
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知，对，恒成立，求的取值范围。
解：∵ a＞0,b＞0 且a+b=1 ∴ +=(a+b)( +)=5++≥9,
故+的最小值为9，．．．．．．．．．．．．．． 4分
当且仅当a=1/3,b=2/3时取等号．．．．．．．．． 5分
因为对a,b∈(0，+∞),使+≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，
所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
当 x≤-1时，2-x≤9, ∴ -7≤x≤-1,当 -1＜x＜时，-3x≤9,
∴ -1＜x＜,当 x≥时,x-2≤9， ．．．．．．．．．．．．．．．．9分
∴ ≤x≤11,∴ -7≤x≤11．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分