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2019年苏州市中考数学试题、答案（解析版）
（本试卷满分130分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的。）
1.5的相反数是 （　　）
A. B. C. D.
2.有一组数据：2，2，4，5，7这组数据的中位数为 （　　）
A.2 B.4 C. D.7
3.苏州是全国重点旅游城市，2018年实现旅游总收入约为26 000 000万元，数据26 000 000用科学记数法可表示为 （　　）
A. B. C. D.
4.如图，已知直线，直线与直线分别交于点.若，则
（　　）

A. B. C. D.
5.如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为 （　　）

A. B. C. D.
6.小明5元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为 （　　）
A. B.
C. D.
7.若一次函数（为常数，且）的图像经过点，，则不等式的解为 （　　）
A. B. C. D.
8.如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是 （　　）
A. B. C. D.

9.如图，菱形的对角线，交于点，，将沿点到点的方向平移，得到，当点与点重合时，点与点之间的距离为 （　　）

A. B. C. D.
10.如图，在中，点为边上的一点，且，，过点作，交于点，若，则的面积为 （　　）

A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在题中的横线上）
11.计算：　　　　.
12.因式分解：　　　　.
13.若在实数范围内有意义，则的取值范围为　　　　.
14.若，，则的值为　　　　.
15.“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”，图1是由边长10 cm的正方形薄板分成7块制作成的“七巧板”图2是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形，该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为______cm（结果保留根号）.

16.如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方形，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为　　　　.

17.如图，扇形中，。为上的一点，过点作，垂足为，与交于点，若，则该扇形的半径长为　　　　.

18.如图，一块含有角的直角三角板，外框的一条直角边长为，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为，则图中阴影部分的面积为　　　　（结果保留根号）

三、解答题（本大题共10小题，共76分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（本题满分5分）
计算：

20.（本题满分5分）
解不等式组：

21.（本题满分6分）
先化简，再求值：，其中.

22.（本题满分6分）
在一个不透明的盒子中装有4张卡片.4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀.
（1）从盒子任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是：　　　　；
（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率（请用画树状图或列表等方法求解）.

23.（本题满分8分）
某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴题小組.要求每人必须参加.并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情況，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出）.请你根据给出的信息解答下列问题：

（1）求参加这次问卷调查的学生人数.并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2）　　　　，　　　　；
（3）若某校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组有多少人？

24.（本题满分8分）
如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点.
（1）求证：；
（2）若，，求的度数.

25.（本题满分8分）
如图，为反比例函数（其中）图像上的一点，在轴正半轴上有一点，.连接，，且.
（1）求的值；
（2）过点作，交反比例函数（其中）的图像于点，连接交于点，求的值.

26.（本题满分10分）
如图，AE为的直径，D是的中点BC与AD，OD分别交于点E，F.
（1）求证：；
（2）求证：;
（3）若，求的值.

27.（本题满分10分）
已知矩形ABCD中，，点P为对角线AC上的一点，且.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动（不包含点C）.设动点M的运动时间为，的面积为，S与的函数关系如图②所示：
（1）直接写出动点M的运动速度为　　　　，BC的长度为　　　　;
（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点N的运动速度为.已知两动点M、N经过时间在线段BC上相遇（不包含点C），动点M、N相遇后立即停止运动，记此时与的面积为，.
①求动点N运动速度的取值范围;
②试探究是否存在最大值.若存在，求出的最大值并确定运动速度时间的值；若不存在，请说明理由.

图1
图2
图3

28.（本题满分10分）
如图①，抛物线与轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与轴交于点C，已知的面积为6.
（1）求的值；
（2）求外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P是抛物线上一点，点Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到轴的距离为，的面积为，且，求点Q的坐标.

（图①）
（图②）

2019年苏州市中考数学答案解析
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题
1.【答案】D
【解析】∵，∴5的相反数是，故选D。
【考点】相反数的概念
2.【答案】B
【解析】这组数据已经从小到大进行排序，且共有5个数，∴中位数为第3个数，即为4，故选B.
【考点】求一组数据的中位数
3.【答案】D
【解析】，故选D.掌握用科学记数法表示较大的数的方法是解答本题的关键.
【考点】用科字记数法表示较大的数
4.【答案】A
【解析】如图，∵，∴，∴，
∴，故选A.

【考点】平行线的性质，平角的定义
5.【答案】D
【解析】∵AB是的切线，OA是半径，∴，即，∠B=36°，∴，∴，故选D.
【考点】切线的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理
6.【答案】A
【解析】根据题意软面笔记本每本售价为x元，则硬面笔记本每本售价为元，∴15元能买本软面笔记本，24元能买本硬面笔记本,根据“两人买到相同数量的笔记本”可列方程，故选A.
【考点】列分式方程解应用题
7.【答案】D
【解析】由题意可得方程组解得∴一次函数的解析方式为，当时，解得，即不等式的解集为，故选D.

【考点】一次函数的图像与性质
8.【答案】C
【解析】如图，过点D作于点E，则四边形DCBE是矩形，，在中，，∴，又，∴，即教学楼的高度是，故选C.

作辅助线构造直角三角形和矩形是解答本题的关键.
【考点】解直角三角形的应用
9.【答案】C
【解析】在菱形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，∵，，∴，，由平移可知，，∴，在中，由勾股定理得，即点A与点之间的距离为10，故选C.
【考点】菱形的性质，平移的性质，勾股定理
10.【答案】B
【解析】如图，过点A作于点M，过点E作于点N，，，，∴是等腰直角三角形，∴，由勾股定理得，∴，又∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，易证，∴，∴点E是AC的中点，点N是CM的中点，∴，∴，∴，即的面积为4，故选B.

作两条垂线是解答本题的关键。
【考点】等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，求三角形的面积
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题
11.【答案】
【解析】.掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键.
【考点】整式的运算
12.【答案】
【解析】.根据整式采取提公因式法分解因式是解答本题的关键。
【考点】因式分解
13.【答案】
【解析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得，解得，即x的取值范围是.
掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键.
【考点】二次根式有意义的条件，解一元一次不等式
14.【答案】5
【解析】根据题意，可得方程组。解得
列方程组求出a和b的值是解答本题的关键.
【考点】解二元一次方程组，求代数式的值
15.【答案】
【解析】如图，在正方形ABGC中，，，，在中，由勾股定理得，∴，又是等腰直角三角形，∴，∴，∴，即小正方形的边长为.

确定“七巧板”中各个图形边长的关系是解答本题的关键.
【考点】正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，数学文化
16.【答案】
【解析】由题意可知，大正方体被分割成27个小正方体，只有大正方体每个顶角上的小正方体的三个面涂有红色，∴共有8个小正方体的三个面涂有红色，∴所求概率.
【考点】概率
17.【答案】5
【解析】如图，连接OP，在扇形AOB中，，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，设扇形的半径为r，则，∴.，在中，由勾股定理得，即，解得，即扇形的半径为5.

设未知数利用勾股定理列方程是解答本题的关键.
【考点】等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程
18.【答案】
【解析】如图所示，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即阴影部分的面积为.

求内部小等腰直角三角形的直角边长是解答本题的关键.
【考点】等腰直角三角形的性质，矩形的性质，勾股定理
三、解答题
19.【答案】解：原式
【解析】先计算二次根式、绝对值、实数的零次幂，再进行加减运算，从而求出原式的值.
【考点】实数的综合运算
20.【答案】解：由，解得，
由，解得，
∴原不等式组的解集是.
【解析】先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取公共部分即为原不等式组的解集.
【考点】解一元一次不等式组
21.【答案】解：原式

.
当时，原式.
【解析】先将括号内的分式通分，计算分式的减法，再将分式除法转化为乘法，约分后将分式化为最简分式，最后将的值代人最简分式，求出原分式的值.
【考点】分式的化简求值，分解因式
22.【答案】（1）.
（2）用表格列出所有可能出现的结果如下表：
第二张
第一张
1
2
3
4
1

(1,2)
(1,3)
(1,4)
2
(2,1)

(2,3)
(2,4)
3
(3,1)
(3,2)

(3,4)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)

由表格可知，共有12种可能的结果，并且它们的出现是等可能的，其中两次抽取卡片数字和大于4的情况包括：，共8种.
所以P（抽取两张卡片数学和大于4）.
【解析】（1）由题知盒子中的卡片总数，再确定标有奇数的卡片数，代入概率公式，求出概率；
（2）先列表或画树状图得出所有等可能的情况数，再确定两张卡片标有的数字之和大于4的情况数，代入概率公式求出概率.
【考点】求随机事件的概率
23.【答案】（1）.
答：参加这次调查的学生人数为150人.

（2），.
（3）
答：估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有192人.
【解析】（1）根据参加“书法”课外兴趣小组的人数和对应的百分比，可求出参加这次问卷调查的学生人数，再根据条形统计图中已知的人数，求出参加“航模”课外兴趣小组的人数，补全条形统计图；
（2）根据参加调查的学生人数和参加“摄影”课外兴趣小组的人数，可求出的值；根据参加调查的学生人数和参加“围棋”课外兴趣小组的人数，可求出的值；
（3）用参加“围棋”课外兴趣小组的人数占总调查人数的百分比，乘该校学生总人数，可估计出选择“围棋”课外兴趣小组的学生人数.
【考点】统计，用样本估计总本
24.【答案】（1）证明：∵线段AC绕点A旋转到AF的位置，
.
，
，
即.
在和中，
∴，∴.

（2）∵，
∴.
∵，
∴

∵是的外角，，
∴.
【解析】（1）根据旋转性质得两条线段相等，根据已知角代换得两个角相等，结合已知线段相等，可证明，得对应边相等；
（2）根据等边对等角求出的度数，根据全等三角形的对应角相等求出的度数，进而求出的度数，再利用三角形外角的性质，可求出的度数.
【考点】旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
25.【答案】（1）过点A作于点E.
∵，，
∴，
在中，
，
∴点A坐标为.
∵点A是反比例函数图象上的点，
∴，解得.

（2）记AE与OC的交点为F.
∵且，点C的横坐标为4，
又∵点C为反比例函数图象上的点，
∴点C的坐标为，∴.
设直线OC的表达式，将代人可得，
∴直线OC的表达式，
∵，，∴点F的横坐标为2将代入可得号，即.
∴.
∵AE，BC都与x轴垂直，∴，∴，，
∴，
∴.
【解析】（1）过点A作x轴的垂线AE，根据已知条件求出OE的长，再根据勾股定理求出AE的长，从而求出点A的坐标，即可求出k的值；
（2）根据OB的长得点C的横坐标，代人反比例函数解析式求出点C的坐标，从而求出直线OC的函数解析式，根据OE的长得点F的横坐标，代入直线OC的解析式，求出EF的长，从而求出AF的长，根据平行线判定，得对应线段成比例，从而求出的值.
【考点】反比例函数的图象与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
26.【答案】（1）证明：∵D是的中点，∴，
∴，
∴.
在中，.
∴.
∴.
（2）证明：∵，∴.
又∵，
∴..
∴，
∴
（3）解法一：如图1，作于点G.

图1
∵AB为的直径，C为上一点，
∴.
∵，∴，
设，则，
.
∵，
∴.
设，则.
∵，
∴，得.
∴.
∵，∴，
则.
又∵，∴.
∴，即，∴.
在中，.
解法二：如图2，链接BD.

∵AB为的直径，C为上一点，
∴.
∵，∴，
∴.
∴（同弧所对的圆周角相等）.
∴，∴.
设，则.
设，则.
在中，有.
即，化简得.
∴.
∴.
∵（同弧所对的圆周角相等）.
∴.
【解析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，结合圆周角定理得出同位角相等，从而判定两直线平行；
（2）根据已知角相等和等弧所对的圆周角相等，证明、，得比例式，改为乘积式即可；
（3）作，根据直径所对的圆周角是直角结合锐角函数的正切值，求出的值，设，利用勾股定理表示出AE，根据相似三角形的性质求出的值，设，再由，列出方程，从而表示出CD，再根据两组对应角相等证明，将含k的代数式表示的线段长代入比例式，表示出CG的长，利用锐角三角函数的定义即可求解；或连接BD，根据直径所对的圆周角是直角及平行线的性质得，根据圆周角的性质得，根据已知正切值得器的值，设，，根据已知条件表示出其他线段的长度，再利用勾股定理得到r与k的关系，即可得到.
【考点】圆的性质，圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，勾股定理
27.【答案】解：（1）2，10.
（2）①∵动点M，N相遇后停止运动，
∴动点M和动点N运动的距离之和为..
又∵动点M，N运动速度分别是，且两个动点的运动时间均为，
∴，∴.
∵动点M，N在线段BC上相遇（不包含点C），
∴，解得，
设.由反比例函数的图象和性质得：，即，∴..
答：动点N运动速度的取值范围为.
②解法一：过点P作于点Q，于点H.
.
，
，
，
，
，
，
.
∵动点M，N在线段BC上相遇（不包含点C），

.
∴

∵，
∴当时，取得最大值，最大值为.
答：当时，取得最大值，最大值为.

图1
图2
图3
解法二：过点P作于点Q，于点H.
∵，，∴..
∵，，，
∴，∴，
∴，∴.
∵动点M，N在线段BC上相遇（不包含点C），
∴
，
∴.
∴.
∴当时，取得最大值，最大值为.
∵

∴当时，取得最大值，最大值为.
答：当时，有得最大值，最大值为.
【解析】（1）根据函数图象可求出动点M的运动速度和BC的长；
（2）①根据动点M，N相遇后停止运动可求出两点运动的距离之和，从而列出方程，求出与的关系式，再求出的取值范围，根据反比例函数的图象与性质可求出的取值范围；②作垂线，根据勾股定理求出AC的长，利用平行线判定，根据比例式求出相关线段的长，从而求两个三角形的面积与的函数关系式，根据两个三角形的面积之积列出二次函数关系式，配方后，根据顶点坐标得的值和函数的最大值；或作垂线，根据勾股定理求出AC的长，利用平行线判定，根据比例式求出PO的长，从而求出两个三角形的面积之和，用其中一个三角形的面积代换另一个三角形的面积，根据两个三角形面积之积列出二次函数关系式，配方后，根据顶点坐标得其中一个三角形的面积和函数最大值，再利用其中一个三角形的面积与的函数关系式求得的值.
【考点】矩形的性质，反比例函数与二次函数的图象与性质，勾股定理，平行线的判定，相似三角形的判定与性质
28.【答案】（1）∵抛物线.
∴令，解得或，
∵点A位于点B的左侧，
∴点A的坐标为，B的坐标为
令，解得，
∴点C的坐标为.
∴，∴，
即.
解得或.
∵，∴.
（2）∵，∴，
∴，又，
∴，
∴线段AC的垂直平分线与的角平分线所在的直线重合.
∵
∵，
∴线段AB的垂直平分线是过点且平行于轴的直线.
外接圆圆心在线段AB的垂直平分线上，又在线段AC的垂直平分线上.
∴外接圆圆心的坐标为.
（3）过点A作于点E，过点Q作于点F，记PA与BQ的交点为G，延长PQ与轴交于点H.

∵，点P到轴的距离为，
∴.
∵，∴，
∴，
∴，∴，
∴四边形AEFQ为矩形，∴.
∵，∴.
∵，∴，
∴，∴，即.
在与中，
∴.
∵，且，
∴.
又∵，
∴，∴，
∴点P在抛物线上，
设点P的坐标为，
∴点H的横坐标也为，
∵，∴，
解得或（舍去）.
∴点P的横坐标为，∴点Q的横坐标也为.
∵直线AC经过点，
∴利用待定系数法可得直线AC的表达式为.
∵点Q在AC上，∴点Q的坐标为.
【解析】（1）根据抛物线的解析式，求出点B的坐标并用含的代数式表示出点A和C的坐标，从而表示出线段的长，利用三角形的面积列方程求出的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）根据的值求出点A，C的坐标，得，再证得等腰直角三角形，从而判定两线重合，再根据线段AB的垂直平分线求得今ABC外接圆圆心的坐标；
（3）作垂线，表示出的面积，结合的面积，得，可证四边形AERQ是矩形，再根据等角对等边证得，利用平行线的性质进行代换，证明，从而证明，求出，从而判定P，Q，H三点的横坐标相等，根据抛物线解析式设定点P的坐标，根据列方程，求出方程的解，从而求出点Q的横坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而求出点Q的坐标.
【考点】二次函数的图象与性质，三角形的面积公式，角平分线和线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程