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绝对值大全（零点分段法、化简、最值）

一、去绝对值符号的几种常用方法

解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

1利用定义法去掉绝对值符号
根据实数含绝对值的意义，即||=，有||<；||>
2利用不等式的性质去掉绝对值符号
利用不等式的性质转化||<或||>(>0)来解，如||>(>0)可为>或<－；||<可化为－<+<，再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“≤||≤≤≤或－≤≤－”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号
对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用||=可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4利用零点分段法去掉绝对值符号
所谓零点分段法，是指：若数，，……，分别使含有|－|，|－|，……，|－|的代数式中相应绝对值为零，称，，……，为相应绝对值的零点，零点，，……，将数轴分为+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。

5利用数形结合去掉绝对值符号
解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于或(为正常数)类型不等式。对(或<)，当||≠||时一般不用。

二、如何化简绝对值
绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。
（一）、根据题设条件
例1：设化简的结果是（   ）。
（A） （B）  （C）  （D）
思路分析：由可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．
解：
∴应选（B）．
归纳点评  只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．

（二）、借助数轴
例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（  ）．
（A）  （B）  （C）  （D）

思路分析  由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍．
解：原式
∴应选（C）．
归纳点评  这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：
1．零点的左边都是负数，右边都是正数．
2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．
3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．

（三）、采用零点分段讨论法
例3：化简
思路分析  本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论．
解：令得零点：；令得零点：，把数轴上的数分为三个部分（如图）

①当时,
∴  原式
②当时，，
∴原式
③当时，，
∴  原式
∴
归纳点评：虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：
1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．
2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．
3．在各区段内分别考察问题．
4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．
误区点拨  千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果．

三、带绝对值符号的运算

      在初中数学教学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。其实它既是初中数学教学的一个重点，也是初中数学教学的一个难点，还是学生容易搞错的问题。那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手：

     （ 一）、要理解数a的绝对值的定义。
在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。”学习这个定义应让学生理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。

      （二）、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。
从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。

      （三）、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。

1、对于形如︱a︱的一类问题
只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。
当a>0时， ︱a︱= a (性质1：正数的绝对值是它本身) ；
当a=0 时， ︱a︱= 0 (性质 2：0的绝对值是0) ；
当 a<0 时；︱a︱= –a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。

2、对于形如︱a+b︱的一类问题
首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。
当a+b>0时，︱a+b︱= (a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它本身) ；
当a+b=0 时，︱a+b︱= (a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)；
当 a+b<0 时，︱a+b︱= –(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。

3、对于形如︱a-b︱的一类问题
同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。
但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时， ︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。
口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。

4、对于数轴型的一类问题，
根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。

5、对于绝对值符号前有正、负号的运算
非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！

6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算
   万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与0比较，大于0直接去绝对值号，小于0的整体前面加负号。

四、去绝对值化简专题练习
（1）  设 化简 的结果是（  B  ）。
（A）   （B）   （C）   （D）
(2)  实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式 的值等于（  C ）。
　　（A）   （B）   （C）   （D）

(3)  已知 ，化简 的结果是 x-8 。
(4)  已知，化简 的结果是 -x+8 。
(5)  已知，化简 的结果是 -3x 。
(6) 已知a、b、c、d满足 且 ，那么a+b+c+d= 0 （提示：可借助数轴完成）
(7) 若 ，则有（ A  ）。
（A）   （B）   （C）   （D）
(8) 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子 化简结果为（ C  ）．　　
（A）   （B）   （C）   （D）
(9) 有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子， 中负数的个数是（B  ）．

　　（A）0  （B）1  （C）2  （D）3
(10) 化简 =
(1)-3x (x<-4) (2)-x+8(-4≤x≤2) (3)3x(x>2)
(11) 设x是实数， 下列四个结论中正确的是（ D  ）。
　　（A）y没有最小值
　　（B）有有限多个x使y取到最小值
　　（C）只有一个x使y取得最小值
（D）有无穷多个x使y取得最小值

五、绝对值培优教案
绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续二次根式的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)、函数中距离等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：
l．绝对值的代数意义：
2．绝对值的几何意义从数轴上看，表示数的点到原点的距离(长度，非负) ；
表示数、数的两点间的距离．
3．绝对值基本性质
①非负性：；②；③；④．

培优讲解
（一）、绝对值的非负性问题
【例1】若，则 。
总结：若干非负数之和为0， 。
（二）、绝对值中的整体思想
【例2】已知，且，那么= ．
变式1. 若|m－1|=m－1，则m_______1; 若|m－1|>m－1，则m_______1;

（三）、绝对值相关化简问题（零点分段法）
【例3】阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值）。在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）当时，原式=;
（2）当时，原式=；
（3）当时，原式=。
综上讨论，原式=
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1） 分别求出和的零点值；（2）化简代数式

变式1.化简 (1)； (2)；

变式2.已知的最小值是，的最大值为，求的值。

（四）、表示数轴上表示数、数的两点间的距离．
【例4】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3.
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ .
（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离
可以表示为 ______________.
（3）结合数轴求得的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 ___.
（4） 满足的的取值范围为 ______ .
（5） 若的值为常数，试求的取值范围．

（五）、绝对值的最值问题
【例5】（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？（2）当取何值时，有最大值？这个最大值是多少？（3）求的最小值。（4）求的最小值。

【例6】．已知，设，求M 的最大值与最小值．

课后练习：
1、若与互为相反数，求的值。
2．若与互为相反数，则与的大小关系是( )．
A． B． C． D．
3．已知数轴上的三点A、B、C分别表示有理数，1，一l，那么表示( )．
A．A、B两点的距离 B．A、C两点的距离
C．A、B两点到原点的距离之和 D． A、C两点到原点的距离之和
4.利用数轴分析，可以看出，这个式子表示的是到2的距离与到的距离之和，它表示两条线段相加：⑴当 时，发现，这两条线段的和随的增大而越来越大；⑵当 时，发现，这两条线段的和随的减小而越来越大；⑶当 时，发现，无论在这个范围取何值，这两条线段的和是一个定值 ，且比⑴、⑵情况下的值都小。因此，总结，有最小值 ，即等于 到 的距离
5. 利用数轴分析，这个式子表示的是到的距离与到1的距离之差它表示两条线段相减：⑴当 时，发现，无论取何值，这个差值是一个定值 ；⑵当 时，发现，无论取何值，这个差值是一个定值 ；
⑶当 时，随着增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。
因此，总结，式子当 时，有最大值 ；当 时，有最小值 ；

9．设，，则的值是（ ）．
A．-3 B．1 C．3或-1 D．-3或1
10．若，则 ；若，则 ．
12．设分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且，则可能取得的最大值是 ．
4、当b为______时，5-有最大值，最大值是_______
当a为_____时，1＋|a +3 |有最小值是_________.
5、当a为_____时，3＋|2a－1 |有最小值是________；当b为______时，1- | 2＋b|有最大值是_______.
2、已知b为正整数，且a、b满足| 2a－4|＋b＝1，求a、b的值。
7.化简：⑴； ⑵
4、如果2x＋| 4－5x|＋ |1－3x |＋4恒为常数，求x的取值范围。
7、若，求的取值范围。
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