正方形知识点及同步练习、含答案(1).doc

学科：数学
正方形

【学习目标】
1．掌握正方形的定义、性质和判定方法．
2．能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系．
3．能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明．

【主体知识归纳】
1．正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有：
（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
（2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
3．正方形的判定
（1）根据正方形的定义；
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）有一个角是直角的菱形是正方形；
（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．

【基础知识精讲】
1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
2．正方形的性质可归纳如下：
边：对边平行，四边相等；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容．

【例题精讲】
［例1］如图4－50，已知矩形ABCD中，F为CD的中点，在BC上有一点E，使AE＝DC＋CE，AF平分∠EAD．
求证：矩形ABCD是正方形．

图4—50
剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AE＝DC＋CE，容易想到若能证明AE＝AD＋CE便可证得AD＝DC，由于AF平分∠EAD，因此可在AE上截取AG＝AD，再证GE＝CE，就可得出要证的结论．
证明：在AE上截取AG＝AD，连结FG、FE．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°．
∵AD＝AG，∠DAF＝∠GAF，AF＝AF
∴△ADF≌△AGF，∴DF＝GF，∠D＝∠AGF＝90°．
∵DF＝CF，∴GF＝CF．
∵∠FGE＝∠C＝90°，FE＝FE，
∴Rt△GFE≌Rt△CFE．
∴GE＝CE，∴AD＋CE＝AE．
又DC＋CE＝AE，∴AD＝DC．
∴矩形ABCD是正方形．
说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角．
［例2］如图4－51，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE＝OF．

图4—51
对上述命题的证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO．
∴∠3＋∠2＝90°，
∵AG⊥BE，∴∠1＋∠3＝90°．
∴∠1＝∠2，
∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF
问题：对于上述命题，若点E在AC延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变（如图4－52），结论“OE＝OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

图4—52
剖析：可仿上述的证明，证△BOE≌△AOF．
解：结论OE＝OF仍然成立，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO，
∴∠OFA＋∠FAE＝90°
又∵AG⊥EB，∴∠OEB＋∠EAF＝90°，
∴∠OEB＝∠OFA，
∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF．
［例3］有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来．

图4—53
剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的倍，而正方形的对角线是边长的倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形．
答案：如图4－53，分别过B、D作AC的平行线，分别过A、C作BD的平行线，四条线分别交于A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′为要求的正方形．

【同步达纲练习】
1．选择题
（1）下列命题中，假命题的个数是（　　）
①四边都相等的四边形是正方形 ②对角线互相垂直的平行四边形是正方形 ③四角都相等的四边形是正方形 ④对角线相等的菱形是正方形
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直平分 B．对角线相等
C．邻边相等 D．每条对角线平分一组对角
（3）正方形的对角线与边长之比为（　　）
A．1∶1 B．∶1 C．1∶ D．2∶1
（4）以等边△ABC的边BC为边向外作正方形BCDE，则①∠ABD＝105°，②∠ACD＝150°，
③∠DAE＝30°，④△ABE≌△ACD，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（5）在正方形ABCD中，P、Q、R、S分别在边AB、BC、CD、DA上，且AP＝BQ＝CR＝DS＝1，AB＝5，那么四边形PQRS的面积等于（　　）
A．17 B．16 C．15 D．9
（6）如图4－54，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于（　　）

图4—54
A．7 B．5 C．4 D．3
（7）在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若△AEF是边长为的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（　　）
A． B． C． D．2
（8）如图4－55，在正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM等于（　　）

图4—55
A．45° B．55° C．65° D．75°
2．填空题
（1）已知正方形的面积是16 cm2，则它的一边长是_____，一条对角线长是_____．
（2）已知正方形的对角线长为2，则此正方形的周长为_____，面积为_____．
（3）在正方形ABCD中，两条对角线相交于O，∠BAC的平分线交BD于E，若正方形ABCD的周长是16 cm，则DE＝_____cm．
（4）在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，那么∠AFC等于_____度．
3．如图4－56，已知正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF．

图4—56
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若∠BEC＝60°，求∠EFD的度数．
4．已知：如图4－57，在正方形ABCD中，E是CB延长线上一点，EB＝BC，如果F是AB的中点，请你在正方形ABCD上找一点，与F点连结成线段，并证明它和AE相等．

图4—57
5．以△ABC的AB、AC为边，向三角形外作正方形ABDE及ACGF，作AN⊥BC于点N，延长NA交EF于M点．
（1）求证：EM＝FM；
（2）若使AM＝EF，则△ABC必须满足什么条件呢？

图4—58
6．如图4－58，已知正方形ABCD中，M、F分别在边AB、AD上，且MB＝FD，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，MN与∠CBE的平分线相交于N．求证：DM＝MN．
7．如图4－59，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE和BCFG．

图4—59
求证：AF＝DB；若点C在线段AB的延长线上，猜想上述结论是否正确，如果正确，请加以证明，如果不正确，请说明理由．

【思路拓展题】
你会设计吗
今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出如图4－60的三张正方形纸片上分别画图，并简述画图步骤）

图4—60

参考答案
【同步达纲练习】
1．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）A （6）B （7）A（8）B
2．（1）4 4 （2）8 4 （3）4 （4）112.5
3．（1）略 （2）15°
4．连结CF，可证△ABE≌△CBF或连结DF，让△ABE≌△DAF。．
5．提示：（1）过点E作EG∥AF交AM的延长线于G，连结FG，证△ABC≌△EAG，得EG＝AC，从而EG AF，可得AEGF为平行四边形，结论得证；（2）∠BAC＝90°．
6．提示：证△DFM≌△MBN．
7．提示：证△ACF≌△DCB。
若点C在线段AB外，上述结论仍然成立，证法仿照着前一种情况。

【思路拓展题】
你会设计吗？
提示：实质是对角以正方形中点为中心旋转．