数值计算方法期末考试题.doc

 一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.
   A．4和3          B．3和2
   C．3和4          D．4和4
2. 已知求积公式，则＝（ ）
A．      B．      C．     D．
3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（    ）
   A．＝0，        B． ＝0，    
   C．＝1，         D． ＝1，
4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（    ）敛速。
    A．超线性     B．平方       C．线性           D．三次
5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程（   ）.
       A．                B．
        C．                 D．　

单项选择题答案
1.A　2.D　3.D　4.C　5.B

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 设, 则        ，        .
2. 一阶均差                     
3. 已知时，科茨系数，那么            
4. 因为方程在区间上满足                 ，所以在区间内有根。
5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式                      .　

填空题答案
1.       9和
2.        
3.      
4.      
5.      

三、计算题（每题15分，共60分）

1. 已知函数的一组数据：　
求分段线性插值函数，并计算的近似值.

计算题1.答案
1.       解 ，           
，
所以分段线性插值函数为

2. 已知线性方程组

（1）       写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；
（2）       对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）.

计算题2.答案

1.解 原方程组同解变形为

雅可比迭代公式为

高斯－塞德尔迭代法公式

用雅可比迭代公式得

用高斯－塞德尔迭代公式得

3. 用牛顿法求方程在之间的近似根
（1）请指出为什么初值应取2？
（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.

计算题3.答案
 3. 解 ，，
，，，故取作初始值
迭代公式为
，
，，

，              
方程的根

4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.　

计算题4.答案
4 解  梯形公式                         
         应用梯形公式得                   
         辛卜生公式为           
         应用辛卜生公式得

 四、证明题（本题10分）

确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度

证明题答案
证明：求积公式中含有三个待定系数，即，将分别代入求积公式，并令其左右相等，得

得，。所求公式至少有两次代数精确度。     
又由于

故具有三次代数精确度。  

一、          填空（共20分，每题2分）

1. 设 ，取5位有效数字，则所得的近似值x=      .
2.设一阶差商 ，
   则二阶差商
3. 设, 则        ，        。
4．求方程   的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么    
5．解初始值问题 近似解的梯形公式是
6、 ，则A的谱半径 ＝              。
7、设   ，则                和                  。       
8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都               。
9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为               。
10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成                              。

填空题答案
1、2.3150
2、
3、6 和
4、1.5
5、
6、
7、
8、 收敛
9、
10、

二、计算题  （共75 分，每题15分）

1．设
（1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式使满足
以升幂形式给出。
（2）写出余项 的表达式

计算题1.答案
1、（1）
   （2） 　

2．已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1…收敛？　

计算题2.答案
2、由 ，可得 ，   

3． 试确定常数A，B，C和 a，使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？

计算题3.答案
3、 ，该数值
求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的

4． 推导常微分方程的初值问题 的数值解公式： 
（提示： 利用Simpson求积公式。）

计算题4.答案
4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 在区间 上积分，
得，记步长为h,
对积分 用Simpson求积公式得

所以得数值解公式：

5． 利用矩阵的LU分解法解方程 组

计算题5.答案
5、解：

三、证明题 （5分）

1．设  ，证明解 的Newton迭代公式是线性收敛的。

证明题答案
1、

一、填空题（20分）

(1).设是真值的近似值，则有                 位有效数字。
(2). 对, 差商(      )。
(3). 设, 则        。
(4).牛顿—柯特斯求积公式的系数和                       。
填空题答案
（1）3    （2）1    （3）7        （4）1

二、计算题

1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式的值。
插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。

计算题1.答案
1）　
2).（15分）用二分法求方程区间内的一个根，误差限。
计算题2.答案
2)

3).（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。

计算题3.答案

3）迭代公式

4).（15分）求系数
。

计算题4.答案
4）

5). (10分)对方程组

试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由

计算题5.答案
 5) 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为
取,经7步迭代可得：
.

 三、简答题

1)（5分）在你学过的线性方程组的解法中, 你最喜欢那一种方法,为什么?
2)（5分）先叙述Gauss求积公式, 再阐述为什么要引入它。

简答题答案
1）凭你的理解去叙述。
2）参看书本99页。

一、填空题（20分）

1. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有(     )位有效数字.
2.  是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则
     (      ).
3.  设f (x)可微，则求方程的牛顿迭代格式是(                  ).
4.  迭代公式收敛的充要条件是            。
5. 解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式中的B称为(         ). 给定方程组，解此方程组的雅可比迭代格式为(           )。
填空题答案
1．3
2.
3.
4.
5.迭代矩阵，   

二、判断题（共10分）

1.          若，则在内一定有根。               (   )
2.          区间[a,b]上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。         (   )
3.          若方阵A的谱半径，则解方程组Ax=b 的Jacobi迭代法收敛。     (   )
4.          若f (x)与g (x) 都是n次多项式，且在n+1个互异点上，则 。                                          (   )
5.          用近似表示产生舍入误差。                     (   )

判断题答案
1.×  2.×  3.×  4.√  5.×

三、计算题（70分）

1.      （10分）已知f (0)＝1，f (3)＝2.4，f (4)＝5.2，求过这三点的
二次插值基函数l1(x)=(                   )，=(             ), 插值多项式P2(x)=(                ), 用三点式求得(         ).
计算题1.答案
1．

2. （15分） 已知一元方程。
1）求方程的一个含正根的区间；
2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；
3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。

计算题2.答案
2.（1）
（2）
（3）

3. （15分）确定求积公式     的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.

计算题3.答案

4. （15分）设初值问题  . 
(1)     写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；
(2)     写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解，保留两位小数。

计算题4.答案
4.

5. （15分）取节点，求函数在区间上的二次插值多项式，并估计误差。

计算题5.答案
5．
             =1+2(

            ，

一、填空题( 每题4分，共20分)

1、数值计算中主要研究的误差有             和             。
2、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则                        ；     。
3、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为         ；插值型求积公式中求积系数                    ；且          。
4、辛普生求积公式具有    次代数精度，其余项表达式为                                                。
5、则。
填空题答案
1.相对误差  绝对误差
2.       1
3. 至少是n              b-a
4. 3   
5. 1      0

二、计算题

1、已知函数的相关数据

由牛顿插值公式求三次插值多项式，并计算的近似值。

计算题1.答案
解：差商表
由牛顿插值公式：

2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长，。
计算题2.答案
解：

3、（15分）确定求积公式
。
中待定参数的值，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。

计算题3.答案
解：分别将，代入求积公式，可得。
令时求积公式成立，而时公式不成立，从而精度为3。

4、（15分）已知一组试验数据如下 ：

求它的拟合曲线（直线）。

计算题4.答案
解：设则可得
于是，即。

5、（15分）用二分法求方程在区间内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。

计算题5.答案
解：6次；。

6、（15分）用列主元消去法解线性方程组

计算题6.答案
解：
即

一、填空题（25分）

1).设x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则x*有        位有效数字。
2).          ，        。
3).求方程根的牛顿迭代格式是           。
4).已知,则            ,           。
5). 方程求根的二分法的局限性是             。
填空题答案
1）4；     2）1，0；    3）； 4）7, 6；
5）收敛速度慢，不能求偶重根。

二、计算题

1).（15分）已知

(1)用拉格朗日插法求的三次插值多项式；
(2)求， 使。

计算题1.答案
解：
2).（15分）试求使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度。
计算题2.答案
解：由等式对精确成立得：
,解此方程组得

    又当时    左边右边
  此公式的代数精度为2

3).（15分）取步长h=0.2, 用梯形法解常微分方程初值问题

计算题3.答案
3）梯形法为
即 
迭代得

4). （15分）用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值.

计算题4.答案
解：先选列主元，2行与1行交 换得消元；
3行与2行交换；消元；
回代得解；行列式得

5). （15分）用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。

计算题5.答案

5). 解：是的正根，，牛顿迭代公式 为
，  即    
取x0=1.7, 列表如下：

一、填空题( 每题4分，共20分)

1、辛普生求积公式具有    次代数精度，其余项表达式为                                                。
2、则。
3、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为         ；插值型求积公式中求积系数                    ；且          。
4、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则                        ；     。
5、按四舍五入原则数2.7182818与8.000033具有五位有效数字的近似值分别为               和             。
填空题答案
1、3       
2、            
3、              1
4、至少是n               
5、           

二、计算题

1、（10分）已知数据如下：

求形如拟合函数。

计算题1.答案
解：
2、（15分）用二次拉格朗日插值多项式计算。插值节点和相应的函数值如下表。

计算题2.答案

解：过点的二次拉格朗日插值多项式为

代值并计算得  。　

3、（15分）利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长
。

计算题3.答案

解：

4、（15分）已知
(1)推导以这三点为求积节点在上的插值型求积公式
；
(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算。

计算题4.（1）答案
计算题4.（2）&（3）答案
（2）所求的求积公式是插值型，故至少具有2次代数精度，再将代入上述公式，可得

故代数精度是3次。
（3）由（2）可得：。
(1)所求插值型的求积公式形如：

。

5、（15分）讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。其中.

计算题5.答案
解：

 三、简述题（本题 10 分）

叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么？

简述题答案
解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。
  误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；2）要避免两近数相减；3）要防止大数吃掉小数：4）注意简化计算步骤，减少运算次数。

一、           填空（共25分，每题5分）

1、，则A的谱半径＝            
  2、设则          和                  
  3、若 x = 1.345678, ，则x*的近似数具有       位有效数字.
  4、抛物线求积公式为                                         .
  5、设可微，求方程根的牛顿迭代公式是             。
填空题答案
1、；
2、；
3、4；
4、；
5、.

二、计算题

1).（15分）设
（1）试求在上的三次Hermite插值多项式使满足, 以升幂形式给出。
（2）写出余项的表达式

计算题1.答案
（1）
（2）
2).（15分）设有解方程的迭代法: ,
（1） 证明,均有（为方程的根）；
（2） 取用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；
（3）此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。
计算题2.答案

（1）
（2）取，则有各次迭代值
   取，其误差不超过
（3）
   故此迭代为线性收敛。　

3). (15分) 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度
.

计算题3.答案
令代入公式精确成立，得；
解得，得求积公式

对；故求积公式具有2次代数精确度。

4).（15分）用Gauss消去法求解下列方程组

计算题4.答案
本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。
；
故.

5).（15分） 已知方程组，其中
（1） 试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性。
（2） 若有迭代公式，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛。

计算题5.答案
（1），因此两种迭代法均收敛。
（2）当时，该迭代公式收敛。