2019理科全国卷1及答案word版.doc

2019年普通高等学校招生全国统一考试 一卷
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B．
C． D．
2．设复数满足，在复平面内对应的点为，则
A． B．
C． D．
3．已知，，，则
A． B． C． D．
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是
A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm
5．函数在的图象大致为

6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A． B． C． D．
7．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．右图是求的程序框图，图中空白框中应填入
A．
B．
C．
D．
9．记为等差数列的前项和，已知，，则
A． B． C． D．
10．已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，，则的方程为
A． B． C． D．
11．关于函数有下述四个结论：
①是偶函数 ②在区间单调递增
③在有4个零点 ④的最大值为2
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

12．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，△ABC是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为________．
14．记为等比数列的前项和，若，，则________．
15．甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是________．
16．已知双曲线：（）的左右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，若，，则的离心率为________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
△ABC的内角的对边分别为，设.
（1）求；
（2）若，求.
18．（12分）
如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．
（1）证明：∥平面；
（2）求二面角的正弦值．

19．（12分）
已知抛物线：的焦点，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为．
（1）若，求的方程；
（2）若，求．
20．（12分）
已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
21．（12分）
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验，试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为.
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药试验开始时都赋予4分，（）表示“甲药的累计得分为时 ，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则， ，（）其中，，.假设，.
（ⅰ）证明：（）为等比数列；
（ⅱ）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若上的点到距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知，，为正数，且满足，证明：
（1）；
（2）．

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