行列式算法归纳总结.doc

数学与统计学学院

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题目: 行列式的算法归纳

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2012年6月20日

目 录

引言 2
1 行列式性质 2
2 行列式计算方法 5
2.1定义法 5
2.2递推法 6
2.3化三角法 9
2.4拆元法 11
2 .4加边法 12
2.6数学归结法 14
2.7降价法 15
2.8利用普拉斯定理 16
2.9利用范德蒙行列式 17
结论 18
参考文献 18

行列式的概念及应用

摘要：本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出了行列式的计算方法，包括：定义法，化三角法，递推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理和利用范德蒙行列式的方法。

关键词：行列式；线性方程组；范德蒙行列式

The concept and application of determinant
In this article, it first lists some calculated properties of determinants, and then characterizes some methods to calculate determinant, including: definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered，Mathematical induction，reduction， the method using Laplace theorem or the van demon determinant.
Keywords: determinant; system of linear equations; Van demon determinant

引言
行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。
1 行列式的性质
性质1[1] 行列互换，行列式值不变，即

其实，元素在上式的右端位于第j行第i列，即此时i是列指标，j为行指标。
在行列式中，行与列的地位是对称的，所以有关行的性质，对列也成立。
性质2 如果行列式中一行为零，那么行列式为零。
性质3 如果行列式的某一行的元都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项作成相应行而其余行不变的两个行列式的和。
即

这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。
性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零，所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。
性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。
性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号。

2.行列式的计算方法
2.1 定义法
阶行列式计算的定义[3]：

其中，表示对所有级排列求和。是的一个排列，当是偶排列时，是正号；当是奇排列时，是负的。是中取自不同行不同列的个元素的乘积。

例2.1：证明.
分析 观察行列式我们会发现有许多零,故直接用定义法.
证明： 由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为
则
. （3）
其中为的任意排列,在中位于后三行后三列的元素为零,而在前两行前两列中,取不同行不同列的元素只有四个,就是说（3）式中每一项至少有一个来自后三行后三列.
故=0.
注意 此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多.

2.3 递推法
应用行列式的性质，把一个较高阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，-1阶或-1阶与-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法[4]。
注意：用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难
找出递推关系式，从而不能使用此方.
例2.2证如下行列式等式

证明： （虽然这是一道证明题，但我们可以直接求
出其值，从而证之）。
分析：此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素
都为零，这种行列式称“三对角”行列式。从行列式的左上方往右下方看， 即知与具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。
证明：按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：
，
这是由 和表示的递推关系式。若由上面的递推关系式从阶逐阶往低
阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由-1阶和-2阶行列式表示阶行列式，因此，可考虑将其变形为：

或 。
现可反复用低阶代替高阶，有：

同样有

因此当 时，由（1）（2）式可解得： 。
小结：虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同的结构，然后得到一递推关系式，但我们不要盲目乱代，一定要看清这个递推关系式是否可以简化我们的计算，如果不行的话，就要适当地换递 推关系式，如本题。

2.3化三角形法
运用行列式的性质是计算行列式的一个重要途径,大多数行列式的计算都依赖于行列式的性质,将行列式化成上三角(下三角或反三角)的形式,再根据行列式的定义来计算行列式[7].行列式的性质告诉了我们该如何求行列式,而一切的行列式都可以根据以上性质来进行初等行变换(列变换),变成阶梯形(上三角)的行列式,再根据定义计算即可.
其计算步骤可归纳如下:
(ⅰ)看行列式的行和(列和),如果行列和相等,则均加到某一列(行)（直观上加到第一列
(行)）.
(ⅱ)有公因子的提出公因子.
(ⅲ)进行初等行变换(列变换)化成上三角(下三角或反三角)的行列式.
(ⅳ)由行列式的定义进行计算.
由以上四步,计算一般行列式都简洁多了.
例2.3[6] 计算行列式.
分析 直接用化三角形法化简很烦,观察发现对于任意相邻两列中的元素,位于同一行的元素中,后面元素与前面元素相差1,因此先从第列乘-1加到第列,第列乘-1加到第列, 这样做下去直到第列乘-1加到第列,然后再计算就显得容易.
解：

.
问题推广
在例2.3中,这个数我们可以看成有限个等差数列在循环,那么对于一般的等差数列也应该适应.计算行列式[1]

.

如果将例2.3中的数，代入结论显然成立.

2.4．拆元法
由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行
列式值，此法称为拆行（列）法。
由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值[2]。
例2.4求下列行列式的值
设阶行列式：

且满足对任意数b，求阶行列式

分析:该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是b，显然
用拆行（列）法。
解：

。
又令
A=, 。

。
。
， 所以 也为反对称矩阵。
又 为的元素，
。
从而知： 。
2.5．加边法
计算行列式往往采用降阶的办法，但在一些特殊的行列式的计算上却要采用加边法。行列式的加边法是为了将行列式降阶作准备的。更有利于将行列式化成上三角的形式，其加边的元素，也可根据计算的难易程度来确定。具有随意性。利用行列式按行（列）展开的性质把阶行列式通过加行（列）变成与之相等的阶行列式,然后计算[3].
添加行列式的四种方法[18]:设.
（1）首行首列.
（2）首行末列.
（3）末行首列.
（4）末行末列.
例2.5 [4] 计算 阶行列式：

分析 我们先把主对角线的数都减1，这样我们就可明显地看出第一行为与相乘，第二行为与相乘，……，第行为与相乘。这样就知道了该行列式每行有相同的因子，从而就可考虑此法。
解：

注意:加边法最在的特点就是要找出每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就达到了简化计算的效果。

2.6数学归结法
数学归纳法有两种一种是不完全归纳法,另一种是完全归纳法,通常用不完全归纳法寻找行列式的猜想,再用数学归纳法证明猜想的正确性[5].
基本方法
1) 先计算时行列式的值.
2) 观察的值猜想出的值.
3) 用数学归纳法证明.

例2.6[6] 证明：

证：当时，有

结论显然成立。
现假定结论对小于等于时成立。
即有
。
将按第1列展开，得

故当对时，等式也成立。得证。

2.7降阶法
阶行列式等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即 或.
行列式按一行（列）展开将高阶转化为若干低阶行列式计算方法称为降阶法.这是一种计算行列式的常用方法[9].
例2.7 计算.
解 .
注意 对于一般的阶行列式若直接用降阶法计算量会大大加重.因此必须先利用行列式的性质将行列式的某一行（列）化为只含有一个非零元素,然后再按此行（列）展开,如此进行下去,直到二阶.

2.8 利用拉普拉斯定理
在利用行列式的一行(列)展开式时,我们可以发现计算行列式可以按某一行(列)展开,进行计算行列式.试想,我们可以根据行列式的某一个K级字式展开吗? 拉普拉斯经过对行列式的研究.终于发现此种方法可行,并给出了严密的证明,为了使行列式的计算更为简洁,现引入拉普拉斯定理.
拉普拉斯定理[12]:设在行列式D中任意取定了k个行,由这k行元素所组成的一切K级字式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.
拉普拉斯定理的四种特殊情形：
1） 2）
3） 4）
例2.8计算n阶行列式

解

2.9 利用范德蒙行列式

范德蒙行列式[14]：

例2.9[16]：计算n阶行列式
解 ： 显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。
先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，…,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+…+2+1=n（n-1）/2次行对换后，得到

上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得

结论：
综上所述，针对行列式结构特点而采用与之相适应的计算技巧，从而总结出了多种类型题目所适用的计算方法，因此，对于计算行列式的方法，我们首先要熟练掌握并懂得如何选择、运用，不管是哪一种行列式的计算，选取恰当的方法，才能较快地解出其值。

参考文献

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