2009年-数学-(江苏卷)解析版.doc

2009年普通高等学校全国统一考试（江苏卷）
数学学科全解全析学
科网09高考全解全析09高考09高考全解全析编委会
【试卷总体评价】本试卷难度适中，覆盖了考纲要求的主体内容，试卷的创新性高，第14题立意新颖，考查了学生利用数学知识解决实际问题的能力。第19题，紧跟社会实际的试题背景，突出考查主干知识和基本数学思想，突出在知识网络交汇处设计试题，强调知识的综合性。其他的题型也都很固定，没有出现偏题怪题，应该说，本次高考题的难度，区分度都非常恰当．整个试题稳中求变，稳中求“活”。注重基础，注重素质。注重考察学生对知识的灵活应用，注重对学生数学素养的考察，注重对学生分析问题和解决问题的考察。
体现新课标理念，实现平稳过渡。试卷紧扣江苏考试大纲，新增内容的考查主要是对基本概念、基本公式、基本运算的考查，难度不大。对传统内容的考查在保持平稳的基础上进行了适度创新。关注通性通法。试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求。体现数学应用，关注社会生活。第19题以“满意度”学生都熟悉的内容为背景，体现试卷设计问题背景的公平性，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向。附加题部分，前四道选做题对知识点的考查单一，方法清晰，学生入手较易。两道必做题对数学符号、数学语言以及数学思想方法有较高的要求，相对较难。

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。
5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

参考公式：
样本数据的方差
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.学科
5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2
6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9

8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两10.已知，函数，若实数满足，则的大小关系为 ★ .
【答案】m<n
【解析】因为，指数函数为单调减函数，由，则m<n.
【考点定位】本题考查指数函数的单调性，当底数时，函数是单调减函数。

11.已知集合，，若则实数的取值范围是， 13．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ★ .
x
y
A1
B2
A2
O
T
M
·
·

14．设是公比为的等比数列，，令若数列有连续四项在集合中，则 ★

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15．（本小题满分14分）
设向量
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值;
（3）若，求证：∥.
16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
D
求证：（1）∥
（2）

17．（本小题满分14分）
设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项. 

18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系中，已知圆和圆学
（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.
x
y
O
1
1
.
.

【答案】(1) 或，
(2)P在以C1C2的中垂线上，且与C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐标为或。
故有：，

19.(本小题满分16分)
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为.
(1) 求和关于、的表达式；当时，求证：=；
(2) 设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
(3) 记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

综上，不存在满足条件的、的值．
【考点定位】本小题主要考查函数的应用、不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力。这是一道新信息题，主要考查我们对新知识的阅读和理解能力，解决的关键是通过阅读题意，明确所给出新概念的本质意义，再转化为具体的问题解决.

20．(本小题满分16分)
设为实数，函数.
(1) （1）若，求的取值范围；
(2) （2）求的最小值；
(3) （3）设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解
(4)
·

·
21、[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分。解答时
应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
A、选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD中，.求证：AB//CD

C、选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的参数方程为 （t为参数，t>0）。
【答案】
【解析】因为，所以，故曲线C的普通方程为：
【考点定位】本题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。

D、选修4-5：不等式选讲
设，求证：

922．（本题满分10分）
在平面直接坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上。
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线方程；
（3）设过点M（m，0）（m>0）的直线交抛物线C于D,E两点，ME=2DE，记D和E两点间的距离为f（m），求f（m）关于m的表达式。

【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意，可设抛物线C的标准方程为.因为点A(2,2)在抛物线C上，所以p=1.
923．（本题满分10分）
对于正整数，用表示关于x的一元二次方程有实数根是有序数组（a，b）

的组数，其中a，b对于随机选取的a，b，记为关于x的一元二次方程有实数根的概率。
（1）求及；
（2）求证：对任意正整数，有。

高考真题第14页（共14页）