概率论与数理统计试题.doc

《概率论与数理统计》期末试题（1）

一、填空题（每小题3分，共15分）
1． 设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发生的概率为__________.
2． 设随机变量服从泊松分布，且，则______.
3． 设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率密度为____________
4． 设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，，则_________，
5． 设总体的概率密度为
.
是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是 （ ）
（A）若，则与也独立.
（B）若，则与也独立.
（C）若，则与也独立.
（D）若，则与也独立.
2．设随机变量的分布函数为，则的值为（ ）
（A）. （B）.
（C）. （D）.
3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是 ()
（A）与独立. （B）.
（C）. （D）.
4．设离散型随机变量和的联合概率分布为

若独立，则的值为 ()
（A）. （A）.
（C） （D）.
5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中正确的是()
（A）是的无偏估计量. （B）是的极大似然估计量.
（C）是的相合（一致）估计量. （D）不是的估计量.
三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.

四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期望和方差.

五、（10分）设二维随机变量在区域 上服从均匀分布. 求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密度.

六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相互独立，且均服从分布. 求（1）命中环形区域的概率；（2）命中点到目标中心距离的数学期望.
x
y
0
1
2

七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）.
（附注）

《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答

一、填空题（每小题3分，共15分）
（1） 设,,，则至少发生一个的概率为_________.
（2） 设服从泊松分布，若，则P(X>1) =__________
（3） 设随机变量的概率密度函数为 今对进行8次独立观测，以表示观测值大于1的观测次数，则
（4） 元件的寿命服从参数为的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100小时以上的概率为
（5） 设测量零件的长度产生的误差服从正态分布，今随机地测量16个零件，得，. 在置信度0.95下，的置信区

二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（ ）
中，每小题3分，共15分）
（1）是任意事件，在下列各式中，不成立的是（ ）
（A）.
（B）.
（C）.
（D）.
（2）设是随机变量，其分布函数分别为，为使
是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值（ ）
中应取
（A）. （B）.
（C）. （D）.
（3）设随机变量的分布函数为，则的分布函数为（ ）
（A）. （B）.
（C）. （D）.

（4）设随机变量的概率分布为 .
且满足，则的相关系数为 （ ）
（A）0. （B）. （C）. （D）.
（5）设随机变量且相互独立，根据切比
雪夫不等式有（ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为的泊松分布，而进入
超市的每一个人购买种商品的概率为，若顾客购买商品是相互独立的，
求一天中恰有个顾客购买种商品的概率。

四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）服从正态分布，平均成绩（即参
数之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生
的成绩，以表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）的分布列. （2）
和.

五、（10分）设在由直线及曲线所围成的区域
上服从均匀分布，
y
0
1
e2
x
y=1/x
D
（1）求边缘密度和，并说明与是否独立.
（2）求.

六、（8分）二维随机变量在以为顶点的三角形区
y
x+y=z
1
0
–1
x
D1
域上服从均匀分布，求的概率密度。

七、（9分）已知分子运动的速度具有概率密度
为的简单随
机样本
（1） 求未知参数的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为的无偏估计。

八、（5分）一工人负责台同样机床的维修，这台机床自左到右排在一条直
线上，相邻两台机床的距离为（米）。假设每台机床发生故障的概率均为
，且相互独立，若表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走
的路程，求.

《概率论与数理统计》期末试题（3）

一、填空题（每小题3分，共15分）
（1） 设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与互不相容，且，，则事件、、中仅发生或仅不发生的概率为
（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为_______.
（3） 设随机变量的概率密度为 现对进行四次独立重复观察，用表示观察值不大于0.5的次数，则.
（4） 设二维离散型随机变量的分布列为

若，则.
（5） 设是总体的样本，是样本方差，若，则______8______.
（注：, , , ）
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
（1）设、、为三个事件，且，则有 （ C ）
（A） （B）
（C） （D）
（2）设随机变量的概率密度为

且，则在下列各组数中应取 （ B ）
（A） （B）
（C）. （D）
（3）设随机变量与相互独立，其概率分布分别为

则有 （ C）
（A） （B）
（C） （D）
（4）对任意随机变量，若存在，则等于 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（5）设为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的置信度为的置信区间为 （ D ）
（A）
（B）
（C）
（D）
三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的
箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都
是一等品，求丢失的也是一等品的概率。

四、（10分）设随机变量的概率密度为

求（1）常数； （2）的分布函数； （3）

五、（12分）设的概率密度为

求（1）边缘概率密度； （2）；
（3）的概率密度.

六、（10分）（1）设，且与独立，求；
（2）设且与独立，求.
七、（10分）设总体的概率密度为

试用来自总体的样本，求未知参数的矩估计和极大似然估计.

《概率论与数理统计》期末试题（1）
一、 填空题
1. 0.9
2.
3.
4. 2
5.
二、单项选择题
1~5 D A B A A
三、解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’
‘任取一产品确是合格品’
则（1）

（2） .
四、解：的概率分布为

即
的分布函数为

.
五、
1
D
0
1
z
x
y
x+y=1
x+y=z
D1
解： （1）的概率密度为

（2）利用公式
其中
当 或时
x
z
z=x
时
故的概率密度为

的分布函数为

或利用分布函数法

六、解： （1）

x
y
0
1
2
；
（2）

.

七、解：（1）的置信度为下的置信区间为

所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）
（2）的拒绝域为.
，
因为 ，所以接受.
《概率论与数理统计》期末试题（2）答案
一、
1.
4.
5. ().
二、 B C D A D

三、解：设‘一天中恰有个顾客购买种商品’
‘一天中有个顾客进入超市’
则

.
四、解：（1），其中

由
得 ，即，故
所以 .
故的分布列为
（2），.
五、解：区域的面积

的概率密度为
（1）

（2）因，所以不独立.
（3）
.
六、解1：的概率密度为
设的概率密度为，则

1
–1
zy
0
y
当 或时
当 时
所以的密度为

解2：分布函数法，设的分布函数为，则

故的密度为
七、解：（1）先求矩估计

再求极大似然估计

得的极大似然估计 ，
（2）对矩估计
所以矩估计 是的无偏估计.
八、解：设从左到右的顺序将机床编号为
为已经修完的机器编号，表示将要去修的机床号码，则

于是

《概率论与数理统计》期末试题（3）
一、 填空题
1.
2.
3.
4.
5.8
二、单项选择题
C B C C D
三、解：设‘从箱中任取2件都是一等品’
‘丢失等号’ .
则
；
所求概率为.
四、解：（1）
∴

（2）的分布函数为

（3）.
五、解：（1）

x+y=1
y
y=x
x
0
（2）
.
（3）

zy
z=x
x
0
z=2x
当 时
时
所以

六、解： （1）

；
1
1
y
x
0
（2）因相互独立，所以

，所以.
七、解：先求矩估计

故的矩估计为
再求极大似然估计

所以的极大似然估计为
.