2011年山东高考数学理科真题及解析答案.doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理 科 数 学
参考公式：
柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.
圆柱的侧面积公式：，其中c是圆柱的底面周长，是圆柱的母线长.
球的体积公式V=, 其中是球的半径.
球的表面积公式：,其中是球的半径.
用最小二乘法求线性回归方程系数公式 .
如果事件互斥，那么.
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合,则
（A）[1,2) （B）[1,2] （C）( 2,3] （D）[2,3]
（2）复数(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（3）若点在函数的图象上，则的值为
（A）0 （B） （C）1 （D）
(4)不等式的解集是
（A）[-5,7] (B)[-4,6] (C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D）(-∞，-4]∪[6,+∞)
（5）对于函数，“的图像关于轴对称”是“是奇函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（6）若函数 ()在区间上单调递增，在区间上单调递减，则
（A）3 （B）2 （C） （D）
（7）某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表
广 告 费 用（万元）
4
2
3
5
销 售 额（万元）
49
26
39
54
根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
（A）63.6万元 （B）65.5万元 （C）67.7万元 （D）72.0万元
（8）已知双曲线（）的两条渐近线均和圆C：相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为
（A） （B） （C） （D）
（9）函数的图象大致是

（A） （B） （C） （D）
（10）已知是最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图像在区间[0,6]上与轴的交点个数为
正（主）视图
俯视图
（A）6 （B）7 （C）8 （D）9
（11）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，
其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；
③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
（12）设是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 ()，
()，且,则称调和分割 ,已知点 ()调和分割点，则下面说法正确的是
(A)C可能是线段AB的中点 (B)D可能是线段AB的中点
(C)C，D可能同时在线段AB上 (D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
（13）执行右图所示的程序框图，输入，则输出的的值是 .
(14)若展开式的常数项为60，则常数的值为 .
（15）设函数（x＞0），观察：

……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当且时， .
（16）已知函数当，时，函数的零点 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分.
（17）（本小题满分12分）
在中，内角，，的对边分别为，，.已知.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若 ，求的面积.

（18）（本小题满分12分）
红队队员甲、乙、丙与蓝队队员、、进行围棋比赛，甲对，乙对，丙对各一盘，已知甲胜，乙胜，丙胜的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立.
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.
A
B
C
D
E
F
G
M
（19）（本小题满分12分）
在如图所 示的几何体中，四边形为平行四边形，
，⊥平面，∥，
∥，∥,.
（Ⅰ)若是线段的中点，求证：∥平面;
（Ⅱ）若,求二面角的大小．

（20）（本小题满分12分）
等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.

（21）（本小题满分12分）
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元.
（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.

（22）（本小题满分14分）
已知直线与椭圆: 交于,两不同点，且的面积S=,其中为坐标原点。
（Ⅰ）证明和均为定值
（Ⅱ）设线段的中点为，求的最大值；
（Ⅲ）椭圆上是否存在点, , ，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.

2011年普通高等学校全国统一考试（山东卷）
理科数学解析
一、 选择题：
（1）
解析：，，答案应选A。
（2）
解析：对应的点为在第四象限，答案应选D.
（3）
解析：，，，答案应选D.
（4）
解析：当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为，不成立；当时，原不等式可化为，解得.综上可知，或，答案应选D。
另解1：可以作出函数的图象，令可得或，观察图像可得，或可使成立，答案应选D。
另解2：利用绝对值的几何意义，表示实数轴上的点到点与的距离之和，要使点到点与的距离之和等于10，只需或，于是当，或可使成立，答案应选D。
（5）
解析：若是奇函数，则的图象关于轴对称；反之不成立，比如偶函数，满足的图象关于轴对称，但不一定是奇函数，答案应选B。
（6）
解析：函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则，即，答案应选C。
另解1：令得函数在为增函数，同理可得函数在为减函数，则当时符合题意，即，答案应选C。
另解2：由题意可知当时，函数取得极大值，则，即，即，结合选择项即可得答案应选C。
另解3：由题意可知当时，函数取得最大值，
则，，结合选择项即可得答案应选C。

（7）
解析：由题意可知，则，答案应选B。
（8）
解析：圆，而，则，答案应选A。
（9）
解析：函数为奇函数，且，令得，由于函数为周期函数，而当时，，当时，，则答案应选C。
（10）
解析：当时，则，而是上最小正周期为2的周期函数，则，，答案应选B。
(11)
解析：①②③均是正确的，只需①底面是等腰直角三角形的直四棱柱，
让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；②直四棱柱的两个侧面
是正方形或一正四棱柱平躺；③圆柱平躺即可使得三个命题为真，
答案选A。
（12）
解析：根据题意可知，若C或D是线段AB的中点，则，或，矛盾；
若C,D可能同时在线段AB上，则则矛盾，若C,D同时在线段AB的延长线上，则，，故C,D不可能同时在线段AB的延长线上，答案选D。
二、 填空题：
（13）
解析：
。
答案应填：68.
（14）
解析：的展开式
，令
，答案应填：4.
（15）
解析：，，
，以此类推可得。
答案应填：。
16.
解析：根据，
，而函数在上连续，单调递增，故函数的零点在区间内，故。答案应填：2.
三、 解答题：
17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在中，由及正弦定理可得
，
即
则
，而，则，
即。
另解1：在中，由可得

由余弦定理可得，
整理可得，由正弦定理可得。
另解2：利用教材习题结论解题，在中有结论
.
由可得
即，则，
由正弦定理可得。
（Ⅱ）由及可得
则，，
S，即。
（18）
解析：（Ⅰ）记甲对A、乙对B、丙对C各一盘中甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件,则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件，根据各盘比赛结果相互独立可得
故红队至少两名队员获胜的概率为

.
（Ⅱ）依题意可知，
；
;
;
.故的分布列为

0
1
2
3
P
0.1
0.35
0.4
0.15
故.
19.
几何法：
证明：（Ⅰ），可知延长交于点，而，，
则平面平面，即平面平面，
于是三线共点，，若是线段的中点，而,
则，四边形为平行四边形，则，又平面，
所以平面；
（Ⅱ）由平面，作，则平面，作，连接，则，于是为二面角的平面角。
若，设，则，，为的中点，，，
，在中,
则，即二面角的大小为。
坐标法：（Ⅰ）证明：由四边形为平行四边形， ，平面，可得以点为坐标原点，所在直线分别为建立直角坐标系，
设，则,.
由可得，
由可得,
，则，，而平面，
所以平面；
（Ⅱ）（Ⅱ）若，设，则，
,则,,
,设分别为平面与平面的法向量。
则，令，则，；
，令，则，。
于是，则，
即二面角的大小为。
20.
解析：（Ⅰ）由题意可知，公比，
通项公式为；
（Ⅱ）
当时，

当时

故
另解：令，即

则

故
.
21.
解析：（Ⅰ）由题意可知，即，则.
容器的建造费用为，
即，定义域为.
（Ⅱ），令，得.
令即，
（1）当时，当，，函数为减函数，当时有最小值；
（2）当时，当，；当时，
此时当时有最小值。
22.
解析：（Ⅰ）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则，
由在椭圆上，则，而，则
于是，.
当直线的斜率存在，设直线为，代入可得
，即，，即

，
则，满足
，
，
综上可知，.
（Ⅱ））当直线的斜率不存在时，由（Ⅰ）知
当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）知，
，

，当且仅当，即时等号成立，综上可知的最大值为。
（Ⅲ）假设椭圆上存在三点，使得，
由（Ⅰ）知，
.
解得,，
因此只能从中选取，只能从中选取，
因此只能从中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与相矛盾，
故椭圆上不存在三点，使得。