初中三角函数知识点题型总结课后练习196.pdf

锐角三角函数知识点锐角三角函数知识点1 1、勾股定理：直角三角形两直角边、勾股定理：直角三角形两直角边、平方和等于斜边平方和等于斜边平方。平方。abc222cba2 2、如下图，在、如下图，在 RtABCRtABC 中，中，CC 为直角，则为直角，则AA 锐角三角函数为锐角三角函数为(A(A 可换成可换成B)B)：定定 义义表达式表达式取值范围取值范围关关 系系正正弦弦斜边的对边AAsincaA sin 1sin0A(A(A 为锐角为锐角)余余弦弦斜边的邻边AAcoscbA cos 1cos0A(A(A 为锐角为锐角)BAcossinBAsincos1cossin22AA正正切切的邻边的对边AtanAAbaA tan0tanA(A(A 为锐角为锐角)余余切切的对边的邻边AAAcotabA cot0cotA(A(A 为锐角为锐角)BAcottan BAtancot(倒数倒数)AAcot1tan1cottan AA3 3、任任意意锐锐角角正正弦弦值值等等于于它它余余角角余余弦弦值值；任任意意锐锐角角余余弦弦值值等等于于它它余余角角正正弦弦值值。BAcossinBAsincos)90cos(sinAA)90sin(cosAA4 4、任任意意锐锐角角正正切切值值等等于于它它余余角角余余切切值值；任任意意锐锐角角余余切切值值等等于于它它余余角角正正切切值值。BAcottanBAtancot)90cot(tanAA)90tan(cotAA5 5、00、3030、4545、6060、9090特殊角三角函数值特殊角三角函数值(重要重要)三角函数三角函数003030454560609090sin0 02122231 1cos1 12322210 0tan0 0331 13不存在不存在cot不存在不存在31 1330 0 A90B90得由BA对边邻边斜边ACBbac A90B90得由BA 锐角三角函数题型训练锐角三角函数题型训练类型一：直角三角形求值类型一：直角三角形求值1已知 RtABC 中，求 AC、AB 和 cosB,12,43tan,90BCAC2已知：如图，O 半径 OA16cm，OCAB 于 C 点，43sinAOC求：AB 及 OC 长3已知：O 中，OCAB 于 C 点，AB16cm，53sinAOC(1)求O 半径 OA 长及弦心距 OC；(2)求 cosAOC 及 tanAOC4.已知是锐角，求，值A178sinAAcosAtan类型二类型二.利用角度转化求值：利用角度转化求值：1已知：如图，RtABC 中，C90D 是 AC 边上一点，DEAB 于 E 点DEAE12求：sinB、cosB、tanB2.如图 4，沿折叠矩形纸片，使点落在边点处已知，,则AEABCDDBCF8AB 10BC 值为()tanEFC 344335453.如图 6，在等腰直角三角形中，为上一点，若，则ABC90C6AC DAC1tan5DBA长为()A B C D AD2212 24.如图 6，在 RtABC 中，C=90，AC=8，A 平分线AD=求B 度数及边 BC、AB 长.3316 A D E C B F 第 18 题图 D A B C 类型三类型三.化斜三角形为直角三角形化斜三角形为直角三角形例例 1 （2012安徽）如图，在ABC 中，A=30，B=45，AC=2，求 AB 长3例例 2已知：如图，ABC 中，AC12cm，AB16cm，31sin A(1)求 AB 边上高 CD；(2)求ABC 面积 S；(3)求 tanB例例 3已知：如图，在ABC 中，BAC120，AB10，AC5求：sinABC 值对应训练对应训练1（2012重庆）如图，在 RtABC 中，BAC=90，点 D 在 BC 边上，且ABD 是等边三角形若 AB=2，求ABC 周长（结果保留根号）2已知：如图，ABC 中，AB9，BC6，ABC 面积等于 9，求 sinB类型四：类型四：利用网格构造直角三角形利用网格构造直角三角形例例 1 （2012内江）如图所示，ABC 顶点是正方形网格格点，则 sinA 值为（）A B C D125510102 55对应练习：对应练习：1如图，ABC 顶点都在方格纸格点上，则 sin A=_.特殊角三角函数值特殊角三角函数值例例 1求下列各式值=.计算：31+(21)033tan30tan45=30cos245sin60tan2CBA=030tan2345sin60cos22160tan45sin230cos2tan45sin301 cos60在中，若，都是锐角，求度数ABC0)22(sin21cos2BABA，C例例 2求适合下列条件锐角(1)(2)(3)(4)21cos33tan222sin33)16cos(6o（5）已知为锐角，且，求值3)30tan(0tan（）在中，若，都是锐角，求度数ABC0)22(sin21cos2BABA，C例例 3.三角函数增减性1已知A 为锐角，且 sin A 21，那么A 取值范围是A.0 A 30 B.30 A 60 C.60 A 90 D.30 A 902.已知 A 为锐角，且，则 （）030sincosAA.0 A 60 B.30 A 60 C.60 A 90 D.30 A 90例例 4.三角函数在几何中应用三角函数在几何中应用1已知：如图，在菱形 ABCD 中，DEAB 于 E，BE16cm，1312sin A求此菱形周长2已知：如图，RtABC 中，C90，作DAC30，AD 交 CB 于 D 点，求：3 BCAC(1)BAD；(2)sinBAD、cosBAD 和 tanBAD3.已知：如图ABC 中，D 为 BC 中点，且BAD90，求：31tanBsinCAD、cosCAD、tanCAD 解直角三角形：解直角三角形：1在解直角三角形过程中，一般要用主要关系如下(如图所示)：在 RtABC 中，C90，ACb，BCa，ABc，三边之间等量关系：_ 两锐角之间关系：_ 边与角之间关系：_；_；_；_BAcossinBAsincosBAtan1tanBAtantan1 直角三角形中成比例线段(如图所示)在 RtABC 中，C90，CDAB 于 DCD2_；AC2_；BC2_；ACBC_类型一类型一例 1在 RtABC 中，C90(1)已知：a35，求A、B，b；(2)已知：，求A、B，c；235c32a2b(3)已知：，求 a、b；(4)已知：求 a、c；32sinA6c,9,23tanbB(5)已知：A60，ABC 面积求 a、b、c 及B,312S例 2已知：如图，ABC 中，A30，B60，AC10cm求 AB 及 BC 长例 3已知：如图，RtABC 中，D90，B45，ACD60BC10cm求 AD长例 4已知：如图，ABC 中，A30，B135，AC10cm求 AB 及 BC 长类型二：解直角三角形实际应用类型二：解直角三角形实际应用仰角与俯角：仰角与俯角：例例 1（2012福州）如图，从热气球 C 处测得地面 A、B 两点俯角分别是 30、45，如果此时热气球 C 处高度 CD 为 100 米，点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点距离是（）A200 米B200米C220米D100（）米例例 2已知：如图，在两面墙之间有一个底端在 A 点梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子顶端在 B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子顶端在 D 点已知BAC60，DAE45点 D 到地面垂直距离，求点 B 到地面垂直距离 BCm23DE例例 3（昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山高 BD=30m从水平面上一点 C 测得风力发电装置顶端 A 仰角DCA=60，测得山顶 B 仰角DCB=30，求风力发电装置高 AB 长例例 4.如图，小聪用一块有一个锐角为直角三角板测量树高，已知小聪和树都30与地面垂直，且相距米，小聪身高 AB 为 1.7 米，求这棵树高度.3 3例 5已知：如图，河旁有一座小山，从山顶 A 处测得河对岸点 C 俯角为 30，测得岸边点 D 俯角为45，又知河宽 CD 为 50m现需从山顶 A 到河对岸点 C 拉一条笔直缆绳 AC，求山高度及缆绳 AC 长(答案可带根号)例例 5（2012泰安）如图，为测量某物体 AB 高度，在 D 点测得 A 点仰角为 30，朝物体 AB 方向前进 20米，到达点 C，再次测得点 A 仰角为 60，则物体 AB 高度为（）A10米B10 米C20米D米例例 6（2012益阳）超速行驶是引发交通事故主要原因之一上周末，小明和三位同学尝试用自己所学知ABCDE识检测车速如图，观测点设在 A 处，离益阳大道距离（AC）为 30 米这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 B 处行驶到 C 处所用时间为 8 秒，BAC=75（1）求 B、C 两点距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道 60 千米/小时限制速度？（计算时距离精确到 1 米，参考数据：sin750.9659，cos750.2588，tan753.732，1.732，60 千米/小时316.7 米/秒）类型四类型四.坡度与坡角坡度与坡角例（2012广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 坡比是 1：，堤坝高 BC=50m，则应水坡面 AB 3长度是（）A100m B100m C150m D50m 33类型五类型五.方位角方位角1已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔 M 在北偏西 30，货轮以每小时 20 海里速度航行，1 小时后到达 B 处，测得灯塔 M 在北偏西 45，问该货轮继续向北航行时，与灯塔 M 之间最短距离是多少?(精确到 0.1 海里，)732.13 综合题：综合题：三角函数与四边形：三角函数与四边形：（西城二模）1如图，四边形 ABCD 中，BAD=135，BCD=90，AB=BC=2，tanBDC=63 (1)求 BD 长；(2)求AD 长（2011 东一）2如图，在平行四边形ABCD中，过点 A 分别作 AEBC 于点 E，AFCD 于点 F（1）求证：BAE=DAF；（2）若 AE=4，AF=，求 CF 2453sin5BAE长三角函数与圆：三角函数与圆：CBA1 如图，直径为 10 A 经过点和点，与 x 轴正半轴交于点 D，B 是 y 轴右侧圆弧上一点，(0 5)C，(0 0)O，则 cosOBC 值为（）A B C D12323545（延庆）19.已知：在O 中,AB 是直径，CB 是O 切线，连接 AC 与O 交于点 D,(1)求证：AOD=2C(2)若 AD=8，tanC=，求O 半径。34（2013 朝阳期末）21.如图，DE 是O 直径，CE 与O 相切，E 为切点.连接 CD 交O 于点 B，在 EC 上取一个点 F，使 EF=BF.（1）求证:BF 是O 切线;（2）若,DE=9，求 BF 长54Ccos作业：（昌平）1已知，则锐角 A 度数是 21sinAA B C D 75604530（西城北）2在 RtABC 中，C90，若 BC1，AB=，则 tanA 值为5A B C D2 552 5512(房山)3在ABC 中，C=90，sinA=，那么 tanA 值等于（）.53A B.C.D.35453443(大兴)4.若，则锐角 .sin32(石景山)1如图，在 RtABC 中，C90，BC3，AC=2，则 tanB 值是A B C D23322 552 1313（丰台）5将 放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则 tan 值是DBOACDCBAOyx图 8图 图CFDOBEA B2 C D2125552(大兴)5.ABC 在正方形网格纸中位置如图所示，则值是 sinA.B.C.D.35344345(通县)4如图，在直角三角形中，斜边长为，ABCABm40Bo则直角边长是（）BCAB C D sin40mocos40motan40motan40mo（通州期末）1如图，已知 P 是射线 OB 上任意一点，PMOA 于 M，且 OM:OP=4:5，则 cos 值等于（）A B C D34434535（西城）6如图，AB 为O 弦，半径 OCAB 于点 D，若 OB 长为 10，则 AB 长是（)A.20 B.16 C.12 D.83cos5BOD7.在 RtABC 中，C=90，如果 cosA=，那么 tanA 值是54 A B C D5335433411如图，在ABC 中，ACB=ADC=90，若 sinA=，则 cosBCD 值为 3513.计算：13计算.60tan45sin230cos245tan30tan345cos260sin213计算：22sin604cos 30+sin45tan60oooo14.如图，小聪用一块有一个锐角为直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地30面垂直，且相距米，小聪身高 AB 为 1.7 米，求这棵树高度.3 315已知在 RtABC 中，C90，a=，b=.解这个直角三角形64212DCBAABCDE图 1图 图OMPBA20.如图，在 RtABC 中，CAB=90，AD 是CAB 平分线，tanB=，求值21CDBD（延庆）19.已知：在O 中,AB 是直径，CB 是O 切线，连接 AC 与O 交于点 D,(3)求证：AOD=2C(4)若 AD=8，tanC=，求O 半径。34（延庆期末）19如图，某同学在楼房处测得荷塘一端A 处俯角为，荷塘另一端处、在B30DCB 同一条直线上，已知米，米，32AC 16CD 求荷塘宽为多少米？（结果保留根号）BD18.（6 分）如图，在ABC 中，点 O 在 AB 上，以 O 为圆心圆经过 A，C 两点，交 AB 于点 D，已知 2A+B=90 （1）求证：BC 是O 切线；（2）若 OA=6，BC=8，求 BD 长 （西城）15如图，在 RtABC 中，C=90，点 D 在 AC 边上若 DB=6，AD=CD，sinCBD=，求 AD1223长和 tanA 值来源:学|科|网18如图，一艘海轮位于灯塔 P 南偏东 45方向，距离灯塔 100 海里 A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔 P 北偏东 30方向上 B 处.（1）B 处距离灯塔 P 有多远？（2）圆形暗礁区域圆心位于 PB 延长线上，距离灯塔 200 海里 O 处已知圆形暗礁DBOACABCDD图 18图 图OCBA区域半径为 50 海里，进入圆形暗礁区域就有触礁危险请判断若海轮到达 B 处是否有触礁危险，并说明理由22已知，如图，在中，以 DC 为直径作半圆，交边 AC 于点 F，点 B 在 CD 延长线ADC90ADCOe上，连接 BF，交 AD 于点 E，2BEDC（1）求证：BF 是切线；Oe（2）若，求半径BFFC3AE Oe15如图，为了测量楼 AB 高度，小明在点 C 处测得楼 AB 顶端 A 仰角为 30，又向前走了 20 米后到达点 D，点 B、D、C 在同一条直线上，并在点 D 测得楼 AB 顶端 A 仰角为 60，求楼 AB 高14.（2009眉山中考）海船以 5 海里/小时速度向正东方向行驶，在 A 处看见灯塔 B 在海船北偏东 60方向，2 小时后船行驶到 C 处，发现此时灯塔 B 在海船北偏西 45 方向，求此时灯塔 B 到 C 处距离。15.（2009常德中考）如图，某人在 D 处测得山顶 C 仰角为 30o，向前走 200 米来到山脚 A 处，测得山坡 AC坡度为 i=10.5，求山高度（不计测角仪高度，31.73，结果保留整数）16.（2008广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内滑滑板倾角由 45 降为 30，已知原滑滑板 AB 长为 5 米，点 D、B、C 在同一水平地面上（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到 0.01）（2）若滑滑板正前方能有 3 米长空地就能保证安全，原滑滑板前方有 6 米长空地，像这样改造是DOACBFE否可行？说明理由。(参考数据：)21.414,31.732,62.44918.在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图 13 所示，某学生在河东岸点处观测到河对岸水边有一点，测得在北偏西方向上，沿河岸向北前行 20 米到达处，测得ACCA31B在北偏西方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河宽度CB45（参考数值：tan31，sin31）5321 图 13