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导数
一、导数的概率
设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即

注：1.函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。
2.在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。
3.是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率。
4.导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率。因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为。
5.导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。
6.在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成。
7.若极限不存在，则称函数在点处不可导。
8.若在可导，则曲线在点（）有切线存在，反之不然。若曲线在点（）有切线，函数在不一定可导，并且，若函数在不可导，曲线在点（）也可能有切线。
一般地，，其中为常数。特别地，。
如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即＝＝
函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝。所以函数在处的导数也记作。
注：1.如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导。
2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值。
3.求导函数时，只需将求导数式中的换成就可，即＝
4.由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是：
（1）.求函数的改变量。
（2）.求平均变化率。
（3）.取极限，得导数＝。
二.练习题
（一）、选择题
1．若函数在区间内可导，且则
的值为（ ）
A． B． C． D．
2．一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，
那么物体在秒末的瞬时速度是（ ）
A．米/秒 B．米/秒
C．米/秒 D．米/秒
3．函数的递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
4．,若,则的值等于（ ）
A． B．
C． D．
5．函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．必要非充分条件
6．函数在区间上的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
（二）、填空题
1．若，则的值为_________________；
2．曲线在点 处的切线倾斜角为__________；
3．函数的导数为_________________；
4．曲线在点处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；
5．函数的单调递增区间是___________________________。
（三）、解答题
1．求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程。

2．求函数的导数。

3．求函数在区间上的最大值与最小值。

4．已知函数，当时，有极大值；
（1）求的值；（2）求函数的极小值。

（一）、选择题
1．函数有（ ）
A．极大值，极小值
B．极大值，极小值
C．极大值，无极小值
D．极小值，无极大值
2．若，则（ ）
A． B．
C． D．
3．曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．和 D．和
4．与是定义在R上的两个可导函数，若,满足,则
与满足（ ）
A． B．为常数函数
C． D．为常数函数
5．函数单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．

（二）、填空题
1．函数在区间上的最大值是 。
2．函数的图像在处的切线在x轴上的截距为________________。
3．函数的单调增区间为 ，单调减区间为___________________。
4．若在增函数，则的关系式为是 。
5．函数在时有极值，那么的值分别为________。
（三）、解答题
1． 已知曲线与在处的切线互相垂直，求的值。

2．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去
四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长
为多少时，盒子容积最大？

3． 已知的图象经过点，且在处的切线方程是
（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间。

4．平面向量，若存在不同时为的实数和，使
且，试确定函数的单调区间。

（一）、选择题
1．若,则等于（ ）
A． B． C． D．
2．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（ ）
3．已知函数在上是单调函数,则实数的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）
A． B.
C. D.
5．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，
则函数在开区间内有极小值点（　 ）
A．个 B．个 C．个 D．个

（二）、填空题
1．若函数在处有极大值，则常数的值为_________；
2．函数的单调增区间为 。
3．设函数，若为奇函数，则=__________
4．设，当时，恒成立，则实数的
取值范围为 。
5．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是　　
三、解答题
1．求函数的导数。

2．求函数的值域。

3．已知函数在与时都取得极值
(1)求的值与函数的单调区间。
(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围。

4．已知,，是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）的最小值是，若存在，求出，若不存在，说明理由.

三.导数综合应用
1.已知函数的图象如图所示．
（I）求的值；
（II）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；
（III）在（II）的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．

2．已知函数．
（I）求函数的单调区间；
（II）函数的图象的在处切线的斜率为若函数在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．

3．已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．
（I）求实数的取值范围；
（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；
（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：．

4．已知常数，为自然对数的底数，函数，．
（I）写出的单调递增区间，并证明；
（II）讨论函数在区间上零点的个数．

5．已知函数．
（I）当时，求函数的最大值；
（II）若函数没有零点，求实数的取值范围；

6．已知是函数的一个极值点（）．
（I）求实数的值；
（II）求函数在的最大值和最小值．

7．已知函数
（I）当a=18时，求函数的单调区间；
（II）求函数在区间上的最小值．

8．已知函数在上不具有单调性．
（I）求实数的取值范围；
（II）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等式恒成立．

9．已知函数
（I）讨论函数的单调性；
（II）证明：若

10．已知函数．
（I）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；
（II）若，设，求证：当时，不等式成立．

11．设曲线：（），表示导函数．
（I）求函数的极值；
（II）对于曲线上的不同两点，，，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于．

12．定义，
（I）令函数，写出函数的定义域；
（II）令函数的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在处有斜率为－8的切线，求实数的取值范围；
（III）当且时，求证．

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