内蒙古2021-2022学年高三上学期第四次阶段性考试数学文科试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共12题）
1、 已知复数 满足 ， 是虚数单位，则 （ ）
A ． B ． C ． D ．
2、 不等式 的解集是（ ）
A ． B ． C ． D ．
3、 已知等比数列 ， ，则 等于（ ）
A ． 35 B ． 63 C ． D ． 189
4、 已知函数 g(x) ＝ 1 － 2x ， f[g(x)] ＝ (x≠0) ，则 f( ) 等于 ( )
A ． 1 B ． 3 C ． 15 D ． 30
5、 若函数 有极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A ． B ． C ． D ．
6、 若 ， ，则 的值是（ ）
A ． B ． C ． D ．
7、 设函数 满足对 ，都有 ，且在 上单调递增， ， ，则函数 的大致图象是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
8、 已知 ，且 ，则 （ ）
A ． B ．
C ． D ．
9、 设 （ e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
10、 如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为 ，则称该图形是 “ 和谐图形 ”. 已知其中四个三角形上的数字之和为 ，现从 ， ， ， ， 这五个数中任取两个数标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为 “ 和谐图形 ” 的概率为（    ）

A ． B ． C ． D ．
11、 定义域为 的函数 满足 ，且 的导函数 ，则满足 的 的集合为
A ． B ． C ． D ．
12、 已知函数 在 上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为 ，则 的值不可能是（ ）
A ． B ． C ． 1 D ．
二、填空题（共4题）
1、 若平面向量 ，则 在 上的投影为 ___________.
2、 已知函数 若 的图像在点 处的切线的倾斜角为 ， a 的值为 _____
3、 若 x ， y 满足约束条件 ，则 的最小值为 ____________.
4、 已知 是定义在 上的减函数，若对于任意的 ， ，均有 ，且 （ 2 ） ，则不等式 的解集为 __ ．
三、解答题（共6题）
1、 函数 ，图象如图所示， 为常数，

（ 1 ）求函数 f （ x ）的解析式；
（ 2 ）求 的值 .
2、 已知等差数列 的公差不为零， ，且 成等比数列 .
（ 1 ）求 的通项公式
（ 2 ）求 .
3、 如图所示，在 中，内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ．满足 ，且 ， D 在 AC 上， ．

（ 1 ）若 ，求 ；
（ 2 ）若 ，求 AC 的长．
4、 某高中社会实践小组设计了一个研究性学习项目，研究学习成绩（以单科为准）与手机使用（电子产品）的相关性，他们从全校随机抽样调查了 名学生，其中有四成学生经常使用手机 . 名同学的物理成绩（百分制）的茎叶图如图所示 . 小组约定物理成绩低于 分为一般， 分以上为良好 .

（ 1 ）根据以上资料完成以下 列联表，并判断有多大的把握认为 “ 物理成绩一般与经常使用手机有关系 ”.

物理成绩一般
物理成绩良好
合计
不使用手机

经常使用手机

合计

（ 2 ）现将 个成绩分为 ， ， ， ， 共 组，补全频率分布直方图，并依据频率分布直方图计算这 名学生的物理平均成绩的估计值 .
（ 3 ）从这 名学生成绩高于 分的人中随机选取 人，求至少有一人不使用手机的概率 .
附表及公式： ， .

5、 已知函数 .
（ 1 ）当 时，求函数 的最值
（ 2 ）若函数 在区间 上是减函数，求实数 a 的取值范围 .
6、 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数 ). 以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（ 1 ）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（ 2 ）求曲线 上的动点到直线 距离的最大值 .

============参考答案============
一、选择题
1、 B
【分析】
由复数的乘法运算得出答案 .
【详解】

故选： B
2、 C
【分析】
将分式不等式转化为 ，解不等式组即可求出结果 .
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，解得 或 .
故选： C
3、 D
【分析】
结合等比数列的通项公式计算出 ，进而可以求出结果 .
【详解】
由题意得 ，所以 .
故选： D
4、 C
【详解】
令 1 － 2x ＝ ，得 x ＝ ， ∴f( ) ＝ ＝ 15 ，故选 C.
5、 A
【分析】
函数有极值点，说明导数有两个零点，先求导，再由 求解即可
【详解】
由 ，
因为函数有极值点，所以导数有两个实数根，对应的 一定成立，即 ，解得
故选： A
【点睛】
本题考查函数存在极值点的条件，属于基础题
6、 A
【分析】
利用对数与指数的互化，指数的运算性质可求得结果 .
【详解】
因为 ，则 ，所以， ，故 .
故选： A.
7、 A
【分析】
判断 的奇偶性排除 BD ，再由当 时， 得出答案 .
【详解】
令 ，
则函数 为偶函数，故排除 BD
当 时， ，则 ，故排除 C
故选： A
【点睛】
关键点睛：本题关键是采用排除法，由奇偶性排除 BD ，再由当 时， 排除 C.
8、 D
【分析】
利用二倍角化简已知条件得 ，再利用同角之间的关系可求得结果 .
【详解】
由 ，得
利用二倍角公式得：
又 ， ，
利用同角之间关系得： ，解得：
故选： D
9、 C
【分析】
利用对数函数单调性并借助 “ 媒介 ” 数即可得解 .
【详解】
函数 都是 上的增函数， ，
， ，
所以 .
故选： C
10、 B
【分析】
首先理解题意，并通过列举，利用古典概型概率公式求解 .
【详解】
由条件可知，要使该图形为 “ 和谐图形 ” ，则从从 ， ， ， ， 这五个数中任取两个数，这两个数的和是 7 ，任选两个数包含（ 1,2 ）（ 1,3 ）（ 1,4 ）（ 1,5 ）（ 2,3 ）（ 2,4 ）（ 2,5 ）（ 3,4 ）（ 3,5 ）（ 4,5 ），共有 10 种情况，其中和为 7 的有（ 2,5 ），（ 3,4 ）两种情况，所以恰好使该图形为 “ 和谐图形 ” 的概率 .
故选： B
11、 B
【分析】
利用 2 f ( x )< x ＋ 1 构造函数 g ( x ) ＝ 2 f ( x ) － x － 1 ，进而可得 g ′( x ) ＝ 2 f ′( x ) － 1>0 ．得出 g ( x ) 的单调性结合 g (1) ＝ 0 即可解出．
【详解】
令 g ( x ) ＝ 2 f ( x ) － x － 1.
因为 f ′( x )> ，
所以 g ′( x ) ＝ 2 f ′( x ) － 1>0.
所以 g ( x ) 为单调增函数．
因为 f (1) ＝ 1 ，所以 g (1) ＝ 2 f (1) － 1 － 1 ＝ 0.
所以当 x <1 时， g ( x )<0 ，即 2 f ( x )< x ＋ 1.
故选 B.
【点睛】
本题主要考察导数的运算以及构造函数利用其单调性解不等式．属于中档题．
12、 B
【分析】
先根据一条对称轴方程为 可得 ，再由单调区间的长度小于等于半周期，解不等式即可得到答案；
【详解】
由题意得：

故选： B.
二、填空题
1、
【分析】
根据向量投影的公式，代入数据，即可得答案 .
【详解】
在 上的投影为
故答案为：
2、
【分析】
先求函数的导函数，将 代入，再结合导数的几何意义即可求解
【详解】
， ，

故答案为：
【点睛】
本题考查导数的几何意义，属于基础题
3、 1
【分析】
画出约束条件表示的平面区域，借助目标函数的几何意义即可得解 .
【详解】
x ， y 满足的约束条件 表示的平面区域如图中阴影 △ ABC ：

目标函数 ，即 ，表示斜率为 -1 ，纵截距为 z 的平行直线系，
作出直线 l 0 ： x + y =0 ，平移直线 l 0 使其过点 B 时的直线纵截距最小，即 z 最小，
由 得点 B (1 ， 0) ，则 .
故答案为： 1
4、
【分析】
根据已知可求得 ＝ 2 ，进而将不等式转化为 ，结合函数的定义域及单调性可得关于 x 的不等式组，从而得解．
【详解】
根据 ， （ 2 ） ，
可得 （ 2 ） （ 2 ） ，
由 ，得 ，可化为 ，
由 是定义在 上的减函数，得 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
三、解答题
1、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）根据图象的最高点坐标，最高点横坐标与零点距离等求出 ，即可得解；
（ 2 ）利用（ 1 ）的解析式代入求值即可得解．
【详解】
解：（ 1 ）由图象可知 ，并且 ，所以 ，
又 ，即 ，
可得 ， ，可得 ， ，
又因为： ，所以可得 ，所以 ；
故答案为：
（ 2 ）由（ 1 ）得到 ．
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角函数的图象以及性质，考查了学生综合分析、数形结合、数学运算能力，属于基础题．
2、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）利用等比中项的定义以及等差数列的通项公式求出公差进而可以求出结果；
（ 2 ）利用等差数列的求和公式即可求出结果 .
【详解】
（ 1 ）由题意得 ，即 ，因为公差不为零，所以 ，所以 的通项公式为 ；
（ 2 ）由（ 1 ）得

.
3、 （ 1 ） ；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）根据二倍角公式与正弦定理、余弦定理化简可得 ，再根据正弦定理求解即可
（ 2 ）设 ，再在 中利用余弦定理求解 AC 的长即可
【详解】
（ 1 ）由题， ，
故 ，由正弦定理化简整理可得 ，
由余弦定理 ， 又 ，故 ，又 ，故 为正三角形，故 ，在 中， ，故
（ 2 ）由（ 1 ） 为正三角形，设 ，则 ，在 中，由余弦定理 ，解得 ，故
【点睛】
本题主要考查了二倍角公式结合正余弦定理求解平面几何中的问题，需要根据题意在合适的三角形中用正余弦定理求解，属于中档题
4、 （ 1 ）列联表见解析，有 的把握；（ 2 ）直方图见解析， ；（ 3 ） .
【分析】
（ 1 ）由茎叶图计数可得列联表中数据．然后计算 ，结合对比值可得；
（ 2 ）同样由茎叶图计数求出各组频率，可补全频率分布直方图，每组取中间点数值乘以频率相加得平均估计值；
（ 3 ）高于 分经常使用手机的有 人，记为 ， ，不使用手机的有 人，记为 ， ， ， ， ，用列举法写出任选 2 人的所有基本事件，并得出至少有一人不使用手机的基本事件，然后可计算出概率．
【详解】
解：（ 1 ）

物理成绩一般
物理成绩良好
合计
不使用手机

经常使用手机

合计

，
有 的把握认为 “ 物理成绩一般与经常使用手机有关系 ”.
（ 2 ）
设 名学生物理平均成绩估计值为
.
（ 3 ）高于 分经常使用手机的有 人，分别设为 ，
不使用手机的有 人，分别设为 ， ， ， ，
高于 分人中随机抽取 人共有： ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ， ， ，共 21 种
则至少有一人不使用手机的概率为 ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查茎叶图，考查列联表与独立性检验，频率分布直方图，古典概型．正确认识茎叶图是解题关键．由茎叶图的数据进行计数得列联表，得频率，频率分布直方图，求古典概型概率一般用列举法写出所有的基本事件，并得出所求概率事件所包含的基本事件，从而计算出概率．
5、 （ 1 ）最大值是 0 ，无最小值；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）由 ，得到 ，然后利用导数法求解；
（ 2 ）求导 ，根据函数 在区间 上是减函数，由 在区间 上恒成立求解 .
【详解】
（ 1 ）当 时， ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 有最大值 0 ，无最小值；
（ 2 ） ，
因为函数 在区间 上是减函数，
所以 在区间 上恒成立，
令 ，则 ，
所以 在区间 上递减，
所以 ，
则 ，即 ，
即 ，解得 或 ，
所以实数 a 的取值范围 .
6、 （ 1 ） ： ， ： ；（ 2 ）最大值为 .
【分析】
（ 1 ）由直线 的参数方程 ( 为参数 ) ，消去参数 即可得到直线的普通方程；由曲线 的极坐标方程 ，转化为 ，然后利用 求解 .
由曲线 的参数方程 ( 为参数 ) ，设曲线 上的动点 ，利用点 到直线 的距离 ，结合三角函数的性质求解 .
【详解】
（ 1 ） 直线 的参数方程为 ( 为参数 ) ，
消去参数 ，得 .
曲线 的极坐标方程为 ，
,
即 ，
曲线 的直角坐标方程为 ，
即 .
曲线 的参数方程为 ( 为参数 ) ，
设曲线 上的动点 ，
则点 到直线 的距离 ，

曲线 上的点到直线 的距离的最大值为 .
【点睛】
思路点睛：本题第二问思路是根据曲线 的参数方程，设 ，再利用点到直线的距离，转化为三角函数而得解 .