2021年贵州省毕节市数学中考试题含详解.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共15题）
1、 下列各数中，为无理数的是（ ）
A ． B ． C ． 0 D ．
2、 如图所示的几何体，其左视图是（ ）

A ． B ． C ． D ．
3、 6 月 6 日是全国 “ 放鱼日 ” ．为促进渔业绿色发展，今年 “ 放鱼日 ” 当天，全国同步举办增殖放流 200 余场，放流各类水生生物苗种近 30 亿尾．数 30 亿用科学记数法表示为（    ）
A ． 0.3×10 9 B ． 3×10 8 C ． 3×10 9 D ． 30×10 8
4、 下列城市地铁标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
5、 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则 的度数为（ ）

A ． 70° B ． 75° C ． 80° D ． 85°
6、 下列运算正确的是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
7、 若正多边形的一个外角是 45° ，则该正多边形的内角和为（　　）
A ． 1080° B ． 900° C ． 720° D ． 540°
8、 九章算术中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱 50 ．若乙得到甲所有钱的 ，则乙也共有钱 50 ．甲、乙两人各带了多少钱 ? 设甲带了钱 ，乙带了钱 ，依题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
9、 如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD ．其中 ， ， ，斜坡 AB 长 8m ．则斜坡 CD 的长为（ ）

A ． B ． C ． D ．
10、 已知关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是（ ）
A ． B ． C ． 且 D ． 且
11、 下列说法正确的是（ ）
A ．了解市民知晓 “ 礼让行人 ” 交通新规的情况，适合全面调查
B ．一组数据 5 ， 5 ， 3 ， 4 ， 1 的中位数是 3
C ．甲、乙两人 9 次跳高成绩的方差分别为 甲 2 ， 乙 2 ，说明乙的成绩比甲稳定
D ． “ 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 ” 是随机事件
12、 某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧， ， 所在圆的圆心为 O ，点 C ， D 分别在 OA ， OB 上，已知消防车道半径 OC =12m ，消防车道宽 AC =4m ， ，则弯道外边缘 的长为（ ）

A ． B ． C ． D ．
13、 某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排 15 场比赛，则八年级班级的个数为（    ）
A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8
14、 如图，在矩形纸片 ABCD 中， ， ， M 是 BC 上的点，且 ．将矩形纸片 ABCD 沿过点 M 的直线折叠，使点 D 落在 AB 上的点 P 处，点 C 落在点 处，折痕为 MN ，则线段 PA 的长是（ ）

A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ．
15、 如图，已如抛物线 开口向上，与 轴的一个交点为 ，对称轴为直线 ．下列结论错误的是（ ）

A ． B ． C ． D ．
二、解答题（共7题）
1、 先化简，再求值： ，其中 ， ．
2、 取哪些正整数值时，不等式 与 都成立 ?
3、 学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长 （单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（ A ： ； B ： ； C ： ； D ： ），并绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（ 1 ）小明一共抽样调查了 ___________ 名同学；在扇形统计图中，表示 D 组的扇形圆心角的度数为 ___________ ；
（ 2 ）将条形统计图补充完整；
（ 3 ）小明所在学校共有 I400 名学生，估计该校最近一周大约有多少名学生睡眠时长不足 8 小时 ?
（ 4 ） A 组的四名学生是 2 名男生和 2 名女生，若从他们中任选 2 人了解最近一周睡眠时长不足 8 小时的原因，试求恰好选中 1 名男生和 I 名女生的概率．
4、 如图， 是 的外接圆，点 E 是 的内心， AE 的延长线交 BC 于点 F ，交 于点 D ，连接 BD ， BE ．
（ 1 ）求证： ；
（ 2 ）若 ， ，求 DB 的长．

5、 某中学计划暑假期间安排 2 名老师带领部分学生参加红色旅游．甲､乙两家旅行社的服务质量相同 , 且报价都是每人 1000 元 , 经协商 , 甲旅行社的优惠条件是 : 老师､学生都按八折收费 : 乙旅行社的优惠条件是 : 两位老师全额收费 , 学生都按七五折收费 ,
（ 1 ）设参加这次红色旅游的老师学生共有 名 , , （单位 : 元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用 , 求 , 关于 的函数解析式；
（ 2 ）该校选择哪家旅行社支付的旅游费用较少 ?
6、 如图 1 ，在 中， ， ， D 为 内一点，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到 AE ，连接 CE ， BD 的延长线与 CE 交于点 F ．
（ 1 ）求证： ， ；
（ 2 ）如图 2 ．连接 AF ， DC ，已知 ，判断 AF 与 DC 的位置关系，并说明理由．

7、 如图，抛物线 与 轴相交于 A ， B 两点，与 y 轴相交于点 C ，对称轴为直线 ，项点为 D ，点 B 的坐标为 ．
（ 1 ）填空：点 A 的坐标为 _________ ，点 D 的坐标为 _________ ，抛物线的解析式为 _________ ；
（ 2 ）当二次函数 的自变量：满足 时，函数 y 的最小值为 ，求 m 的值；
（ 3 ） P 是抛物线对称轴上一动点，是否存在点 P ，使 是以 AC 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

三、填空题（共5题）
1、 将直线 向下平移 2 个单位长度，平移后直线的解析式为 _________ ．
2、 学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高 1.7m 的小明从路灯灯泡 A 的正下方点 B 处，沿着平直的道路走 8m 到达点 D 处，测得影子 DE 长是 2m ，则路灯灯泡 A 离地面的高度 AB 为 _______________m ．

3、 如图，在菱形 ABCD 中， ， ， Q 为 AB 的中点， P 为对角线 BD 上的任意一点，则 的最小值为 _____________ ．

4、 如图，在平面直角坐标系中，点 在直线 上，过点 作 ，交 轴于点 ；过点 作 轴，交直线 于点 ；过点 作 ，交 轴于点 ；过点 作 轴，交直线 于点 ； … ；按此作法进行下去，则点 的坐标为 _____________ ．

5、 如图，直线 与反比例函数 的图象交于 A ， B 两点，与 x 轴交于点 C ，且 ，连接 OA ．已知 的面积为 12 ，则 k 的值为 _____________ ．

============参考答案============
一、选择题
1、 A
【分析】
根据无理数的定义逐项判断即可．
【详解】
A 、 是无理数，符合题意；
B 、 小数点后的 是无限循环的，则 是有理数，不符题意；
C 、 0 是整数，属于有理数，不符题意；
D 、 是有理数，不符题意 ,
故选： A ．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，熟记定义是解题关键．
2、 C
【详解】
试题分析：从左边看是一个矩形的左上角去掉了一个小矩形，故选 C ．
考点：简单组合体的三视图．
3、 C
【分析】
科学记数法的表示形式为 a ×10 n 的形式，其中 1≤| a | ＜ 10 ， n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解： 30 亿 =3000000000=3×10 9 ，
故选： C ．
【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a ×10 n 的形式，其中 1≤| a | ＜ 10 ， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
4、 D
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解
【详解】
A ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选： D ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，中心对称图形是要寻找对称中心．
5、 B
【分析】
利用三角形外角性质或者三角形内角和以及平行线的性质解题即可．
【详解】
解：如图

，
，
直尺上下两边互相平行，
，
故选： B ．
【点睛】
本题主要考查一副三角板多对应的角度以及平行线的性质，本题难度小，解法比较灵活．
6、 D
【分析】
直接计算后判断即可 .
【详解】
; ; ; . 故选 D
【点睛】
本题考查了零指数幂、算数平方根，负整数指数幂和幂的运算，关键是掌握概念和运算规则 .
7、 A
【分析】
先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和．
【详解】
解：正多边形的边数为： 360°÷45°=8 ，
则这个多边形是正八边形，
所以该正多边形的内角和为（ 8 2 ） ×180°=1080° ．
故选： A ．
【点睛】
本题主要考查了多边形的外角和定理及多边形的内角和公式，关键是掌握内角和公式：（ n-2 ） •180 （ n≥3 ）且 n 为整数）．
8、 A
【分析】
根据题意可得，甲的钱 + 乙的钱的一半 =50 ，乙的钱 + 甲所有钱的 =50 ，据此列方程组即可 .
【详解】
甲需带钱 x ，乙带钱 y ，根据题意，得 . 故选 :A.
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答此类的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
9、 B
【分析】
过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E ，过 D 作 DF ⊥ BC 于点 F ，则四边形 AEFD 是矩形，由 AB =8 可求出 AE ，从而 DF 可知，进而可求出 CD 的长．
【详解】
解：过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E ，过 D 作 DF ⊥ BC 于点 F ，

∴
∵ AD // BC
∴
∴
∴ 则四边形 AEFD 是矩形，
∴
在 中， AB =8 ，
∴
∴
在 中， ，
∴
故选： B ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题）．
10、 D
【分析】
利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式 a ≠0 且 ，从而求解．
【详解】
解：根据题意得： a ≠0 且 ，即
，
解得： 且 ，
故选 D ．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 （ a ≠0 ）的根与 △= b 2 ﹣ 4 ac 有如下关系：当 △ ＞ 0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当 △=0 时，方程有两个相等的两个实数根；当 △ ＜ 0 时，方程无实数根．
11、 D
【分析】
根据全面调查和抽样调查的特点，中位数的定义，方差的意义，随机事件的定义分别进行判断即可．
【详解】
A 、了解市民知晓 “ 礼让行人 ” 交通新规的情况，适合抽样调查，故 A 说法错误；
B 、一组数据 5 ， 5 ， 3 ， 4 ， 1 ，先排序： 5 ， 5 ， 4 ， 3 ， 1 ，中位数是 4 ，故 B 说法错误；
C 、 甲 2 乙 2 ，说明甲的成绩比乙稳定 , ，故 C 说法错误；
D 、 “ 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 ” 是随机事件，故 D 说法正确，
故选： D ．
【点睛】
本题考查了全面调查和抽样调查的特点，中位数的定义，方差的意义，随机事件的定义，解题关键是正确理解和应用相关的概念．
12、 C
【分析】
确定半径 OA ， . 根据弧长公式可得．
【详解】
OA=OC+AC=12+4=16(m) ， 的长为： （ m ） , 故选 C .
【点睛】
本题主要考查了弧长的计算公式，解题的关键是牢记弧长的公式．
13、 B
【分析】
设有 x 个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了 场比赛，即可列出方程，求解即可．
【详解】
解：设有 x 个班级参加比赛，
，
，
解得： （舍），
则共有 6 个班级参加比赛，
故选： B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系．
14、 B
【分析】
连接 PM ，证明 即可得到 ， PA =5 ．
【详解】
连接 PM

∵ 矩形纸片 ABCD 中， ， ，
∴
∵
∴
∵ 折叠
∴ ,
∴
∵ PM = PM
∴
∴
∴
故选 B ．
【点睛】
本题考查矩形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件 ，学会利用翻折不变性解决问题．
15、 C
【分析】
根据抛物线的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题．
【详解】
解：】解： ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
∴ a ＞ 0 ， b ＜ 0 ；由图象知 c ＜ 0 ，
∴ abc ＞ 0 ，故 A 不符合题意；
∵ 抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴有两个交点，对称轴是直线 x =1 ，与 x 轴的一个交点是（ -1 ， 0 ），
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点是（ 3 ， 0 ）；
∴ 即 故 B 不符合题意；
当 x =2 时， ，即 ，故 C 符合题意；
∵ 抛物线对称轴为直线
∴ ，即 ，故 D 不符合题意，
故选： C ．
【点睛】
该题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线的单调性、对称性及其应用问题；灵活运用有关知识来分析是解题关键．
二、解答题
1、
【分析】
将括号里的分式通分，再将每个分式因式分解，把除法转化为乘法，约分化简，最后代入数值计算即可．
【详解】
解：

，
当 a= 2 ， b= 1 时，
原式 ．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式混合运算的法则．
2、 1 、 2 、 3
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出满足条件的 x 的整数．
【详解】
解不等式 得：

解不等式 得：

∴
∴ 符合条件的正整数值有 1 、 2 、 3
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知 “ 同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 ” 的原则是解答此题的关键．
3、 （ 1 ） 40 ， 18° ；（ 2 ）见解析；（ 3 ） 140 名；（ 4 ） ．
【分析】
（ 1 ）用 B 组的人数除以所占百分比即可求出调查的人数，求出 D 组人数所占百分比再乘以 360° 即可得到 D 组的扇形圆心角的度数；
（ 2 ）求出 C 组人数即可补全条形统计图；
（ 3 ）用 1400 乘以不足 8 小时所占百分比即可得到结果；
（ 4 ）分别用 A ， B ， C ， D 表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可．
【详解】
解：（ 1 ） 22÷55%=40 （名）
所以，小明一共抽样调查了 40 名同学；
D 组的扇形圆心角的度数为：
故答案为： 40 ， 18° ；
（ 2 ） C 组人数为： 40-4-22-2=12 （名）
补全条形统计图如下：

（ 3 ） （名）
所以，该校最近一周大约有 140 名学生睡眠时长不足 8 小时；
（ 4 ）用 A 和 B 表示男生，用 C 和 D 表示女生，画树状图如下，

因为共有 12 种等可能的情况数，其中抽到 1 名男生和 1 名女生的有 8 种，
所以抽到 1 名男生和 1 名女生的概率是： ．
【点睛】
本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中 “ 写出所有可能的结果 ” 的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．
4、 （ 1 ）证明过程见详解 ; （ 2 ） DB =6.
【分析】
（ 1 ）根据三角形的内心得到 ∠ ABE =∠ CBE ， ∠ BAE =∠ CAD ，根据圆周角定理推论得到 ∠ DBC =∠ CAD ，结合三角形的外角性质，进而根据 “ 等角对等边 ” 证明结论；
（ 2 ）通过证明 △DBF∽△DAB ，利用对应边成比例求解即可．
【详解】
解：（ 1 ）证明： ∵ E 是 △ ABC 的内心，
∴ AD 平分 ∠BAC ， BE 平分 ∠ ABC ，
∴∠ ABE =∠ CBE ， ∠ BAE =∠ CAD ，
根据圆周角定理推论，可知 ∠ DBC =∠ CAD ，
∴∠ DBC =∠ BAE ，
∵∠ DBE =∠ CBE +∠ DBC ， ∠ DEB =∠ ABE +∠ BAE ，
∴∠ DBE =∠ DEB ，
∴ DE = DB ；
（ 2 ）由（ 1 ）知 ∠ DAB =∠ CAD ， ∠ DBF =∠ CAD,
∴∠ DBF =∠ DAB.
∵∠ D =∠ D ，
∴△DBF∽△DAB.
∴ ,
∵ DE = DB ，
∴ ,
∵ ， ，
∴ ,
∴ .
【点睛】
本题主要考查了三角形的内心，圆周角定理推论，相似的判定与性质，涉及了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角定理 . 关键是正确理解三角形的内心定义．
5、 （ 1 ） , （ 2 ）当学生人数超过 10 人时 , 选择乙旅行社支付的旅游费最少；当学生人数少于 10 人时 , 选择甲旅行社支付的旅游费最少；学生人数等于 10 人时 , 选择甲、乙旅行社支付费用相等．
【分析】
（ 1 ）根据旅行社的收费 = 老师的费用 + 学生的费用 , 再由总价 = 单价 × 数量就可以得出 ､ 与 x 的函数关系式 ;
（ 2 ）根据（ 1 ）的解析式 , 若 , , , 分别求出相应 x 的取值范围 , 即可判断哪家旅行社支付的旅游费用较少．
【详解】
（ 1 ）由题意 , 得
,
,
答： ､ 与 x 的函数关系式分别是 : ,
（ 2 ）当 时 , , 解得 ,
当 时 , , 解得 ,
当 时 , , 解得 ,
答：当学生人数超过 10 人时 , 选择乙旅行社支付的旅游费最少；当学生人数少于 10 人时 , 选择甲旅行社支付的旅游费最少；学生人数等于 10 人时 , 选择甲、乙旅行社支付费用相等．
【点睛】
本题考查了单价 × 数量 = 总价的运用 , 一次函数的解析式的运用 , 列一元一次不等式组解实际问题的运用 , 解题的关键是根据题意求出一次函数的解析式 , 然后比较函数值的大小求出相应 x 的取值范围．
6、 （ 1 ）见解析；（ 2 ） ，理由见解析
【分析】
（ 1 ）首先根据旋转的性质，判断出 ∠ DAE =90° ， AD = AE ，进而判断出 ∠ BAD =∠ CAE ；然后根据全等三角形判定的方法，判断出 △ ABD ≌△ ACE ，即可判断出 BD = CE ．再证明 ，即可证明 ；
（ 2 ）由 得 ，再证明 A ， D ， F ， E 在以 DE 为直径的圆上，即可证明 ，从而可证明 AF // CD ．
【详解】
解（ 1 ）由旋转的性质，可得 ∠ DAE =90° ， AD = AE ，
∵∠ BAD +∠ DAC =∠ BAC =90° ， ∠ CAE +∠ DAC =∠ DAE =90° ，
∴∠ BAD =∠ CAE ，
在 △ ABD 和 △ ACE 中，
，
∴△ ABD ≌△ ACE （ SAS ），
∴ BD = CE ，
∵
∴ ，即
∴
∴
∴ ，即 ;
（ 2 ） ，理由如下：
∵
∴
由（ 1 ）知，
∴ A ， D ， F ， E 在以 DE 为直径的圆上，如图，

∵ AD = AE
∴ 弧 AD = 弧 AE ，
∴
∴
∴ ；
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： ① 对应点到旋转中心的距离相等． ② 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③ 旋转前、后的图形全等．另外此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及四点共圆的知识，要熟练掌握．
7、 （ 1 ）（ 1 ， 0 ），（ 2 ， -1 ）， ；（ 2 ） m 的值为 或 ；（ 3 ）点 P 的坐标为：（ 2 ， 1 ），（ 2 ， 2 ）
【分析】
（ 1 ）根据抛物线的对称轴及点 B 坐标可求出点 A 坐标，根据对称轴可求出 b 的值，把点 A 或 B 的坐标代入抛物线解析式可求出 C 的值，通过配方可求出顶点坐标；
（ 2 ）根据抛物线开口向上，分两种情况讨论求解即可；
（ 3 ）设 P （ 1 ， t ），由 为斜边，则 ，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】
解：（ 1 ） ∵ 抛物线的对称轴为 x =2 ，点 B 坐标为（ 3 ， 0 ），且点 A 在 B 点的左侧，
∴ A （ 1 ， 0 ）
又 x =
∴
把 A （ 1 ， 0 ）代入 得，
∴ 抛物线的解析式为
∴ 顶点 D 坐标为（ 2 ， -1 ）
故答案为：（ 1 ， 0 ），（ 2 ， -1 ）， ；
（ 2 ） ∵ 抛物线 开口向上，当 时， y 随 x 的增大而减小；当 时， y 随 x 的增大而增大，
① 当 ，即 时，
解得， （舍去）或
② 当 时，
解得， 或 （舍去）
所以， m 的值为 或
（ 3 ）假设存在，设 P （ 2 ， t ）
当 时，如图，

过点 C 作 CG ⊥ PE 于点 G ，则 CG =2 ， PG =3- t

，
∴ ，即
整理得，
解得， ，
经检验： ， 是原方程的根且符合题意，
∴ 点 P 的坐标为（ 2 ， 1 ），（ 2 ， 2 ）
综上，点 P 的坐标为：（ 2 ， 1 ），（ 2 ， 2 ）
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，二次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，灵活应用以上知识解决问题是本题的关键．
三、填空题
1、
【分析】
根据函数解析式 “ 上加下减 ” 的原则解答即可．
【详解】
将直线 向下平移 2 个单位长度，平移后直线的解析式为 .
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象与平移，函数图象平移时，函数解析式 “ 上加下减 ”.
2、 8.5
【分析】
根据题意得 ，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】
解，根据题意得，
∴
∴
∴
故答案为： 8.5
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出 BE 的长是解题关键．
3、
【分析】
连接 AC ， CQ ，则 CQ 的长即为 AP + PQ 的最小值，再根据菱形 ABCD 中， ∠ BCD =120° 得出 ∠ ABC 的度数，进而判断出 △ ABC 是等边三角形，故 △ BCQ 是直角三角形，根据勾股定理即可得出 CQ 的长．
【详解】
解：连接 AC ， CQ ，

∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ A 、 C 关于直线 BD 对称，
∴ CQ 的长即为 AP + PQ 的最小值，
∵∠ BCD =120° ，
∴∠ ABC =60° ，
∴△ ABC 是等边三角形，
∵ Q 是 AB 的中点，
∴ CQ ⊥ AB ， BQ = BC = ×2=1 ，
∴ CQ = ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了轴对称 - 最短路线问题，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关键．
4、 （ ， 0 ） .
【分析】
根据题目所给的解析式，求出对应的 坐标，然后根据规律求出 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可 .
【详解】
解：如图，过点 N 作 NM ⊥ x 轴于 M
将 代入直线解析式 中得
∴ ， 45°
∵ 90°
∴
∵
∴
∴ 的坐标为（ 2 ， 0 ）
同理可以求出 的坐标为（ 4 ， 0 ）
同理可以求出 的坐标为（ 8 ， 0 ）
同理可以求出 的坐标为（ ， 0 ）
∴ 的坐标为（ ， 0 ）
故答案为：（ ， 0 ） .

【点睛】
本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律 .
5、 8.
【分析】
过点 A 作 AE ⊥ x 交 x 轴于 E ，过点 B 作 BF ⊥ x 交 x 轴于 F ，根据 AB = BC ，可以得到 EF = FC ，再根据三角形面积公式即可求解 .
【详解】
解：如图所示，过点 A 作 AE ⊥ x 轴交 x 轴于 E ，过点 B 作 BF ⊥ x 轴交 x 轴于 F
∵ AE ⊥ x 轴， BF ⊥ x 轴， AB = BC
∴ EF = FC ， AE =2 BF （中位线定理）
设 A 点坐标为（ ， ），则 B 点坐标为（ ， ）
∵ OC = OE + EF + FC
∴ OC = OE + EF + FC =3 a
∴
解得
故答案为： 8.

【点睛】
本题主要考查了中位线定理，反比例函数的性质和三角形面积公式，解题的关键在于能够熟练运用相关知识进行求解 .