高等数学幂级数习题课.pptx

幂级数习题课幂级数习题课一、主要内容一、主要内容函数项级数函数项级数幂级数幂级数收敛半径收敛半径R收敛域收敛域Taylor级数级数Taylor展开式展开式幂级数幂级数(1)(1)定义定义(2)(2)收敛性收敛性对对总存在正数使得总存在正数使得收敛半径收敛半径（，）（，）收敛区间收敛区间注注形如形如的级数，求收敛域的级数，求收敛域的收敛半径的收敛半径原级数的收敛点原级数的收敛点应先求出应先求出原级数的发散点原级数的发散点再研究再研究用公式用公式求收敛半径求收敛半径应是应是的系数，的系数，否则否则可作代换或直接利用检比法或检根法来确定可作代换或直接利用检比法或检根法来确定求出收敛半径后求出收敛半径后必须用常数项级数必须用常数项级数审敛法判定端点审敛法判定端点处的敛散性处的敛散性的点的敛散性的点的敛散性(3)(3)幂级数的运算幂级数的运算a.a.代数运算性质代数运算性质:b.b.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质:和函数连续，逐项微分，逐项积分和函数连续，逐项微分，逐项积分收敛半径不变收敛半径不变幂级数求和函数幂级数求和函数利用几个已知的展开式，如利用几个已知的展开式，如通过某些简单运算而求得通过某些简单运算而求得化成两个幂级数的和，差，积，商化成两个幂级数的和，差，积，商作变量代换作变量代换求导或积分求导或积分通项形如通项形如先微后积先微后积通项形如通项形如先积后微先积后微步骤：步骤：求收敛域求收敛域对对进行运算进行运算保留所有的运算记号保留所有的运算记号的运算结果要具体算出的运算结果要具体算出化成易求和的形式化成易求和的形式再进行上述运算的逆运算得再进行上述运算的逆运算得幂级数展开式幂级数展开式(1)定义定义(2)充要条件充要条件(3)唯一性唯一性()展开方法展开方法a.a.直接法直接法(泰勒级数法泰勒级数法)步骤步骤:根据唯一性根据唯一性,利用常见展开式利用常见展开式,通过通过变量代换变量代换,四则运算四则运算,恒等变形恒等变形,逐项求导逐项求导,逐项积逐项积分分等方法等方法,求展开式求展开式.b.b.间接法间接法()常见函数展开式常见函数展开式()应用应用欧拉公式欧拉公式的展开式，并且要十分熟悉几何级数及函数间的微的展开式，并且要十分熟悉几何级数及函数间的微分关系分关系求函数的幂级数展开式，必须相应地写出求函数的幂级数展开式，必须相应地写出展开式成立的范围，展开式成立的范围，对于不同类型的函数注意采用不同的展对于不同类型的函数注意采用不同的展开方法和步骤开方法和步骤有理分式有理分式 化部分分式，利用几何级数展开化部分分式，利用几何级数展开反三角函数或对数函数反三角函数或对数函数先展开其导数，再逐先展开其导数，再逐项积分，但此时必须注意项积分，但此时必须注意积分的下限积分的下限注注几个基本初等函数须直接展开，其它函数几个基本初等函数须直接展开，其它函数应尽量采用间接展开，但间接展开法必须牢记应尽量采用间接展开，但间接展开法必须牢记二、典型例题二、典型例题例求收敛域例求收敛域解解收敛半径收敛半径收敛半径收敛半径若若则则原级数成为原级数成为由于由于收敛收敛原级数成为原级数成为发散发散故故收敛域为收敛域为若若则则收敛收敛收敛收敛发散发散收敛收敛原级数成为原级数成为绝对收敛绝对收敛收敛收敛绝对收敛绝对收敛原级数收敛原级数收敛原级数成为原级数成为收敛收敛原级数收敛原级数收敛故故收敛域为收敛域为解解收敛域收敛域例求和函数例求和函数令令积分积分求导求导令令求导求导积分积分故故注意注意先微后积，收敛域可能扩张先微后积，收敛域可能扩张先积后微，收敛域可能收缩先积后微，收敛域可能收缩例求级数和例求级数和解解 考虑幂级数考虑幂级数由由乘以乘以 x 求导求导再乘以再乘以 x再求导再求导例例解解两边逐项积分两边逐项积分例例解解或或积分积分例例解解求求的幂级数展开式的幂级数展开式及其收敛半径及其收敛半径 并求并求解解 由于由于收敛半径为收敛半径为且且例例7设设例例8设设求求解一解一由由Leibniz公式公式令令得得由由得得解二解二故故