经济数学43积分基本公式.pptx

ESC 一一.不定积分的基本公式不定积分的基本公式 如下不定积如下不定积分的基本积分的基本积分公式分公式:根据导数根据导数 基本公式基本公式 可推得可推得 为求积分为求积分,必须掌握必须掌握!ESC 一一.不定积分的基本公式不定积分的基本公式 记住这记住这些公式些公式 一一.不定积分的基本公式不定积分的基本公式 记住这记住这些公式些公式ESC 以上积分公式以上积分公式 均可通过等式右均可通过等式右 端求导数端求导数,结果是结果是 左端的被积函数左端的被积函数 来验证其成立来验证其成立.一一.不定积分的基本公式不定积分的基本公式 ESC 直接直接 积分积分 直接利用基本积分公式和不定积分的运算性质直接利用基本积分公式和不定积分的运算性质,有时须先将被积函数进行恒等变形有时须先将被积函数进行恒等变形,便可求得一些便可求得一些函数的不定积分函数的不定积分.例例1 1 求不定积分求不定积分 .解解 一一.不定积分的基本公式不定积分的基本公式 ESC例例2 2 求不定积分求不定积分 .解解 一一.不定积分的基本公式不定积分的基本公式 ESC求不定积分求不定积分 .例例3 3解解 一一.不定积分的基本公式不定积分的基本公式 ESC求不定积分求不定积分 .例例4 4解解 一一.不定积分的基本公式不定积分的基本公式 ESC例例5 5解解由不定积分的运算性质由不定积分的运算性质 由不定积分的基本积分公式由不定积分的基本积分公式 求不定积分求不定积分:一一.不定积分的基本公式不定积分的基本公式 ESC例例6 6求不定积分求不定积分:解解由不定积分由不定积分的运算性质的运算性质 由不定积分的由不定积分的基本积分公式基本积分公式 一一.不定积分的基本公式不定积分的基本公式 ESC例例7 7求不定积分求不定积分:解解由不定积分的运算由不定积分的运算性质和基本积分公式性质和基本积分公式 一一.不定积分的基本公式不定积分的基本公式 ESC例例8 8求不定积分求不定积分:解解由不定积分的运算由不定积分的运算性质和基本积分公式性质和基本积分公式 一一.不定积分的基本公式不定积分的基本公式 ESC例例9 9求求解解 一一.不定积分的基本公式不定积分的基本公式 ESC例例1010求求解解利用三角函数的半角公式，有利用三角函数的半角公式，有，所以，所以 一一.不定积分的基本公式不定积分的基本公式 ESC例例1111求求解解先把被积函数化简：先把被积函数化简：一一.不定积分的基本公式不定积分的基本公式 ESC注意：注意：当不定积分不能直接应用基本积分当不定积分不能直接应用基本积分表和不定积分的性质进行计算时，需先将被积表和不定积分的性质进行计算时，需先将被积函数化简或变形再进行计算计算的结果是否函数化简或变形再进行计算计算的结果是否正确，只需对结果求导，看其导数是否等于被正确，只需对结果求导，看其导数是否等于被积函数例如，要检查例积函数例如，要检查例4 4的结果是否正确，的结果是否正确，只需计算只需计算，就可以肯定计算结果一定正确就可以肯定计算结果一定正确ESC 二二.变上限定积分变上限定积分设函数在区间上连续，对于任意设函数在区间上连续，对于任意的，在区间上也连续的，在区间上也连续.所以所以函数在上也可积定积分函数在上也可积定积分 的的值依赖上限，因此它是定义在上的值依赖上限，因此它是定义在上的 函函数记数记，则则称为称为变上限定积分变上限定积分ESC二二.变上限定积分变上限定积分定理定理4.14.1如果函数在区间如果函数在区间 上连上连续，则续，则以为积分上限的定积分，的导数等于以为积分上限的定积分，的导数等于被积函数在积分上限处的值即被积函数在积分上限处的值即.（4.3.14.3.1）ESC二二.变上限定积分变上限定积分证证根据导数的定义根据导数的定义(4.3.2)(4.3.2)而而(积分中值定理积分中值定理)ESC二二.变上限定积分变上限定积分把上述结果代入把上述结果代入(4.2.2)(4.2.2)式，并注意到式，并注意到时，得时，得由定理由定理4.14.1可知：如果函数在区间可知：如果函数在区间上连续上连续,则函数就是在区间则函数就是在区间 上的一个原函数上的一个原函数ESC二二.变上限定积分变上限定积分例例1212计算计算解解ESC二二.变上限定积分变上限定积分例例1313求求解解当时，有当时，有ESC二二.变上限定积分变上限定积分例例1414 计算计算解解设，则设，则所以，所以，ESC二二.变上限定积分变上限定积分一般地，如果可导，则一般地，如果可导，则.ESC 三三.定积分的基本公式定积分的基本公式 但这种方法只能求出极少数函数的定积分但这种方法只能求出极少数函数的定积分,而且对于不同而且对于不同的被积函数要用不同的技巧的被积函数要用不同的技巧.因此因此,这种方法远不能解决定积分这种方法远不能解决定积分的计算问题的计算问题.这里通过揭示导数与定积分的关系这里通过揭示导数与定积分的关系,引出计算定积分的基本引出计算定积分的基本公式公式:牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 把求定积分的问题转化为求被积函数的原函数问题把求定积分的问题转化为求被积函数的原函数问题.ESC 三三.定积分的基本公式定积分的基本公式 定理定理4.24.2设在区间上连续，设在区间上连续，是的一个原函数，则是的一个原函数，则(4.2.3)(4.2.3)证证由定理由定理4.14.1，函数，函数是是 的一个原函数，而函数也是的一的一个原函数，而函数也是的一个原函数所以与在上仅差个原函数所以与在上仅差一个常数，一个常数，ESC 三三.定积分的基本公式定积分的基本公式 .(4.3.4).(4.3.4)即即在在(4.3.4)(4.3.4)式中令，得式中令，得，即，即，故于是故于是(4.3.4)(4.3.4)式化为式化为ESC 三三.定积分的基本公式定积分的基本公式 在上式中令在上式中令，则则，即即 .即即ESC 三三.定积分的基本公式定积分的基本公式 把把 记为记为 所以所以(4.3.3)(4.3.3)又可写成又可写成定理定理4.24.2通常称为通常称为微积分基本定理微积分基本定理,公式公式(4.3.3)(4.3.3)称为称为牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式这一定理揭这一定理揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分的示了定积分与被积函数的原函数或不定积分的联系联系ESC微积分基本定理微积分基本定理 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 若函数若函数 在闭区间在闭区间 上连续上连续,是是 在在 上的一个原函数上的一个原函数,则则 通常以通常以表示表示即即 三三.定积分的基本公式定积分的基本公式 ESC 牛顿牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 是是 在在 上的一个原函数上的一个原函数,则则 该公式阐明了该公式阐明了定积分与原函定积分与原函数之间的关系数之间的关系:被积函数的任一个被积函数的任一个原函数在积分上限与原函数在积分上限与 积分下限的函数值之差积分下限的函数值之差.定积分定积分的值的值=要求已知函数要求已知函数 在区间在区间 上的定积分上的定积分,只需求出只需求出 在区间在区间 上的一个原函数上的一个原函数 ,并计算出它由端点并计算出它由端点 到到端点端点 的改变量的改变量 即可即可.这样就使定积分的计算大这样就使定积分的计算大大简化了大简化了.三三.定积分的基本公式定积分的基本公式 ESC例例1515求定积分求定积分:解解由牛顿由牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 因因 的一个原函数是的一个原函数是 先求原函数先求原函数,再用再用NL公式公式.三三.定积分的基本公式定积分的基本公式 ESC例例1616求定积分求定积分:由牛顿由牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 由定积分的性质由定积分的性质 三三.定积分的基本公式定积分的基本公式 解解ESC例例1717求定积分求定积分:由定积分对区间的可加性由定积分对区间的可加性 由于由于因因 的一个原函的一个原函数是数是 由牛顿由牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式,有有 三三.定积分的基本公式定积分的基本公式 解解ESC例例1818 三三.定积分的基本公式定积分的基本公式 解解已知已知 ，求定积分求定积分 .ESC 三三.定积分的基本公式定积分的基本公式 运用两条积分运算性质和运用两条积分运算性质和2020个基本积分公式，个基本积分公式，有时需要对被积函数作适当的恒等变形而求得积分有时需要对被积函数作适当的恒等变形而求得积分的方法，通常称为直接积分法的方法，通常称为直接积分法.注意：注意：1.充分利用化乘除为加减或利用三角恒等式化充分利用化乘除为加减或利用三角恒等式化简的方法简的方法.2.尽可能化假分式为多项式和真分式尽可能化假分式为多项式和真分式.3.要理解绝对值函数和分段函数的定积分求法要理解绝对值函数和分段函数的定积分求法.4.求解定积分只要求出一个原函数（不要加求解定积分只要求出一个原函数（不要加），），再把上下限代入即可再把上下限代入即可.ESC 内容小结内容小结 1.直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形,积分性质积分性质及及 基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分.常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式,代数公式代数公式,2.微积分基本定理微积分基本定理定理定理4.24.2设在区间上连续，设在区间上连续，是的一个原函数，则是的一个原函数，则ESC 课堂练习课堂练习 1.求下列不定积分求下列不定积分ESC课堂练习课堂练习2.求下列定积分求下列定积分ESC课堂练习课堂练习3.求下列导数求下列导数4.求求ESC 布置作业布置作业 P73 习题习题 4.1 1（2）（）（3）（4)(5)（6)（11）(12）P84 习题习题4.3 1（2）（）（4）（）（8）