运用最小二乘法原理建立经验公式在推算混凝土强度中的应用.pdf

l 0 0 江苏建筑 2 0 1 0年第 5期( 总第 1 3 6期) 运 用 最 小 二 乘 法 原 理 建 立 经 验 公 式 在 推 算 混 凝 土 强 度 中 的 应 用 金 钟 ( 江苏省 建筑工程 集团有 限公 司 ， 江 苏南京2 1 0 0 2 9 ) 聃 奄 要] 文章 介绍利用 一系 列 试验数据， 运用 最小 二乘法 原理建立 混凝土强 度经验 公式的方法。 【 关键词】 最小二乘法； 经验公式； 混凝土强度推算 【 中 图分类 "~一 - ] T U1 2 【 文献标L q ~] A[ 文章~- 1 1 0 0 5 — 6 2 7 0 { 2 0 1 0 ) 0 5 — 0 1 0 0 — 0 2 Ba s e d o n t h e Le a s t Sq u a r e Pr i n c i p l e Bu i l di n g Emp i r i c a l Fo r mu l a a n d i t s Ap p l i c a t i o n t o Calc u l a t i n g t h e St r e n g t h o f Co nc r e t e J I N Z h o n g (J i a n g s u P r o v i n c i a l C o n s t r u c t i o n G r o u p C o ． ， L t d ， N a n j i n g J i a n g s u 2 1 0 0 2 9 C h i n a ) ． Abs t r ac t ：I n t h i s a r t i c l e ，a c c o r d i n g t o a l a r g e mo u n t o f e x pe r i me n t a l d a t a ，t h e me t h o d a b o u t c alc ul a t i o n f o r mu — l a s o f c o n c r e t e s t r e n g t h wa s i n t r o d u c e d b a s e d O i l t h e l e a s t s q u a r e p r i n c i p l e ． Ke y wo r d s ：t h e me t h o d o f l e a s t s q u a r e s ， e x p e r i e n c e f o r mu l a ， c alc u l a t i o n t h e s t r e n gth o f c o n c r e t e l 运用最小二乘法原理建立经验公式 许多工程问题 。常常需要根据两个变量的几组 实验数 据来 找 出这 两个 变 量 的 函数 关 系 的 近 似表 达 式 ．通 常把 这 样得到的函数的近似表达式 叫做经验公式 。经验公 式建立 以后 ． 就可以把生产或实践中所积 累的某些经验 ． 提高到理 论上加 以分析。 1 ． 1 直线 函数关系式 的建立 两个变量 X与 Y有一定 的关系 ． 通过试验得到了有关 数据 ． 要找出两者之间的经验公式。 设有 n对互相独立的观 测值 ( X i Y i ， i = l ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 我们视每一组 观测值 为一个点 ， 将 n个点绘制成一张散点图， 如果从散点图上可以看 出， 这 些点的连线大致接近于一条直线， 我们可以认为 y ---~ 是一 个线性关系 ， 这个关系可表达为 f ( x ) = a x + b 。常数 a和 b如 何确定 呢?最理想的情形是选取这样 的 a和 b ．能使直线 Y =a x + b经过散 点图上所标 出的各点。 但在实际上这是不可 能的， 因为这些点本来就只是大致接近于一条直线 。因此 ， 我们只能要求选 取这样 的 a ． b ， 使得 f ( x ) = a x + b在 X o ， X l ， x ⋯⋯ 处 的函数值 f ( x o ) ， f ( x ) ， f ( x ) ⋯⋯与实验数 据 Y O , Y 。 ， Y 2 ⋯⋯ 相差都很小 ， 也就是使偏差 —f ( x i ) 都很小 ， 那么如何 达到 这一 要求呢?能否 设法使偏 差的和∑[ i) ] 很小来 i= 0 保证每个偏差都很小呢 ?不能， 因为偏差有正有负 ， 在求和 时 可能 互 相 抵 消 ， 为 了避 免 这 种 情形 ， 可对 偏 差 取 绝 对 值 再 n n 求 和， 只 要∑l y i- ．~ x ；) l = ∑ jy i- (a x ；+ 6 ) } 很 小， 就 可 以 保 证 每 i= 0 i= 0 一 个偏差的绝对值都很小 ，由于任何实数 的平方都是正数 或零 ，为 了便 于分 析讨 论 ，我们 可 以选 取常 数 a ． b ， 使 n = ∑【 Y i- ( 似 i+ 6 ) ] 最 小 来 保 证 每 个 偏 差的 绝 对 值 都 很 小， i= 0 这种根据偏差 的平方和为最小 的条件来选择常数 a , b的方 法叫做最小二乘法。用多元 函数微分法解上式可得 a = ( ∑ ． ∑ 一 ∑， ∑x ( ∑I ) Ln ∑ ( 1 ) b = ( ∑ ． ∑ 一 n E y ) ／ [ ( ∑1 ) n ∑ ( 2 ) 1 ． 2 非直线函数关系式 的建立 如果发现散点 图上各点 分布所显示的是一条曲线 ， 则 应根据曲线形状选择 曲线方程。曲线方程可以通过数学变 换转化为直线方程 。参数 a 和 b仍可以用直线方程的公式 来解。 根据本文的需要 ， 这里只简单介绍一下指数方程中的 一 种 ． 即 y = a e ( 3 ) 作数学变换 ， 两边取 自然数 ， 得 ： l n y =l n a +b ／ x 令 y ’ = l n y ， a ’ = l n a ， x ’ = l ／ x ， 则得 Y’ =a’ +b x’ 根据 x与 Y的对 应关 系 ， 即可算 出 a ’ 和 b ， 根据 a ’ = l n a 算 出 a ， 将 a和 b代人公式 ( 3 ) ， 即得所需的经验公式。 2 运用最小二乘法原理建 立经验公 式在 推算混凝土强度 中的应用 运用最小二乘法原理建立经验公式来推算混凝土强度 具 有 明 显 的实 用 价 值 ． 例 如 ： 混 凝 土 的 强度 随 时 间 的 推移 而 【 收稿日 期] 2 0 1 0 一 O l - 1 1 [ 作者简介】 全 钟 ， 江 苏 省 建 筑 工 程 集 团 有 跟 公 司 。 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 江苏 建 筑 2 0 1 0年第 5期 ( 总第 1 3 6期 ) 1 01 增长 ． 如果求 出混凝土时间一强度关系的经验公式 ． 就可 以 推算混凝土在任一时刻的强 度 ，对施 工安排 十分有利 。下 面， 我们分别用举例 的方法来说明问题 。 2 ． 1 热 水 法 推 测标 准 强度 算例 l ：用 5种不同强度等级的混凝土拌 合物做热水 法与标准方法测强的对 比试验 。每一组拌合物共成型 2组 试 件 ．其 中 1组 在 5 5℃热 水 中养 护 2 4 h后 测 定其 抗 压 强 度为 厂， 另一组标准方法测定其 2 8 d强度 为 厂 ， 对 比试验结 果如表 1 ．试建 立用 5 5℃热水法推测 2 0℃标准养护 2 8 d 强度的经验公式， 并运 用经验公式计算 当 ， ’ = 1 2 ． 0 MP a时的 ，值 。 表 1 对 比 试 验 结 果 【 解】根据对 比试 验结果绘 出的散点 图如 图 1 ， 可 以看 出 与／的相互关系呈直线分布 ， 故采用直线方程-户a + b 厂 茎 、2 0 0 0 5 1 0 图 1 厂_ ，散点 图 l 5 2 0 f ’ ( M p a ) 将 表 1中厂作 为 x 作 为 Y ， 列表 2计算 ， 由表 2中最 末一行数再计算 a ． b值 表 2 经 验公 式计 算表 ∑x = 6 1 ． 4 ，∑y = 1 5 1 ． 1 ，∑x Z = 7 9 3 ． 4 ，∑y ~ - -,4 8 0 4 ． 9 ，x y = 1 951 ． 4． a = [ Ex y ． Ex - Ey ． Ex (X , x ) 2 - - n Xx Z ] = 0 ． 3 3 9 b = [ Xx ． Ey — n Xx y ] ／ 【 ( Xx ) Z - n Xx q = 2 ． 4 3 3 经 验 公 式 为 f -- o ． 3 3 9 + 2 ． 4 3 3 f ’ ，当厂 = 1 2 ． 0 MP a时 0 ． 33 9+ 2． 43 3~l 2 ． 0=2 9． 5 MPa 2 ． 2不同龄期 混凝 土强度 的推算 算例 2 ： 某配合 比混凝 土 ． 通过试 验 已知其在 2 0℃标 表 3 龄 期 一 强 度 对 应 表 准养护条件下 各龄期的抗压强度如表 3 ，试估 算此种混凝 土 在 5 d时 的强 度 。 图 2龄 期 D一强度 厂 散 点 图 【 解 ]按 表 3的数 据 绘 出 的散 点 图 如 图 2 根据各点分布情 况选择下 面的指数方程来建立经验公 式 a e 曲 为 了将 曲线 方 程 转 变 为 直 线 方 程 ． 作 数 学 变换 ， 两 边 取 自然对数 ， 得l n f = l n a + b ／ D 令 y = l n f , a ’ = l n a ， x = l ／ D ，则得 y = a ’ + b x ， 根 据表 3中的 D 与 厂 值 算出 X与 Y ． 如表 4 表 4 x与 Y值 l 1 2 0． 5 3 0． 33 3 3 4 0． 1 42 9 ∑ 1 ． 9 7 6 2 1 ． 6o 9 4 2． 4 93 2 2． 8 5O 7 3． 1 57 0 1 0． 1 1 0 3 1 ． O0 o 0． 2 50 0 0． 1 1 11 O． O 2 o4 1 - 3 8l 5 2． 5 9 02 6． 21 60 8． 1 2 65 9 ． 96 66 26． 8 9 93 1 ． 6 O 94 1 ．24 66 0 ． 95 01 0． 45l l 4． 2 57 2 Ex = I ． 9 7 6 2 ， Ey = 1 0 ． 1 1 0 3 ， ∑x 1 ． 3 8 1 5 ， ∑y 2 6 ． 8 9 9 3 ， x y =4． 2 57 2 a j = [ Zx y ． Ex 一 ∑y ． ∑x ( Xx ) 2 - n Xx Z ] = 3 ． 4 2 7 3 b = [ Xx ． Ey 一 ． Ex y ] ／ 【 ( Ex ) ~ - n Y , x Z ] = 一 1 ． 8 2 1 1 由于 a ’ = l n a ， 则 a = e a ’ = 3 0 ． 7 9 3 4， 经验 公 式 为 3 0． 7 93 4e - 1 ．8 2 1 当 D= 5 d时 ， 混凝 土强 度 为 卢3 0 ． 7 9 3 4 e = 2 1 ． 4 MP a ． 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m