第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计.pptx

第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念滤波的目的滤波的目的为了压制输入信号的某些频率成分，从而改变为了压制输入信号的某些频率成分，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例信号频谱中各频率分量的相对比例滤波技术包括滤波技术包括:滤波器设计滤波器设计:根据给定滤波器的频率特性，求得根据给定滤波器的频率特性，求得满足该特性的传输函数满足该特性的传输函数滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到对输入信号的进行滤波的目的式达到对输入信号的进行滤波的目的数字滤波器数字滤波器输入、输出均为数字信号，通过输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含的频率成分的相对一定运算关系改变输入信号所含的频率成分的相对比例或者滤出某些频率成分的器件比例或者滤出某些频率成分的器件经典滤波器经典滤波器A、按频率特性分类、按频率特性分类 可分为可分为低通低通、高通高通、带通带通、带阻带阻和和全通全通。B、按实现的网络结构分类、按实现的网络结构分类 可分为可分为无限长脉冲响应无限长脉冲响应（IIR）滤波器；）滤波器；有限长脉冲响应有限长脉冲响应（FIR）滤波器。）滤波器。(6.1.1)(6.1.2)1、数字滤波器的分类：数字滤波器的分类：经典滤波器（有用频率与滤掉频率占用不同频带）经典滤波器（有用频率与滤掉频率占用不同频带）低通、高通、带通、带阻等低通、高通、带通、带阻等 现代滤波器（维纳滤波器、卡尔曼滤波器等）现代滤波器（维纳滤波器、卡尔曼滤波器等）图图6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 2、数字滤波器的技术指标、数字滤波器的技术指标 我我们们通通常常用用的的数数字字滤滤波波器器一一般般属属于于选选频频滤滤波波器器。假设数字滤波器的传输函数假设数字滤波器的传输函数H(e j)用下式表示：用下式表示：图图6.1.2 低通滤波器的技术要求低通滤波器的技术要求通带边界频率通带边界频率阻带截止频率阻带截止频率|H(e j)|幅频特性，幅频特性，表表示信号通过该滤波器后各频示信号通过该滤波器后各频率成分衰减的情况率成分衰减的情况 相频特性，相频特性，反映各频率成分通过滤波器反映各频率成分通过滤波器后时间上的延时情况后时间上的延时情况 通通带带内内和和阻阻带带内内允允许许的的衰衰减减一一般般用用dB(分分贝贝)数数表表示示，通通带带内内允允许许的的最最大大衰衰减减用用p表表示示，阻阻带带内内允允许许的的最最小小衰减用衰减用s表示，表示，p和和s分别定义为：分别定义为：(6.1.3)(6.1.4)如将如将|H(ej0)|归一化为归一化为1，(6.1.3)和和(6.1.4)式则表示成：式则表示成：(6.1.5)(6.1.6)3、数字滤波器设计方法概述、数字滤波器设计方法概述 IIR滤波器设计方法有两类：滤波器设计方法有两类：1）借助模拟）借助模拟filter的设计方法的设计方法（1）将）将DF的技术指标转换成的技术指标转换成AF的技术指标；的技术指标；（2）按转换后技术指标、设计模拟低通）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的的 ；（3）将）将 ；（4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通）如果不是低通，则必须先将其转换成低通 AF的技术指标。的技术指标。2）计算机辅助设计法（最优化设计法）计算机辅助设计法（最优化设计法）先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，最大误差先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，最大误差最小准则等，然后在此准则下最小准则等，然后在此准则下，确定系统函数的系数。确定系统函数的系数。FIR滤波器设计：窗函数法和频率采样法滤波器设计：窗函数法和频率采样法6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计uIIRIIR滤波器的设计是基于模拟滤波器的成熟技术而完成滤波器的设计是基于模拟滤波器的成熟技术而完成的的u简单介绍模拟滤波器设计的一些基本概念，并介绍两简单介绍模拟滤波器设计的一些基本概念，并介绍两种常用的滤波器的设计方法种常用的滤波器的设计方法：巴特沃思巴特沃思(Butterworth)滤波器滤波器切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)滤波器滤波器 图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性 1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法u滤波器的频率特性主要取决于构成滤波器系统的系统函数滤波器的频率特性主要取决于构成滤波器系统的系统函数 u 工程设计中给定的指标往往是通带和阻带的衰减，它一般用工程设计中给定的指标往往是通带和阻带的衰减，它一般用反映功率增益的幅度平方函数或称模方函数来定义反映功率增益的幅度平方函数或称模方函数来定义模拟低通滤波器的设计指标模拟低通滤波器的设计指标有有p,p,s和和s。u其中其中p和和s分别称为通带边界频率和阻带截止频率分别称为通带边界频率和阻带截止频率up是通带是通带(=0p)中的最大衰减系数，中的最大衰减系数，us是阻带是阻带s的最小衰减系数，的最小衰减系数，u对于单调下降的幅度特性，可表示成：对于单调下降的幅度特性，可表示成：(6.2.1)(6.2.2)如如果果=0处处幅幅度度已已归归一一化化到到1，即即|Ha(j0)|=1,p和和s表示为表示为 以以上上技技术术指指标标用用图图6.2.2表表示示。图图中中c称称为为3dB截截止止频率。频率。(6.2.3)(6.2.4)图图6.2.2 低通滤波器的幅度特性低通滤波器的幅度特性 滤滤波波器器的的技技术术指指标标p,p,s和和s给给定定后后，根根据据模模方方函函数数需需要要设设计计一一个个传传输输函函数数Ha(s)，一一般般滤滤波波器器的的单单位位冲冲激激响响应为实数。应为实数。(6.2.5)从给定的模方函数求出所需要的系统函数的方法从给定的模方函数求出所需要的系统函数的方法 a、令、令s=代入模方函数得到代入模方函数得到 ,并求其零极点并求其零极点 b、取、取 所有在左半平面的极点作为所有在左半平面的极点作为 的极点的极点 c、按需要的相位条件、按需要的相位条件(最小相位最小相位,混合相位等混合相位等)取取一半的零点构成一半的零点构成 的零点的零点 2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴巴特特沃沃斯斯低低通通滤滤波波器器的的幅幅度度平平方方函函数数|Ha(j)|2用用下下式表示：式表示：(6.2.6)图图6.2.3 巴特沃斯幅度特性和巴特沃斯幅度特性和N的关系的关系 将幅度平方函数将幅度平方函数|Ha(j)|2写成写成s的函数：的函数：(6.2.7)此式表明幅度平方函数有此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点个极点，极点sk用下式表示：用下式表示：(6.2.8)为形成稳定的滤波器，为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取个极点中只取s平面左半平面平面左半平面的的N个极点构成个极点构成Ha(s)，而右半平面的，而右半平面的N个极点构成个极点构成Ha(-s)。Ha(s)的表示式为的表示式为(6.2.9)设设N=3，极点有，极点有6个，它们分别为个，它们分别为取取s平面左半平面的极点平面左半平面的极点s0,s1,s2组成组成Ha(s)：图6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布 由由于于各各滤滤波波器器的的幅幅频频特特性性不不同同，为为使使设设计计统统一一，将将所所有有的的频频率率归归一一化化。这这里里采采用用对对3dB截截止止频频率率c归归一化，归一化后的一化，归一化后的Ha(s)表示为表示为 式中，式中，p=s/c=j/c。令令=/c，称称为为归归一一化化频频率率；令令p=j，p称称为为归归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为(6.2.10)(6.2.11)式中，式中，pk为归一化极点，用下式表示：为归一化极点，用下式表示：将将极极点点表表示示式式(6.2.12)代代入入(6.2.11)式式，得得到到的的Ha(p)的分母是的分母是p的的N阶多项式，用下式表示：阶多项式，用下式表示：(6.2.12)(6.2.13)所以，总结求滤波器的系统函数所以，总结求滤波器的系统函数Ha(s)的步骤如下：的步骤如下：将将=p代入代入(6.2.6)式中，再将式中，再将|Ha(jp)|2代入代入(6.2.3)式中，得到：式中，得到：将将=s代入代入(6.2.6)式中，再将式中，再将|Ha(js)|2代入代入(6.2.4)式中，得到：式中，得到：由由(6.2.14)和和(6.2.15)式得到：式得到：令令,则则N由下式表示：由下式表示：(6.2.16)(6.2.14)(6.2.15)1、阶数、阶数N的确定方法：由技术指标的确定方法：由技术指标p,p,s和和s确定确定(6.2.3)(6.2.4)(6.2.6)如果求出的如果求出的N可能有小数部分，可能有小数部分，应取大于等于应取大于等于N的最小整数。的最小整数。可以按照可以按照(6.2.14)式或式或(6.2.15)式求出式求出由由(6.2.15)式得到：式得到：(6.2.17)(6.2.18)(6.2.14)(6.2.15)2、3dB截止频率截止频率c的确定：由技术指标的确定：由技术指标p,p,s和和s确定确定由由(6.2.14)式得到：式得到：总结以上，总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：如下：(1)根根据据技技术术指指标标p,p,s和和s，用用(6.2.16)式式求求出出滤滤波器的阶数波器的阶数N。(2)按按照照(6.2.12)式式，求求出出归归一一化化极极点点pk，将将pk代代入入(6.2.11)式，得到归一化传输函数式，得到归一化传输函数Ha(p)。(3)将将Ha(p)去去归归一一化化。将将p=s/c代代入入Ha(p)，得得到到实实际的滤波器传输函数际的滤波器传输函数Ha(s)。(6.2.16)(6.2.12)(6.2.11)表表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数巴特沃斯归一化低通滤波器参数 例例6.2.1 已已知知通通带带截截止止频频率率fp=5kHz，通通带带最最大大衰衰减减p=2dB，阻阻 带带 截截 止止 频频 率率 fs=12kHz，阻阻 带带 最最 小小 衰衰 减减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解解：(1)确定阶数确定阶数N。(2)按照按照(6.2.12)式，其极点为式，其极点为按照按照(6.2.11)式，归一化传输函数为式，归一化传输函数为(6.2.12)(6.2.11)直接查表直接查表6.2.1，由，由N=5，直接查表得到：，直接查表得到：极点：极点：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878;-1.0000 式式b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361 (3)将将Ha(p)去归一化，先求去归一化，先求3dB截止频率截止频率c。按照按照(6.2.17)式，得到：式，得到：将将c代入代入(6.2.18)式，得到：式，得到：将将p=s/c代入代入Ha(p)中得到：中得到：(6.2.17)(6.2.18)介介绍绍切切比比雪雪夫夫型型滤滤波波器器的的设设计计方方法法。图图6.2.5分分别别画画出出阶阶数数N为为奇奇与与偶偶数数时时的的切切比比雪雪夫夫型型滤滤波波器器幅幅频频特特性性。其其幅幅度平方函数用度平方函数用A2()表示：表示：(6.2.19)图图6.2.5 切比雪夫切比雪夫型滤波器幅频特性型滤波器幅频特性 3.切比雪夫滤波器的设计方法切比雪夫滤波器的设计方法 式式中中，为为小小于于1的的正正数数，表表示示通通带带内内幅幅度度波波动动的的程程度度，愈愈大大，波波动动幅幅度度也也愈愈大大。p称称为为通通带带截截止止频频率率。令令=/p，称称为为对对p的的归归一一化化频频率率。CN(x)称称为为N阶阶切切比雪夫多项式比雪夫多项式，定义为，定义为当当N=0时，时，C0(x)=1；当当N=1时，时，C1(x)=x；当当N=2时，时，C2(x)=2x 2-1；当当N=3时，时，C3(x)=4x 3-3x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为 C N+1(x)=2xCN(x)-C N-1(x)(6.2.20)图图6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线切比雪夫多项式曲线 图图6.2.6示出了阶数示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。时的切比雪夫多项式特性。由图可见：由图可见：(1)切比雪夫多项式的过零点在切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内；的范围内；(2)当当|x|1时，时，|CN(x)|1,在在|x|1时，时，CN(x)是双曲线函数，随是双曲线函数，随x单调上升。单调上升。按按照照(6.2.19)式式，平平方方幅幅度度函函数数与与三三个个参参数数即即,p和和N有有关关。其其中中与与通通带带内内允允许许的的波波动动大大小小有有关关，定定义义允许的通带内最大衰减允许的通带内最大衰减p用下式表示：用下式表示：下下(6.2.21)因此因此 (6.2.22)(6.2.19)图图6.2.7 切比雪夫切比雪夫型与巴特沃斯低通的型与巴特沃斯低通的A2()曲线曲线 设设阻阻带带的的起起始始点点频频率率(阻阻带带截截止止频频率率)用用s表表示示，在在s处的处的A2(s)用用(6.2.19)式确定：式确定：(6.2.23)令令s=s/p，由，由s1，有，有(6.2.24)(6.2.25)可以解出可以解出 3dB截止频率用截止频率用c表示，表示，按照按照(6.2.19)式，有式，有通常取通常取c1，因此，因此上式中仅取正号，得到上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：截止频率计算公式：(6.2.26)(6.2.19)以以上上p,和和N确确定定后后，可可以以求求出出滤滤波波器器的的极极点点，并并确确定定Ha(p)，p=s/p。求求解解的的过过程程请请参参考考有有关关资资料料。下下面仅介绍一些有用的结果。面仅介绍一些有用的结果。设设Ha(s)的极点为的极点为si=i+ji，可以证明：，可以证明：(6.2.23)令令s=s/p，由，由s1，有，有(6.2.24)(6.2.25)上式中仅取正号，得到上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：截止频率计算公式：(6.2.26)设设Ha(s)的极点为的极点为si=i+ji，可以证明：，可以证明：(6.2.27)式中式中(6.2.28)(6.2.28)式式是是一一个个椭椭圆圆方方程程，长长半半轴轴为为pch(在在虚虚轴轴上上)，短短半半轴轴为为psh(在在实实轴轴上上)。令令bp和和ap分分别别表示长半轴和短半轴，可推导出：表示长半轴和短半轴，可推导出：(6.2.29)(6.2.30)(6.2.31)图图6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布三阶切比雪夫滤波器的极点分布 设设N=3，平平方方幅幅度度函函数数的的极极点点分分布布如如图图6.2.8所所示示(极极点点用用X表表示示)。为为稳稳定定，用用左左半半平平面面的的极极点点构构成成Ha(p)，即，即(6.2.32)式中式中c是待定系数。根据幅度平方函数是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.19)式式可导出：可导出：c=2 N-1，代入，代入(6.2.32)式，得到归一化的式，得到归一化的传输函数为传输函数为(6.2.33a)去归一化后的传输函数为去归一化后的传输函数为(6.2.33b)下面介绍切比雪夫下面介绍切比雪夫型滤波器设计步骤。型滤波器设计步骤。1)确定技术要求确定技术要求p,p,s和和s p是是=p时的衰减系数，时的衰减系数，s是是=s时的衰减系数，时的衰减系数，它们为它们为(6.2.34)(6.2.35)2)求滤波器阶数求滤波器阶数N和参数和参数。归一化频率归一化频率由由(6.2.19)式，得到：式，得到：(6.2.19)将以上两式代入将以上两式代入(6.2.34)式和式和(6.2.35)式，得到：式，得到：令(6.2.36)(6.2.37)求出阶数求出阶数N，最后取大，最后取大于等于于等于N的最小整数的最小整数 按照按照(6.2.22)式求式求。(6.2.22)3)求归一化传输函数求归一化传输函数Ha(p)求求Ha(p)，先按照，先按照(6.2.27)式求出归一化极点式求出归一化极点pk,k=1,2,:,N。(6.2.27)将极点将极点pk代入代入(6.2.33)式，得到式，得到：4)将将Ha(p)去归一化，得到实际的去归一化，得到实际的Ha(s)，即，即(6.2.38)(6.2.39)例例6.2.2 设设计计低低通通切切比比雪雪夫夫滤滤波波器器，要要求求通通带带截截止止频频率率fp=3kHz，通通带带最最大大衰衰减减p=0.1dB，阻阻带带截截止止频频率率fs=12kHz，阻带最小衰减，阻带最小衰减s=60dB。解解 (1)滤波器的技术指标：滤波器的技术指标：(2)求阶数求阶数N和和：(3)求求Ha(p):由由(6.2.38)式求出式求出N=5时的极点时的极点pi，代入上式，得到：，代入上式，得到：(4)将将Ha(p)去归一化，得到：去归一化，得到：(6.2.38)4.模模拟拟滤滤波波器器的的频频率率变变换换模模拟拟高高通通、带带通通、带阻滤波器的设计带阻滤波器的设计 1)低通到高通的频率变换低通到高通的频率变换 和和之间的关系为之间的关系为 上上式式即即是是低低通通到到高高通通的的频频率率变变换换公公式式，如如果果已已知知低通低通G(j)，高通，高通H(j)则用下式转换：则用下式转换：(6.2.41)(6.2.40)和 分别是模拟低通滤波器和高通滤波器的归一化频率图图6.2.9 低通与高通滤波器的幅度特性低通与高通滤波器的幅度特性阻带边界频率s通带边界频率p 模拟高通滤波器模拟高通滤波器的设计步骤如下：的设计步骤如下：(1)确确定定高高通通滤滤波波器器的的技技术术指指标标：通通带带边边界界频频率率p，阻阻带带边界频率边界频率s，通带最大衰减，通带最大衰减p，阻带最小衰减，阻带最小衰减s。(2)确确定定归归一一化化低低通通技技术术指指标标：按按照照(6.2.40)式式，将将高高通通滤滤波器的归一化频率转换成低通滤波器的归一化频率波器的归一化频率转换成低通滤波器的归一化频率 (3)设计归一化低通滤波器设计归一化低通滤波器G(p)。(4)求求模模拟拟高高通通的的H(s)。将将G(p)按按照照(6.2.40)式式，转转换换成成归归一化高通一化高通H(p)，为去归一化，将，为去归一化，将p=p/s代入代入G(p)中，得中，得(6.2.42)(6.2.40)解解 高通技术指标：高通技术指标：fp=200Hz,p=3dB;fs=100Hz,s=15dB 归一化频率归一化频率低通技术指标：低通技术指标：例例6.2.3 设计巴特沃斯高通滤波器设计巴特沃斯高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度，幅度特性单调下降，特性单调下降，fp处最大衰减为处最大衰减为3dB，阻带最小衰减，阻带最小衰减s=15dB。/p 设计归一化低通设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故。采用巴特沃斯滤波器，故 求模拟高通求模拟高通H(s)：图图6.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性带通与低通滤波器的幅度特性 表表6.2.2 与与的对应关系的对应关系 2)低通到带通的频率变换低通到带通的频率变换 低通与带通滤波器的幅度特性如图低通与带通滤波器的幅度特性如图6.2.10所示。所示。通带下边界频率通带下边界频率l，通带上边界频率，通带上边界频率u阻带下边界频率阻带下边界频率 s1，阻带上边界频率，阻带上边界频率 s2 通带中心频率通带中心频率20=lu，通带宽度，通带宽度B=u-l 由由与与的对应关系，得到：的对应关系，得到：由表由表6.2.2知知p对应对应u，代入上式中，有，代入上式中，有 (6.2.43)式式称称为为低低通通到到带带通通的的频频率率变变换换公公式式。利利用用该该式式将将带带通通的的边边界界频频率率转转换换成成低低通通的的边边界界频频率率。下下面面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于推导由归一化低通到带通的转换公式。由于(6.2.43)将将(6.2.43)式代入上式，得到：式代入上式，得到：将将q=j代入上式，得到：代入上式，得到：为去归一化，将为去归一化，将q=s/B代入上式，得到：代入上式，得到：(6.2.44)(6.2.45)上式就是由归一化上式就是由归一化低通直接转换成带通低通直接转换成带通的计算公式。的计算公式。下面总结下面总结模拟带通的设计步骤模拟带通的设计步骤。(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即：确定模拟带通滤波器的技术指标，即：通带下边界频率通带下边界频率l，通带上边界频率，通带上边界频率u阻带下边界频率阻带下边界频率 s1,阻带上边界频率阻带上边界频率 s2 通带中心频率通带中心频率20=lu，通带宽度，通带宽度B=u-l与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：(2)确定归一化低通技术要求：确定归一化低通技术要求：s与与-s的的绝绝对对值值可可能能不不相相等等，一一般般取取绝绝对对值值小小的的s，这样保证在较大的，这样保证在较大的s处更能满足要求。处更能满足要求。通带最大衰减仍为通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减亦为，阻带最小衰减亦为s。(3)设计归一化低通设计归一化低通G(p)。(4)由由(6.2.45)式直接将式直接将G(p)转换成带通转换成带通H(s)。(6.2.45)例例6.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2200rad/s，中心频率，中心频率0=21000rad/s，通带内最大衰减，通带内最大衰减p=3dB，阻带，阻带s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻带最小衰减，阻带最小衰减s=15dB。解解(1)模拟带通的技术要求：模拟带通的技术要求：0=21000rad/s,p=3dB s1=2830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/s;0=5,s1=4.15,s2=6 (2)模拟归一化低通技术要求：模拟归一化低通技术要求：取取s=1.833,p=3dB,s=15dB。(3)设计模拟归一化低通滤波器设计模拟归一化低通滤波器G(p)：采用巴特沃斯型，有：采用巴特沃斯型，有 取取N=3，查表，查表6.2.1，得，得(4)求模拟带通求模拟带通H(s)：3)低通到带阻的频率变换低通到带阻的频率变换 低通与带阻滤波器的幅频特性如图低通与带阻滤波器的幅频特性如图6.2.11所示。所示。图图6.2.11 低通与带阻滤波器的幅频特性低通与带阻滤波器的幅频特性 通带下边界频率通带下边界频率l，通带上边界频率，通带上边界频率u 阻带的下边界频率阻带的下边界频率s1，阻带上边界频率，阻带上边界频率s2 阻带中心频率阻带中心频率20=ul，阻带带宽阻带带宽B=u-l 相应的归一化边界频率相应的归一化边界频率u=u/B,l=l/B,s1=s1/B s2=s2/B,20=ul 表表6.2.3 与与的对应关系的对应关系 根据根据与与的对应关系，可得到：的对应关系，可得到：且且u-l=1，p=1，(6.2.46)式式称称为为低低通通到到带带阻阻的的频频率率变变换换公公式式。将将(6.2.46)式式代代入入p=j，并并去去归归一一化化，可可得得(6.2.46)(6.2.47)(6.2.48)上式就是由归一化上式就是由归一化低通直接转换成带阻低通直接转换成带阻的计算公式。的计算公式。下面总结设计下面总结设计带阻滤波器的步骤带阻滤波器的步骤：(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：通带下边界频率通带下边界频率l，通带上边界频率，通带上边界频率u阻带下边界频率阻带下边界频率s1，阻带上边界频率，阻带上边界频率s2阻带中心频率阻带中心频率20=lu，阻带宽度，阻带宽度B=u-l它们相应的归一化边界频率为它们相应的归一化边界频率为 l=l/B,u=u/B,s1=s1/B;s2=s2/B,20=ul以及通带最大衰减以及通带最大衰减p和阻带最小衰减和阻带最小衰减s。(2)确定归一化模拟低通技术要求，即：确定归一化模拟低通技术要求，即：取取s和和-s的的绝绝对对值值较较小小的的s；通通带带最最大大衰衰减减为为p，阻带最小衰减为阻带最小衰减为s。(3)设计归一化模拟低通设计归一化模拟低通G(p)。(4)按照按照(6.2.48)式直接将式直接将G(p)转换成带阻滤波器转换成带阻滤波器H(s)。(6.2.48)例例6.2.5 设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：l=2905rad/s,s1=2980rad/s,s2=21020rad/s,u=21105rad/s,p=3dB,s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。试设计巴特沃斯带阻滤波器。解解 (1)模拟带阻滤波器的技术要求：模拟带阻滤波器的技术要求：l=2905,u=21105;s1=2980,s2=21020;20=lu=4+21000025,B=u-l=2200;l=l/B=4.525,u=u/B=5.525;s1=s1/B=4.9,s2=5.1;20=lu=25 (2)归一化低通的技术要求：归一化低通的技术要求：(3)设计归一化低通滤波器设计归一化低通滤波器G(p):(4)带阻滤波器的带阻滤波器的H(s)为为6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 用模拟滤波器设计用模拟滤波器设计IIR数字滤波器设计思想：数字滤波器设计思想：u s 平面平面 z 平面平面 模拟系统模拟系统 数字系统数字系统u1、H(z)的频率响应要能模仿的频率响应要能模仿 Ha(s)的频率响应，即的频率响应，即 s 平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆，频率间成线性关系平面的单位圆，频率间成线性关系u2、因果稳定的、因果稳定的 Ha(s)映射到因果稳定的映射到因果稳定的 H(z)，即即 s 平面的左半平面平面的左半平面 Res 0 映射到映射到 z 平面的单位圆内平面的单位圆内|z|1设计方法：设计方法：-脉冲响应不变法脉冲响应不变法-双线性变换法双线性变换法数字滤波器的单位脉冲响应数字滤波器的单位脉冲响应 模仿模拟滤波器的单位脉冲响应模仿模拟滤波器的单位脉冲响应1、脉冲响应不变法变换原理、脉冲响应不变法变换原理T抽样周期抽样周期表表明明将将模模拟拟信信号号ha(t)的的拉拉氏氏变变换换在在s平平面面上上沿沿虚虚轴轴按按照照周周期期s=2/T延延拓拓后后，再再按按照照映映射射关关系系，映映射射到到z平平面上，就得到面上，就得到H(z)图图6.3.1 z=esT,s平面与平面与z平面之间的映射关系平面之间的映射关系2、频谱混叠、频谱混叠才能使数字滤波器的频响不会发生频谱混叠，即：才能使数字滤波器的频响不会发生频谱混叠，即：数数字字滤滤波波器器的的频频率率响响应应是是模模拟拟滤滤波波器器频频率率响响应应的的周周期期延延拓拓，周周期期为为 。若若在在时时域域抽抽样样时时满满足足时时域域采采样样定定理理，即即模模拟拟滤滤波波器器的的频频响响是是带带限限于于折折叠叠频频率率之内的，即之内的，即图图6.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象脉冲响应不变法的频率混叠现象3、模拟滤波器的数字化方法、模拟滤波器的数字化方法1)极极点点映映射射：设设Ha(s)只只有有单单阶阶极极点点，且且分分母母多多项项式式的的阶阶次高于分子多项式的阶次，将次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：用部分分式表示：n系数相同：系数相同：n极点：极点：s 平面平面 z 平面平面n稳定性不变：稳定性不变：s 平面平面 z 平面平面 数字滤波器频响与采样间隔数字滤波器频响与采样间隔T成反比，故当采样频成反比，故当采样频率很高时，即率很高时，即T 很小时，数字滤波器增益很大，易很小时，数字滤波器增益很大，易溢出。因此，希望数字滤波器增益与采样间隔溢出。因此，希望数字滤波器增益与采样间隔T无无关。故作以下修正：关。故作以下修正：令令：则：则：若若 ，则，则2)修正修正 一一般般Ha(s)的的极极点点sk是是一一个个复复数数，且且以以共共轭轭成成对对的的形形式式出出现现，在在 式式中中将将一一对对复复数数共共轭轭极极点点放放在在一一起起，形形成成一一个个二二阶阶基基本本节节。如如果果模模拟拟滤波器的二阶基本节的形式为滤波器的二阶基本节的形式为(6.3.11)可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法只有实数乘法)的形式为的形式为 (6.3.12)如果模拟滤波器二阶基本节的形式为如果模拟滤波器二阶基本节的形式为 极点为极点为(6.3.13)(6.3.14)4、优缺点、优缺点n优点优点：n缺点缺点：p频率响应混叠频率响应混叠p只适用于限带的低通、带通滤波器只适用于限带的低通、带通滤波器ph(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应 时域逼近良好时域逼近良好p频率变换是线性关系：频率变换是线性关系：5、脉冲响应不变法设计步骤、脉冲响应不变法设计步骤1）按按照照给给定定的的数数字字滤滤波波器器的的设设计计指指标标，利利用用模模拟拟滤滤波波器器设设计计技技术术设设计计原原型型模模拟拟滤滤波波器器，得得 。（如果是非低通滤波器则需进行变换）（如果是非低通滤波器则需进行变换）2）把把 分分解解成成部部分分分分式式求求和和形形式式 ，其中：其中：是系统极点。（求出极点和系数是系统极点。（求出极点和系数 ）3）用用变变换换式式：对对 进进行行变变换换，得数字滤波器系统函数得数字滤波器系统函数 。例例6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为为 用用脉脉冲冲响响应应不不变变法法将将Ha(s)转转换换成成数数字字滤滤波波器器的的系系统函数统函数H(z)。解解：首先将：首先将Ha(s)写成部分分式：写成部分分式：极点为极点为那么那么H(z)的极点为的极点为按照按照(6.3.4)式，并经过整理，得到式，并经过整理，得到 转换时，也可以直接按照转换时，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)式进行转换。式进行转换。首先将首先将Ha(s)写成写成(6.3.13)式的形式，如极点式的形式，如极点s1,2=1j1,则则再按照再按照(6.3.14)式，式，H(z)为为设设T=1s时用时用H1(z)表示，表示，T=0.1s时用时用H2(z)表示，则表示，则试用脉冲响应不变法，设计试用脉冲响应不变法，设计IIR数字滤波器数字滤波器例例6.3.2：设模拟滤波器的系统函数为：设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：解：据题意，得数字滤波器的系统函数：设设T=1s，则，则模拟滤波器的频率响应模拟滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字数字低通滤波器低通滤波器 为为了了克克服服脉脉冲冲响响应应不不变变法法会会产产生生频频谱谱混混叠叠这这一一缺缺点点，采采用非线性频率压缩法用非线性频率压缩法正切变换实现频率压缩：正切变换实现频率压缩：(6.4.1)图图6.4.1 双线性变换法的映射关系双线性变换法的映射关系1、变换原理、变换原理 式式中中T是是采采样样间间隔隔，当当1从从-/T经经过过0变变化化到到/T时时，则则由由-经经过过0变变化化到到+，实实现现了了s平平面面上上整整个个虚虚轴轴完完全全压压缩缩到到s1平面上虚轴的平面上虚轴的/T之间的转换。之间的转换。双线性变换的映射过程双线性变换的映射过程 脉冲响应不变法的映射过程脉冲响应不变法的映射过程 再通过再通过 转换到转换到z平面上，得到：平面上，得到：(6.4.3)(6.4.4)(6.4.2)令令s=j,z=e j，并代入，并代入(6.4.3)式中，有式中，有(6.4.5)图图6.4.2 双线性变换法的频率变换关系双线性变换法的频率变换关系(6.4.3)2、模拟滤波器的数字化、模拟滤波器的数字化3、优缺点、优缺点优点优点：避免了频率响应的混叠现象避免了频率响应的混叠现象s 平面与平面与 z 平面为单值变换平面为单值变换 除了零频率附近，除了零频率附近，与与 之间严重非线性之间严重非线性缺点缺点：例例6.4.1试试分分别别用用脉脉冲冲响响应应不不变变法法和和双双线线性性不不变变法法将图将图6.4.4所示的所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。低通滤波器转换成数字滤波器。解解 首首先先按按照照图图6.4.4写写出出该该滤滤波波器器的的传传输输函函数数Ha(s)为为 利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数数H1(z)为为 利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为为 H1(z)和和H2(z)的网络结构分别如图的网络结构分别如图6.4.5(a),(b)所示。所示。图图6.4.5 例例6.4.1图图H1(z)和和H2(z)的网络结构的网络结构 (a)H1(z);(b)H2(z)图图6.4.6例例6.4.1 图图数字滤波器数字滤波器H1(z)和和H2(z)的幅频特性的幅频特性 下下面面我我们们总总结结利利用用模模拟拟滤滤波波器器设设计计IIR数数字字低低通通滤滤波器的步骤。波器的步骤。(1)确确定定数数字字低低通通滤滤波波器器的的技技术术指指标标：通通带带截截止止频频率率p、通带衰减、通带衰减p、阻带截止频率、阻带截止频率s、阻带衰减、阻带衰减s。(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。滤波器的技术指标。脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法通带截止频率阻带截止频率通带截止频率阻带截止频率 (3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。滤波器。(4)将模拟滤波器将模拟滤波器Ha(s)，从，从s平面转换到平面转换到z平面，得平面，得到数字低通滤波器系统函数到数字低通滤波器系统函数H(z)。巴特沃斯低通滤波器切比雪夫低通滤波器脉冲响应不变法双线性变换法 例例6.4.2 设设计计低低通通数数字字滤滤波波器器，要要求求在在通通带带内内频频率率低低于于0.2rad时时，容容许许幅幅度度误误差差在在1dB以以内内；在在频频率率0.3到到之之间间的的阻阻带带衰衰减减大大于于15dB。指指定定模模拟拟滤滤波波器器采采用用巴巴特特沃沃斯斯低低通通滤滤波波器器。试试分分别别用用脉脉冲冲响响应应不不变变法法和和双线性变换法设计滤波器。双线性变换法设计滤波器。解解 (1)用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。数字低通的技术指标为数字低通的技术指标为 p=0.2rad,p=1dB;s=0.3rad,s=15dB 模拟低通的技术指标为模拟低通的技术指标为 T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB;s=0.3rad/s,s=15dB 设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及及3dB截止频率截止频率c。取取N=6。为为求求3dB截截止止频频率率c，将将p和和p代代入入(6.2.17)式式，得得到到c=0.7032rad/s，显显然然此此值值满满足足通通带带技技术术要要求求，同同时时给给阻阻带带衰衰减减留留一一定定余余量量，这这对对防防止止频频率率混叠有一