呼和浩特专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练21相似三角形及其应用试题.docx

课时训练(二十一)　相似三角形及其应用
(限时:45分钟)

|夯实基础|
1.[2019·陇南]如图K21-1,将图形用放大镜放大,应该属于 (　　)

图K21-1
A.平移变换 B.相似变换
C.旋转变换 D.对称变换
2.[2019·贺州]如图K21-2,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,DE∥BC,若AD=2,AB=3,DE=4,则BC等于 (　　)

图K21-2
A.5 B.6 C.7 D.8
3.[2019·雅安]如图K21-3,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是 (　　)

图K21-3

图K21-4
4.[2019·淄博]如图K21-5,在△ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△ADC的面积为a,则△ABD的面积为 (　　)

图K21-5
A.2a B.52a
C.3a D.72a
5.[2019·杭州]如图K21-6,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC边上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B,C重合),连接AM交DE于点N,则 (　　)

图K21-6
A.ADAN=ANAE B.BDMN=MNCE
C.DNBM=NEMC D.DNMC=NEBM
6.[2019·眉山]如图K21-7,一束光线从点A(4,4)出发,经y轴上的点C反射后,经过点B(1,0),则点C的坐标是 (　　)

图K21-7
A.0,12 B.0,45 C.(0,1) D.(0,2)
7.[2019·乐山]把边长分别为1和2的两个正方形按如图K21-8的方式放置,则图中阴影部分的面积为 (　　)

图K21-8
A.16 B.13 C.15 D.14
8.[2019·乐山]如图K21-9,在边长为3的菱形ABCD中,∠B=30°,过点A作AE⊥BC于点E,现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置,AF与CD交于点G,则CG等于 (　　)

图K21-9
A.3-1 B.1 C.12 D.32
9.[2019·郴州]若x+yx=32,则yx=　　　　. 
10.[2019·淮安]如图K21-10,l1∥l2∥l3,直线a,b与l1,l2,l3分别相交于点A,B,C和点D,E,F.若AB=3,DE=2,BC=6,则EF=　　　　. 

图K21-10
11.[2019·本溪]在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是A(4,2),B(5,0),以点O为位似中心,相似比为12,把△ABO缩小,得到△A1B1O,则点A的对应点A1的坐标为　　　　. 
12.[2019·凉山州]在▱ABCD中,E是AD上一点,且点E将AD分为2∶3的两部分,连接BE,AC相交于F,则S△AEF∶S△CBF=　　　　. 
13.[2019·自贡]如图K21-11,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,CD∥AB,∠ABC的平分线BD交AC于点E,DE=　　　　. 

图K21-11
14.[2019·黄冈]如图K21-12,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O交AB于点D.过点D作☉O的切线交BC于点E,连接OE.
(1)求证:△DBE是等腰三角形;
(2)求证:△COE∽△CAB.

图K21-12

15.[2019·凉山州]如图K21-13,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.
(1)求证:BD2=AD·CD;
(2)若CD=6,AD=8,求MN的长.

图K21-13

|拓展提升|
16.[2019·眉山]如图K21-14,在菱形ABCD中,已知AB=4,∠ABC=60°,∠EAF=60°,点E在CB的延长线上,点F在DC的延长线上,有下列结论:①BE=CF;②∠EAB=∠CEF;③△ABE∽△EFC;④若∠BAE=15°,则点F到BC的距离为23-2,其中正确结论的个数是 (　　)

图K21-14
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
17.[2019·泸州]如图K21-15,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=15,点E在边CB上,CE=2EB,点D在边AB上,CD⊥AE,垂足为F,则AD的长为　　　　. 

图K21-15

【参考答案】
1.B
2.B　[解析]∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
∴ADAB=DEBC,即23=4BC,
解得BC=6,
故选:B.
3.B　[解析]三角形A1B1C1的各边长分别为1,2,5,A中三边长分别为:2,5,3,不能与三角形A1B1C1各边对应成比例,故两三角形不相似;B中三边长分别为:2,2,10,三边与三角形A1B1C1的各边对应成比例,故两三角形相似;C中三边长分别为:1,5,22,三边不与三角形A1B1C1各边对应成比例,故两三角形不相似;D中三边长分别为:2,5,13,三边不能与三角形A1B1C1各边对应成比例,故两三角形不相似,故选:B.
4.C　[解析]在△BAC和△ADC中,
∵∠C是公共角,∠CAD=∠B,
∴△BAC∽△ADC,
∵BCAC=2,∴S△ABCS△DAC=BCAC2=4,
又∵△ADC的面积为a,
∴△ABC的面积为4a,
∴△ABD的面积为3a.
5.C　[解析]根据DE∥BC,可得△ADN∽△ABM,△ANE∽△AMC,应用相似三角形的性质可得结论.
∵DN∥BM,∴△ADN∽△ABM,∴DNBM=ANAM,
∵NE∥MC,∴△ANE∽△AMC,
∴NEMC=ANAM,∴DNBM=NEMC.
故选C.
6.B　[解析]过点A作AD⊥y轴于点D,
∵∠ADC=∠COB=90°,∠ACD=∠BCO,
∴△OBC∽△DAC,∴OCOB=DCAD,
∴OC1=4-OC4,解得OC=45,
∴点C0,45.
7.A　[解析]如图,

∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形,
∴AD=DC=1,CE=2,AD∥CE,
∴△ADH∽△ECH,∴ADCE=DHCH,
∴12=DH1-DH,解得DH=13,
∴阴影部分的面积为12×13×1=16,
故选A.
8.A　[解析]∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°,∵菱形ABCD的边长为3,∠B=30°,
∴AE=12AB=12 3,BE=EF=AB2-AE2=1.5,∴BF=3,CF=BF-BC=3-3,
∵AD∥CF,∴△AGD∽△FGC,
∴DGCG=ADCF,∴3-CGCG=33-3,
解得CG=3-1,故选A.
9.12　10.4
11.(2,1)或(-2,-1)　[解析]以点O为位似中心,相似比为12,把△ABO缩小,点A的坐标是(4,2),则点A的对应点A1的坐标为4×12,2×12或-4×12,-2×12,即(2,1)或(-2,-1),
故答案为(2,1)或(-2,-1).
12.4∶25或9∶25　[解析]在▱ABCD中,∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF.
如图①,当AE∶DE=2∶3时,AE∶AD=2∶5,

∵AD=BC,∴AE∶BC=2∶5,
∴S△AEF∶S△CBF=4∶25;
如图②,当AE∶DE=3∶2时,AE∶AD=3∶5,

∵AD=BC,∴AE∶BC=3∶5,
∴S△AEF∶S△CBF=9∶25.
故答案为4∶25或9∶25.
13.95 5　[解析]∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,
∴∠CBD=∠D,∴CD=BC=6.
在Rt△ABC中,AC=AB2-BC2=102-62=8.
∵AB∥CD,∴△ABE∽△CDE,
∴CEAE=DEEB=CDAB=610=35,
∴CE=35AE,DE=35BE.
即CE=38AC=38×8=3.
在Rt△BCE中,BE=BC2+CE2=62+32=35.
∴DE=35BE=35×35=95 5.
14.证明:(1)连接OD.
∵DE是☉O的切线,
∴∠ODE=90°,
∴∠ADO+∠BDE=90°,
又∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,
∴∠BDE=∠B,
∴EB=ED,
∴△DBE是等腰三角形.
(2)∵∠ACB=90°,AC是☉O的直径,
∴CB是☉O的切线,
又∵DE是☉O的切线,∴DE=EC.
∵DE=EB,∴EC=EB.
∵OA=OC,
∴OE∥AB.
∴△COE∽△CAB.
15.[解析](1)利用两角分别相等证△DAB∽△DBC,再由相似性质得到结论;
(2)先利用相似性质与勾股定理求BD,AB的长,再借助角的关系得到△ABM是等边三角形,求得BM的长,最后利用相似和勾股定理求BC,CM,MN的长.
解:(1)证明:∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠BDC.
又∵∠ABD=∠BCD=90°,
∴△DAB∽△DBC,
∴BDCD=ADBD,∴BD2=AD·CD.
(2)由(1)可知:BD2=AD·CD.
∵CD=6,AD=8,∴BD=43.
又AD=8,
∴AB=AD2-BD2=82-(43)2=4,
∴AB=12AD,
∴∠ADB=30°,∠BDC=∠ADB=30°.
又∠ABD=∠BCD=90°,
∴∠A=∠DBC=60°.
∵BM∥CD,∴∠MBD=∠BDC=30°,
∴∠ABM=∠ABD-∠MBD=60°,
∴△ABM是等边三角形,故BM=AB=4.
∵△ABD∽△BCD,∴ABBC=DBCD,
∴BC=AB×CDDB=4×643=23.
∵BM∥CD,∴∠CBM=180°-∠BCD=90°,
∴CM=BM2+CB2=42+(23)2=27.
∵BM∥CD,∴△BMN∽△DCN,
∴MNCN=MBCD=46=23,
又CN+MN=CM=27,∴MN=45 7.
16.B　[解析]连接AC,在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵∠EAF=60°,
∴∠EAB+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°,
即∠EAB=∠CAF,
∵∠ABE=∠ACF=120°,
∴△ABE≌△ACF,∴BE=CF,故①正确;
由△ABE≌△ACF,可得AE=AF,
∵∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形,
∴∠AEF=60°,∴∠AEB+∠CEF=60°,
∵∠AEB+∠EAB=60°,
∴∠CEF=∠EAB,故②正确;
在△ABE中,∠AEB<60°,∠ECF=60°,∴③错误;
过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H,

∵∠EAB=15°,∠ABC=60°,
∴∠AEB=45°,
在Rt△AGB中,∵∠ABC=60°,AB=4,
∴BG=12AB=2,AG=3BG=23,
在Rt△AEG中,∵∠AEG=∠EAG=45°,
∴AG=GE=23,∴EB=EG-BG=23-2,
∵△AEB≌△AFC,
∴AE=AF,EB=CF=23-2,
在Rt△CHF中,∵∠HCF=180°-∠BCD=60°,CF=23-2,
∴FH=CF·sin60°=(23-2)×32=3-3.
∴点F到BC的距离为3-3.故④错误.
故选B.
17.92　[解析]过D作DH⊥AC于H,

∵在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=15,
∴AC=BC=15,∠CAD=45°,
∴AH=DH,∴CH=15-DH,
∵CF⊥AE,∴∠DHA=∠DFA=90°,
∴∠HAF=∠HDF,∴△ACE∽△DHC,
∴DHAC=CHCE,
∵CE=2EB,∴CE=10,∴DH15=15-DH10,
∴DH=9,∴AD=92.

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