轴向拉伸或压缩时的变形.pptx

2.8轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形一、拉压杆的轴向变形一、拉压杆的轴向变形FFll1bb1轴向变形轴向变形轴向线应变轴向线应变 拉为正拉为正实验表明，当实验表明，当 F 在一定的范围时，有：在一定的范围时，有：FNFN胡克定律胡克定律,E 称称弹性模量弹性模量或或杨氏模量杨氏模量,与应与应力有相同的量刚力有相同的量刚,EA 称杆的称杆的拉压刚度拉压刚度。二、拉压杆的横向变形二、拉压杆的横向变形FFll1bb1横向变形横向变形横向线应变横向线应变实验表明，实验表明，在胡克定律适用的范围时，有：在胡克定律适用的范围时，有：即即 横向线应变与轴向线应变恒异号，两者之横向线应变与轴向线应变恒异号，两者之比的绝对值为一常数，称为比的绝对值为一常数，称为泊松比泊松比。弹性模量弹性模量 E 和泊松比和泊松比都是材料的弹性常数，都是材料的弹性常数，由实验测得。由实验测得。例题例题例题例题1 1 1 1：图示为一变截面圆杆：图示为一变截面圆杆：图示为一变截面圆杆：图示为一变截面圆杆ABCDABCD。已知。已知。已知。已知F F1 1=20KN=20KN，F F2 2=35KN=35KN，F F3 3=35KN=35KN。l l1 1=l l3 3=300mm=300mm，l l2 2=400mm=400mm。d d1 1=12mm=12mm，d d2 2=16mm=16mm，d d3 3=24mm=24mm。试求：。试求：。试求：。试求：(1)111)11，2222，3333截面的轴力，作轴力图截面的轴力，作轴力图截面的轴力，作轴力图截面的轴力，作轴力图(2)(2)杆的最大正应力杆的最大正应力杆的最大正应力杆的最大正应力 maxmax(3)B(3)B截面的位移及截面的位移及截面的位移及截面的位移及ADAD杆的变形杆的变形杆的变形杆的变形F1F2F3112233l1l2l3ABCDF1F2F3112233l1l2l3ABCDR(1)11(1)11，2222，3333截面的轴力，作轴力图。截面的轴力，作轴力图。截面的轴力，作轴力图。截面的轴力，作轴力图。F1-F-FN1N1+F+F1 1=0=0F FN1N1=20KN=20KN（+）FN1F1F2F3112233l1l2l3ABCDRFN2=-15KN（-）FN1=20KN（+）FN3=-50KN（-）15+-2050F1F2F3112233l1l2l3ABCDR max max=176.8MPa =176.8MPa 发生在发生在发生在发生在ABAB段。段。段。段。FN2=-15KN（-）FN1=20KN（+）FN3=-50KN（-）(3)B(3)B截面的位移及截面的位移及截面的位移及截面的位移及ADAD杆的变形杆的变形杆的变形杆的变形F1F2F3112233l1l2l3ABCD例：图示等截面直杆，横截面面积为例：图示等截面直杆，横截面面积为A，弹性模量，弹性模量E，自重为，自重为W。杆的自由端受轴。杆的自由端受轴向力向力F作用，考虑杆的自重影响，求自由端作用，考虑杆的自重影响，求自由端 B 及杆中截面及杆中截面C 的轴向位移。的轴向位移。Fl/2l/2ABCx解：沿杆轴线建立坐标，可得轴力方程解：沿杆轴线建立坐标，可得轴力方程杆的上端杆的上端A是固定端，直杆变形时此截面的轴向位移为零是固定端，直杆变形时此截面的轴向位移为零,而杆内任一截面的轴向位移就是该截面到上端之间杆段的而杆内任一截面的轴向位移就是该截面到上端之间杆段的伸长量。伸长量。将将 x=l 和和 x=l/2 代入，得：代入，得：B、C 两截面的相对轴向位移为：两截面的相对轴向位移为：位移是力的线性函数位移是力的线性函数叠加原理适用叠加原理适用例：例：图示桁架，在节点图示桁架，在节点 A 承受铅直力承受铅直力 F 作用。已知：杆作用。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量用钢管制成，弹性模量 E1=200GPa，横截面面积，横截面面积 A1=100mm2，杆长，杆长 l1=1m；杆；杆2 用硬铝管制成，弹性模量用硬铝管制成，弹性模量E2=70GPa，横截面面积，横截面面积 A2=250mm2；载荷；载荷 F=10kN。试求节点的水平和铅直位移。试求节点的水平和铅直位移。FBCA45o21A2AA1AAA1A2AA4A545ol1l2解：取节点解：取节点A为研究对象，计算各杆的轴力为研究对象，计算各杆的轴力FAFN1FN 2(拉伸拉伸)(压缩压缩)节点节点 A 变形后的新位置变形后的新位置 A小变形小变形在小变形下，可用切线代替弧线，则在小变形下，可用切线代替弧线，则A 可视为可视为A的新位置的新位置由几何关系，可求得：由几何关系，可求得：拉压杆的变形主要是轴向变形拉压杆的变形主要是轴向变形,用线应变来度量变形程度。用线应变来度量变形程度。除轴向变形外还会有横向变形，且与轴向变形保持一定的除轴向变形外还会有横向变形，且与轴向变形保持一定的关系，即泊松效应。关系，即泊松效应。杆中任意点的位移与杆的变形可建立确定的关系，在小变杆中任意点的位移与杆的变形可建立确定的关系，在小变形下，分析一点位移路径时可用形下，分析一点位移路径时可用切线代替弧线切线代替弧线，使问题得，使问题得到简化。到简化。小变形线弹性下，叠加原理适用于变形计算。即多个力同小变形线弹性下，叠加原理适用于变形计算。即多个力同时作用引起的变形等于各个力单独作用引起的变形的叠加时作用引起的变形等于各个力单独作用引起的变形的叠加结果。结果。拉压杆的变形拉压杆的变形2-9 轴向拉伸或压缩的应变能轴向拉伸或压缩的应变能 应变能(strain energy)弹性体受力而变形时所积蓄的能量。弹性变形时认为，积蓄在弹性体内的应变能V在数值上等于外力所作功W，V=W。应变能的单位为 J（1J=1Nm）。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩拉杆(压杆)在线弹性范围内的应变能 或 外力F所作功：杆内应变能：第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩亦可写作 或 或 应变能密度 v单位体积内的应变能。应变能密度的单位为 J/m3。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩沿杆长均匀分布的荷载集度为 f轴力图第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩微段的分离体解：解：应变能 例题例题2-6 求例题2-5中所示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理(V=W)求结点A的位移A。已知：P=100 kN，杆长 l=2 m，杆的直径 d=25 mm，a=30，材料的弹性模量E=210 GPa。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩结点A的位移由 知第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩一、静定与超静定问题一、静定与超静定问题一、静定与超静定问题一、静定与超静定问题(Statically determinate&indeterminate problem)Statically determinate&indeterminate problem)2-10 拉伸、压缩超静定问题(Statically(Statically indeterminate problem of axially loaded members)indeterminate problem of axially loaded members)静定问题静定问题静定问题静定问题(Statically determinate problem)Statically determinate problem):杆件的轴力可以用静力平衡条件求出杆件的轴力可以用静力平衡条件求出杆件的轴力可以用静力平衡条件求出杆件的轴力可以用静力平衡条件求出,这种情况称作静这种情况称作静这种情况称作静这种情况称作静定问题。定问题。定问题。定问题。超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题(Statically indeterminate problem)Statically indeterminate problem):只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题。称做超静定问题。称做超静定问题。称做超静定问题。超静定的次数超静定的次数超静定的次数超静定的次数(times of(times of statically indeterminate problem)statically indeterminate problem):未知力数超过独立平衡方程数的数目未知力数超过独立平衡方程数的数目未知力数超过独立平衡方程数的数目未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数。称作超静定的次数。称作超静定的次数。称作超静定的次数。二、超静定问题求解方法二、超静定问题求解方法二、超静定问题求解方法二、超静定问题求解方法 (Solution methods for(Solution methods for statically indeterminate problemstatically indeterminate problem）解超静定问题的步骤解超静定问题的步骤解超静定问题的步骤解超静定问题的步骤(procedure for solving a(procedure for solving a statically indeterminate)statically indeterminate)1)1)确定静不定次数；列静力平衡方程确定静不定次数；列静力平衡方程确定静不定次数；列静力平衡方程确定静不定次数；列静力平衡方程2 2）根据）根据）根据）根据变形协调条件列变形几何方程变形协调条件列变形几何方程变形协调条件列变形几何方程变形协调条件列变形几何方程3 3 3 3）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程。得补充方程。得补充方程。得补充方程。4 4 4 4）联立补充方程与静力平衡方程求解。）联立补充方程与静力平衡方程求解。）联立补充方程与静力平衡方程求解。）联立补充方程与静力平衡方程求解。n=未知力的个数未知力的个数-独立平衡方程的数目独立平衡方程的数目 例题：设例题：设例题：设例题：设 1 1、2 2、3 3 三杆用绞链连结，如图所示、三杆用绞链连结，如图所示、三杆用绞链连结，如图所示、三杆用绞链连结，如图所示、l l1 1 1 1=l l2 2 2 2=l l，A A A A1 1 1 1 =A=A=A=A2 2 2 2=A,E=A,E=A,E=A,E1 1 1 1=E=E=E=E2 2 2 2=E,=E,=E,=E,3 3 杆的长度杆的长度杆的长度杆的长度 l l3 3 3 3,横截面积横截面积横截面积横截面积 A A A A3 3 3 3,弹性模量弹性模量弹性模量弹性模量 E E E E3 3 3 3。试求在沿铅垂方向的外力试求在沿铅垂方向的外力试求在沿铅垂方向的外力试求在沿铅垂方向的外力 F F F F 作用下各杆的轴力。作用下各杆的轴力。作用下各杆的轴力。作用下各杆的轴力。C CA AB BD DF F 1 12 23 3C CA AB BD DF F 1 12 23 3解：解：平衡平衡平衡平衡方程为方程为方程为方程为x xy yF FA AF FN2N2F FN3N3F FN1N1C CA AB BD DF F 1 12 23 3这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题由于问题在几何，物理及由于问题在几何，物理及由于问题在几何，物理及由于问题在几何，物理及 受力方面都是对称。所以变形后受力方面都是对称。所以变形后受力方面都是对称。所以变形后受力方面都是对称。所以变形后A A A A点将沿铅垂方向下移。点将沿铅垂方向下移。点将沿铅垂方向下移。点将沿铅垂方向下移。x xy yF FA AF FN2N2F FN3N3F FN1N1C CA AB BD DF F 1 12 23 3 A A1 12 23 3 补充方程为补充方程为C CA AB BD DF F 1 12 23 3 A A1 12 23 3 补充方程补充方程平衡平衡方程方程例题2.10，2.11（课本P43）A AB BC C1 12 23 3404080808080F F50507575变形协调变形协调变形协调变形协调条件？条件？条件？条件？变形后三根杆与梁变形后三根杆与梁变形后三根杆与梁变形后三根杆与梁仍绞接在一起。仍绞接在一起。仍绞接在一起。仍绞接在一起。变形几何变形几何变形几何变形几何方程？方程？方程？方程？