逻辑代数基础.pptx

2024/8/11 周日12.2 2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算 逻辑：一定的因果关系。逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法，是进行逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国数学家乔治布尔(George Boole)于1847年提出的,所以又称为布尔代数。逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，不同于普通代数。相同点：都用字母A、B、C表示变量；不同点：逻辑代数变量的取值范围仅为“0”和“1”，且无大小、正负之分。逻辑代数中的变量称为逻辑变量。“0”和“1”表示两种不同的逻辑状态：是和非、真和假、高电位和低电位、有和无、开和关等等。2024/8/11 周日21.1.三种基本逻辑运算三种基本逻辑运算(与与AND,AND,或或OR,OR,非非NOT)NOT)（1 1）与运算与运算 当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发生，这样的因果关系称为与逻辑关系，简称与逻辑。开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合灭闭合断开灭闭合闭合亮ABY000010100111表表1-61-6与逻辑的真值表与逻辑的真值表 A A、B B全1，Y Y才为1。串联开关电路功能表串联开关电路功能表 图图2-1(a)2-1(a)串联开关电路串联开关电路 设定逻辑变量并状态赋值：逻辑变量：A和B，对应两个开关的状态；1闭合，0断开；逻辑函数：Y，对应灯的状态，1灯亮，0灯灭。2024/8/11 周日3图图2-1(b)2-1(b)与逻辑的逻辑符号与逻辑的逻辑符号 逻辑表达式：YA BAB符号“”读作“与”（或读作“逻辑乘”）；在不致引起混淆的前提下，“”常被省略。实现与逻辑的电路称作与门，与逻辑和与门的逻辑符号如图1-1(b)所示，符号“&”表示与逻辑运算。2024/8/11 周日4 若开关数量增加，则逻辑变量增加。A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 101 0 001 0 101 1 001 1 11A A、B B、C C全1，Y Y才为1。YA B CABC2024/8/11 周日5（2 2）或运算或运算 当决定某一事件的所有条件中，只要有一个具备，该事件就会发生，这样的因果关系叫做或逻辑关系，简称或逻辑。开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合亮闭合断开亮闭合闭合亮ABY000011101111表表2-72-7或逻辑的真值表或逻辑的真值表 A、B有1，Y就为1。并联开关电路功能表并联开关电路功能表 图图2-2(a)2-2(a)并联开关电路并联开关电路 2024/8/11 周日6图图2-2(b)2-2(b)或逻辑的逻辑符号或逻辑的逻辑符号 逻辑表达式：YAB符号“”读作“或”（或读作“逻辑加”）。实现或逻辑的电路称作或门，或逻辑和或门的逻辑符号如图1-2(b)所示，符号“1”表示或逻辑运算。2024/8/11 周日7（3 3）非运算非运算 当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑关系，简称非逻辑。表表2-82-8非逻辑的真值表非逻辑的真值表 A与Y相反开关与灯并联电路功能表开关与灯并联电路功能表 图图2-3(a)2-3(a)开关与灯并联电路开关与灯并联电路 开关A灯Y断开亮闭合灭AY01102024/8/11 周日8图图2-3(b)2-3(b)非逻辑的逻辑符号非逻辑的逻辑符号 实现非逻辑的电路称作非门，非逻辑和非门的逻辑符号如图1-3(b)所示。逻辑符号中用小圆圈“。”表示非运算，符号中的“1”表示缓冲。逻辑表达式：Y YA A 或或 A A符号“”或“”读作“非”。2024/8/11 周日92.2.2.2.复合逻辑运算复合逻辑运算复合逻辑运算复合逻辑运算 在数字系统中，除应用与、或、非三种基本逻辑运算之外，还广泛应用与、或、非的不同组合，最常见的复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或和同或等。（1 1）与非运算与非运算“与”和“非”的复合运算称为与非运算。逻辑表达式：Y YABCABCA B CY0 0 010 0 110 1 010 1 111 0 011 0 111 1 011 1 10表表2-92-9与非逻辑的真值表与非逻辑的真值表 图2-4 与非逻辑的逻辑符号“有0必1，全1才0”2024/8/11 周日10（2 2）或非运算或非运算“或”和“非”的复合运算称为或非运算。逻辑表达式：Y YA A+B B+C CA B CY0 0 010 0 100 1 000 1 101 0 001 0 101 1 001 1 10表表2-102-10或非逻辑的真值表或非逻辑的真值表 “有1必0，全0才1”图2-5 或非逻辑的逻辑符号 或或(A+B+C)2024/8/11 周日11（3 3）与与或非运算或非运算“与”、“或”和“非”的复合运算称为与或非运算。逻辑表达式：Y YABAB+CD CD 或或 (AB+CD)(AB+CD)图图2-6 2-6 与或非逻辑的逻辑符号与或非逻辑的逻辑符号 2024/8/11 周日12（4）异或运算所谓异或运算，是指两个输入变量取值相同时输出为0，取值不相同时输出为1 1。表表2-112-11异或逻辑的真值表异或逻辑的真值表 “相同为0，相异为1”图图2-7 2-7 异或逻辑的逻辑符号异或逻辑的逻辑符号 逻辑表达式：Y Y=A AB B=A BA B+A BA B式中符号式中符号“”表示异或运算。表示异或运算。ABY0000111011102024/8/11 周日13（5）同或运算所谓同或运算，是指两个输入变量取值相同时输出为1，取值不相同时输出为0。表表2-122-12同或逻辑的真值表同或逻辑的真值表 “相同为1，相异为0”图图2-8 2-8 同或逻辑的逻辑符号同或逻辑的逻辑符号 ABY001010100111逻辑表达式：Y Y=A AB B=A BA B+A BA B=A AB B 式中符号式中符号“”表示同或运算。表示同或运算。2024/8/11 周日14复习与思考复习与思考请举出现实生活中与与、或或、非非的事例？两个变量的异或异或运算和同或运算同或运算之间是什么关系？2024/8/11 周日152.3 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.1 基本公式 2.3.2 若干常用公式 2.4 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律2.4.1 代入定理代入定理2.4.2 反演定理反演定理2.4.3 对偶定理对偶定理2024/8/11 周日162.3.1 2.3.1 基本公式基本公式（1）常量之间的关系 这些常量之间的关这些常量之间的关系，同时也体现了逻辑系，同时也体现了逻辑代数中的基本运算规则，代数中的基本运算规则，也叫做公理，它是人为也叫做公理，它是人为规定的，这样规定，既规定的，这样规定，既与逻辑思维的推理一致，与逻辑思维的推理一致，又与人们已经习惯了的又与人们已经习惯了的普通代数的运算规则相普通代数的运算规则相似。似。0 0=0 0+0=0 0 1=0 0+1=1 1 0=0 1+0=1 1 1=1 1+1=1 0=1 1=0 请特别注意请特别注意与普通代数与普通代数不同之处不同之处与或2024/8/11 周日17（2）常量与变量之间的关系普通代数结普通代数结果如何？果如何？（3）与普通代数相似的定理 交换律交换律AB=BAA+B=B+A结合律结合律A（BC）=（AB）CA+(B+C)=(A+B)+C分配律分配律A（B+C）=AB+ACA+(BC)=(A+B)(A+C)2024/8/11 周日18（4 4）特殊的定理）特殊的定理 De De morgen morgen定理定理表表2-16 2-16 反演律反演律(摩根定理摩根定理)真值表真值表2024/8/11 周日19表表2-15 2-15 逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式2024/8/11 周日202.3.2.常用公式 B B：互补：互补A A：公因子：公因子A A是是ABAB的因子的因子2024/8/11 周日21A A的反函数的反函数是因子是因子与互补变量与互补变量A A相与的相与的B B、C C是第三项是第三项添加项添加项2024/8/11 周日22常用公式 需记忆2024/8/11 周日23在任何一个包含A的逻辑式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这就是所谓的代入定理。2.4.1 代入定理代入定理推广利用代入规则可以扩大公式的应用范围。理论依据：任何一个逻辑函数也和任何一个逻辑变量一样，只有逻辑0和逻辑1两种取值。因此，可将逻辑函数作为一个逻辑变量对待。2024/8/11 周日24 2.4.2 2.4.2 反演定理反演定理运用反演定理时，要注意运算的优先顺序（先运用反演定理时，要注意运算的优先顺序（先括号、再相与，最后或）括号、再相与，最后或），必要时可加或减扩号。，必要时可加或减扩号。对任何一个逻辑表达式Y 作反演变换，可得Y 的反函数 Y。这个规则叫做反演定理。反演变换：“”“”“”“”“0”“1”“1”“0”，原变量反变量反变量原变量2024/8/11 周日25 对任何一个逻辑表达式Y 作对偶变换，可Y的对偶式Y。2.4.3 对偶定理 运用对偶定理时，同样应注意运算的优先顺序，必要时可加或减扩号。对偶变换：“”“”“”“”“0”“1”“1”“0”2024/8/11 周日26利用对偶定理，可以使要证明和记忆的公式数目减少一半。互为对偶式 对偶定理：对偶定理：若等式Y=W成立，则等式Y D=WD也成立。2024/8/11 周日27 逻辑代数的公式和运算法则逻辑代数的公式和运算法则 逻辑函数的相等：已知Y=F1(A、B、C、D)W=F2(A、B、C、D)问：问：Y=W的条件？的条件？仅当A、B、C、D的任一组取值所对应的的任一组取值所对应的Y和和W都都相同，具体表现为二者的真值表完全相同时，Y=W。等号“”不表示两边数值相等，仅表示一种等价、等效的逻辑关系。因为逻辑变量和逻辑函数的取值0和1是不能比较大小的，仅表示一种状态。结论：可用真值表验证逻辑函数是否相等。ABY000010100111ABW0010101001112024/8/11 周日28复习与思考复习与思考代入定理中对代入逻辑式的形式和复杂程度代入定理中对代入逻辑式的形式和复杂程度 有无限制有无限制？利用反演定理对逻辑式求反时，应如何处理变换的利用反演定理对逻辑式求反时，应如何处理变换的优先顺序和式中所有的非运算符优先顺序和式中所有的非运算符2024/8/11 周日292.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2.5.1 逻辑函数逻辑函数2.5.2 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2.5.3 逻辑函数的两种表示方法逻辑函数的两种表示方法2024/8/11 周日302.5.1 2.5.1 逻辑函数逻辑函数逻辑函数逻辑函数逻辑函数:Y=F(A,B,C,)例如:一个举重裁判电路Y=F(A,B,C)2024/8/11 周日312.5.2 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法一一.逻辑真值表逻辑真值表 二二.逻辑函数式逻辑函数式三三.逻辑图逻辑图五五.各种表示方法之间的转换各种表示方法之间的转换四四.波形图波形图2024/8/11 周日32一一.真值表真值表逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0A B C Y0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 10 10 11 01 0A YA Y一输入变一输入变量，二种量，二种组合组合二输入变二输入变量，四种量，四种组合组合三输入变三输入变量，八种量，八种组合组合2024/8/11 周日33真值表真值表（四输入变量）（四输入变量）逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法A B C D Y0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 10 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 1A B C D Y1 0 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1 0 11 1 1 1 1四输入变四输入变量，量，16种种组合组合2024/8/11 周日34二二.逻辑函数逻辑函数逻辑函数:Y=F(A,B,C,)例如:一个举重裁判电路Y=F(A,B,C)2024/8/11 周日35三三.逻辑图逻辑图 将逻辑函数式中各变量的与与、或或、非非等逻辑关系用图形符号表示出来。四四.波形图波形图 将逻辑函数输入变量的每一种可能出现的将逻辑函数输入变量的每一种可能出现的取值与对应的输出值按时间顺序依次排列起取值与对应的输出值按时间顺序依次排列起来，就得到了波形图（来，就得到了波形图（waveform or timing diagram)。2024/8/11 周日36五、各种表示方法的相互转换五、各种表示方法的相互转换1 1、逻辑电路图、逻辑电路图逻辑代数式逻辑代数式BABY=A B+ABA BA1&AB&112024/8/11 周日372 2、真值表、真值表逻辑代数式逻辑代数式Y=AB+AB+AB 真值表真值表 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0三种表示方式的相互转换三种表示方式的相互转换此逻辑代数式并非是最简单此逻辑代数式并非是最简单的形式，实际上此真值表是的形式，实际上此真值表是与非门的真值表，其逻辑代与非门的真值表，其逻辑代数式为数式为Y=AB因此，有一个化因此，有一个化简问题。简问题。2024/8/11 周日383.逻辑代数式逻辑代数式-逻辑图、真值表逻辑图、真值表Y=AB+AB1 11 1&11A AB BY Y 逻辑电路图逻辑电路图:Y=AB+AB真值表真值表ABY0000111011102024/8/11 周日39逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法五五种种表表示示方方法法Y=AB+ABY=AB+AB逻辑代数式逻辑代数式(逻辑表示式逻辑表示式,逻辑函数式逻辑函数式)1 11 1&11A AB BY Y 逻辑电路图逻辑电路图:波形图、卡诺图波形图、卡诺图 将逻辑函数输入变量取值的不同组合与将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。的表格。N N个输入变量个输入变量 种组合种组合。真值表：真值表：2024/8/11 周日40作业题作业题 (P58)(P58)1、题2.1双号题2、题2.34、题2.75、题2.9