复习-1--最大无关组2--秩3--求秩和最大无关组.pptx

复习复习1.最大无关组最大无关组2.秩秩3.求秩和最大无关组求秩和最大无关组最大性最大性无关性无关性不唯一，但所含不唯一，但所含向量个数唯一向量个数唯一Th5可被线性表出的可被线性表出的秩小秩小 向量组的秩向量组的秩=矩阵的秩矩阵的秩=行秩行秩=列秩列秩两等价的线性无关两等价的线性无关向量组含向量个数相同向量组含向量个数相同 任任n+1个线性相关个线性相关 再添一个就线性相关再添一个就线性相关 A 能由能由A0 线性表示线性表示简单性质简单性质等价组等秩等价组等秩与最大无关组等价的与最大无关组等价的线性无关组也是最大无关组线性无关组也是最大无关组矩阵秩的性质矩阵秩的性质证证(3)AX=0 的解是的解是 ATAX=0 的解的解;ATAX=0 的解是的解是AX=0 的解的解;请自证请自证P.124 例例15BX=0 的解都是的解都是AX=0 的解的解 A 的行组可由的行组可由B 的行组的行组线性表示线性表示 R(A)R(B)同解同解=证证(5)若若R(A)=n,则则 A可逆可逆若若R(A)=n1,又又 R(A)=n1，A至少有一个代数余子式至少有一个代数余子式0若若R(A)n1,即即(4).P.129 21题题证证(6)两端同左乘两端同左乘An:两端同左乘两端同左乘 An-1-1:可得可得Th4(3)(3)矛盾矛盾同理同理 n+1个个n 维维向量向量证证(9)定理定理5推论推论2P.128习习题题11例例1证证证明矩阵证明矩阵A=0=0的常用方法：的常用方法：利用矩阵的运算利用矩阵的运算 证明证明 R(A)=0 例例2证证例例3证证R(AE)=R(EA),故只需证故只需证 R(A)+R(EA)n,且且 R(A)+R(EA)n R(A)+R(EA)n,又又 E=A+(E A),n=R(E)=R A+(E A)R(E)+R(E A),P129.题题211.向量空间向量空间定义定义1 设设V 是是 n 维向量的非空集合，若维向量的非空集合，若V 对于向量加法对于向量加法及数乘两种运算封闭，及数乘两种运算封闭，则称集合则称集合V 为为 n 维向量空间维向量空间,简称为简称为向量空间向量空间。4 向量空间向量空间例例1(P.112 例例8)解解zxy?例例2(P.113 例例9)(P.113 例例10)例例3(P.113 例例11)由向量由向量 生成的向量空间生成的向量空间向量向量 a,b 线性组合的全体线性组合的全体 由向量由向量 a,b 生成的向量空间生成的向量空间例例4(P.113 例例12)证证等价的向量组生成相同的向量空间等价的向量组生成相同的向量空间A 的最大无关组的最大无关组 A0 生成的向量空间生成的向量空间 L(A0)?=L(A)2.子空间子空间 W、V 为为 向量空间向量空间,例如例如若若W V,则称则称W 是是V 的的子空间子空间.V 的最大无关组的最大无关组3.向量空间的基与维数向量空间的基与维数定义定义3满足满足基基。任意任意 n+1 个个n 维向量是线性相关的维向量是线性相关的向量空间的维数向量空间的维数 其向量的维数其向量的维数并称并称 V 为为 r 维向量空间维向量空间。=V 的秩的秩 基中所含向量个数基中所含向量个数 r 称为向量空间的称为向量空间的维数维数。向量空间的基不唯一，向量空间的基不唯一，但任两个基都等价但任两个基都等价.向向量量空空间间可可由由其其基基生生成成若向量空间若向量空间V的基为的基为n 维维向量空间向量空间只含零向量的集合只含零向量的集合 向量空间向量空间 0 维维例如例如展现了展现了V 的构造的构造事实上事实上,任意任意 n 个线性无关的个线性无关的n 维向量都是维向量都是R n 的基的基.且向量在不同基下的坐标且向量在不同基下的坐标也不一样也不一样.定义定义4 设设注注 1.1.向量在一组确定的基下的坐标是惟一的向量在一组确定的基下的坐标是惟一的.3.3.向量空间的基不惟一向量空间的基不惟一,你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？2.2.向量在一组基下的坐标如何求？向量在一组基下的坐标如何求？一般有两种求法：待定系数法与矩阵方程法。一般有两种求法：待定系数法与矩阵方程法。坐标坐标。4.向量在基下的坐标向量在基下的坐标(为什么为什么?)例例5(P.115 例例13)解解 X即即?不共面不共面 3 1 2 仿射坐标仿射坐标i j k1 2 31 2 31 2 31 2 3两组基之间两组基之间的过渡矩阵的过渡矩阵B 是齐次线性是齐次线性方程组的解，则称方程组的解，则称 为其为其非零解非零解,也称为也称为非零解向量非零解向量。有解判定定理有解判定定理5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构一、齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构1、解的性质、解的性质 若非零向量若非零向量?维数维数 则则V V 构成一个向量空间。构成一个向量空间。1、维数？、维数？2、基？、基？性质性质2的的解空间解空间性质性质1 齐次线性方程组的两个解的和仍是方程组的解齐次线性方程组的两个解的和仍是方程组的解.即：即：则方程组的则方程组的全部解全部解就是就是也称其为方程组的也称其为方程组的通解通解。求求方方程程组组的的全全部部解解,只只需需求求出出其其一一组组基基 如何求一组基？如何求一组基？解空间解空间