微积分解题方法选讲市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

微积分解题方法选讲微积分解题方法选讲第1页引引 言言1.开课目标 中国数学会自起于每年10月底举行全国大学生数学竞赛。在已经举行三届全国大学生数学竞赛中，安徽理工大学取得了很好成绩。年，安徽理工大学成为安徽赛区三个考点之一。前3年竞赛选拔、培训均从9月份开第2页始，时间比较慌忙，致使选拔步骤存在不少问题，培训也不太充分。适逢学校实施学分制，各院系能够自主开设各类公共选修课。教务处破例允许数学系对一年级学生开设“微积分解题方法选讲”公选课，目标是及早进行数学竞赛选拔、培训，使选拔和培训工作更合理、充分，力争安徽理工大学在全国大学生数学竞赛中取得更加好成绩。第3页2.讲课方式讲课方式 因为上课学生较多，不可能像正式培训那样为每个学生提供纸质资料，批改作业。本课程拟采取以下讲课方式：(1)学生按教师要求对下次讲课所包括到概念、方法进行复习；(2)教师在课堂上对重点问题、主要题目进行详细讲解，学生做对应课堂练习；第4页 (3)课后学生要仔细研读课堂所讲内容,独立动手演算例题，认真完成作业；作业每七天交一次，次周会对作业进行讲评；(4)本课程将有两次单元测验和一次最终选拔考试。本课程PPT及相关电子资料见信箱: MM:matlabmaple第5页3.讲课内容及特点讲课内容及特点 考虑到与学生现在所学高数内容衔接，本课程只讲授高数下内容，包含：空间解析几何，多元函数微积分及其应用，级数和常微分方程。因为本课程属竞赛培训性质，依据竞赛要求，本课程讲课内容有以下特点：(1)宽本课程要介绍一些书本上没有包括到内容，如重积分换元法，正第6页项级数广义比较审敛法等；(2)难本课程所讲例题及作业大部分难度较大；(3)繁部分题目中计算相当繁琐,如多元微分学中变量代换,多元积分学中应用问题等。第7页4.课程考评及最终选拔课程考评及最终选拔 因为本课程实际上是为数学竞赛选拔而专门开设公选课，所以本课程考评方式是最终选拔赛。正式参赛50名学生将依据选拔赛成绩、单元测验成绩、期末成绩及完成作业情况而选拔产生。正式名单放假前公布。欢迎名单外学生参加听课、选拔、参赛。第8页一、空间解析几何一、空间解析几何第9页 空间解析几何不是全国大学生数学竞赛重点内容，所占百分比很小。有时仅将此内容与多元函数微分学几何应用、多元函数积分学结合考查，并不单独命题。空间解析几何重点要掌握内容是：旋转曲面方程；点到直线距离；异面直线间距离；异面直线公垂线方程。第10页1.旋转曲面方程旋转曲面方程 本部分要求了解、掌握建立旋转曲面方程思绪和方法，尤其要注意空间曲线绕非坐标轴旋转而成旋转曲面。例例1 设曲线L是抛物柱面 x=2y2与平面 x+z=1交线。(1)求曲线L在各坐标面上投影曲线;(2)求曲线L分别绕各坐标轴旋转一周而成旋转曲面方程。第11页第12页 如图，设旋转曲面S上某一点M(x,y,z)由空间曲线C上点 M1(x0,y0,z0)绕z轴旋转所生成。依据旋转曲面概念，z=z0，且这两点到z轴距离相等。将C写为z参数方程再令 ，即得旋转曲面方程第13页 例例2 求直线 绕z轴旋转一周所得旋转曲面方程。练习练习1 求直线 在平面 上投影绕y旋转而成旋转曲面方程。练习练习2 求直线 绕直线 l0:x=y=z 旋转一周所得旋转曲面方程。第14页2.点到直线距离点到直线距离 点到直线距离是诸如转动惯量等问题基础。设M0为直线L外一点，M是L上一点，且L方向向量为s，试证：M0到L距离证证 ，第15页第一周作业第一周作业 1.研读本PPT，独立完成全部例题。2.完成第一部分6 个练习和第二部分练习1。3.预研第二部分例4和例5。4.预习多元隐函数求导内容。第16页 例例3 求点 到直线距离。练习练习3 用三种方法求 到直线距离。第17页3.直线到直线距离直线到直线距离 直线到直线距离问题是空间解析几何中比较主要问题。在计算前最好用混合积判断一下两直线是平行还是异面。例例4 求两直线间距离。第18页 练习练习4 用三种方法求两直线间距离。第19页4.求异面直线公垂线方程求异面直线公垂线方程 求异面直线公垂线方程也是空间解析几何中比较主要、有一定难度问题。例例5 求两直线公垂线方程。第20页 练习练习5 用两种方法求两直线公垂线方程。练习练习6 平面经过两直线公垂线L，且平行于向量c=1,0,-1，求此平面。第21页二、多元函数微分学及应用二、多元函数微分学及应用第22页 多元函数微分学及其应用是竞赛中比较主要内容，百分比约占15%。多元函数微分学及其应用重点要掌握内容是：复合函数和隐函数求导法；几何应用；多元函数极值。要尤其注意几何应用、多元函数极值与其它内容相结合综合问题。第23页1.偏导数与可微概念偏导数与可微概念 本部分要求了解多元函数连续、偏导数、微分等概念及其相互关系；掌握用定义判断偏导存在、可微方法。第24页 例例1 证实 在(0,0)处连续、偏导数存在，但不可微。练习练习1 证实在(0,0)处可微，但偏导并不连续。第25页2.多元复合函数偏导数计算多元复合函数偏导数计算 本部分要求熟练掌握多元复合函数偏导数计算，尤其要注意二阶偏导数计算以及自变量变换问题。例例2 设 ，其中f 可微，求 此题要尤其注意计算中可能错误。第26页 例例3 设 求 。(1)在计算多层复合函数偏导时，最好先依据函数树图搞清函数复合结构。(2)当复合层次较多时，利用全微分形式不变性求偏导数较方便且不易错。第27页 例例4 设变换 可把方程简化为 ，其中 二阶偏导连续，求常数a。注注 这类题关键是将新引入变量u,v作为中间变量，然后利用复合函数求导法计算；难点是二阶偏导数计算。第28页 例例5 设 一阶偏导连续，做变换 ，证实：例例6 设 ，将以下方程变换为w=w(u,v)方程其中z(x,y)二阶偏导连续。第29页 练习练习2 设变换 将方程 化为 ，求a并解此方程，其中z(x,y)二阶偏导连续。练习练习3 设 ，u(x,y)二阶偏导连续。(1)将 分别变换为极坐标 下表示式；第30页 (2)设 ，解方程 。练习练习4 试用变量代换将 方程化为 方程。第31页3.隐函数求导法隐函数求导法 隐函数求导法是竞赛中常考内容。本部分要求熟练掌握各种形式隐函数一阶和二阶偏导数计算。例例7 设 由方程 确定，求 。第32页第二周作业第二周作业 1.研读本PPT中新内容，独立完成全部例题。2.完成第二部分练习210。第33页 本题为隐函数求导中经典问题，通常有三种做法：(1)公式法；(2)两边求导法；(3)微分法。考虑到学生计算能力，提议采取公式法。例例8 设y=f(x,t)，而t是由方程F(x,y,t)=0所确定x,y函数，其中f,F均一阶偏导连续，证实：第34页 练习练习5 设z=z(x,y)是由确定含有连续二阶偏导隐函数，且F1=F20。求证：(1)；(2)。本题为第3届预赛试题。第35页 练习练习6 设z=f(u,v)二阶偏导连续，且又x=x(y,z)是由z=f(x,y)确定函数，求 第36页4.多元函数微分法几何应用多元函数微分法几何应用 多元函数微分法几何应用在竞赛中往往与多元函数极值、线面积分等内容综合考查。例例9 求曲线 在点P(1,1,1)处切线与法平面方程。例例10 证实:曲面F(ax+bz,by+cz)=0切平面均平行于某定直线，F一阶偏导连续。第37页 练习练习7 过点(2,0,0)引曲面 切线，求全部切线组成曲面。练习练习8 证实:曲面 切平面均过一定点，f一阶偏导连续。第38页5.多元函数极值多元函数极值 多元函数极值几乎是竞赛中必考内容，通常与几何应用、多元函数积分学应用等内容综合考查。例例11 抛物面 被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆最长与最短距离。例例12 求椭球面 在第一卦限点，使该点切平面被三坐标面截出第39页三角形面积最小。练习练习9 在椭球面 上求一点，使函数 在该点沿方向 方向导数最大。练习练习10 设锥面 ，平面 ，求以点P为中心与相切球面方程及切点坐标，其中P是S上到距离最小点。第40页三、多元函数积分学及应用三、多元函数积分学及应用第41页 多元函数积分学及其应用是竞赛中非常主要内容，百分比约占15%。对多元函数积分学及其应用部分，除了要熟悉重积分、两类线面积分计算方法外，要尤其注意Green公式(积分与路径无关)和Gauss公式、多元函数积分学物理应用(质心、转动惯量、功)。第42页1.重积分计算及应用重积分计算及应用 本部分要求熟练掌握二重和三重积分各种计算方法，熟悉重积分在几何和物理上应用。另外，最好还要知晓重积分轮换对称性和换元法。下面首先以二重积分为例介绍轮换对称性和换元法。第43页 (1)轮换对称性轮换对称性 若D和D1关于y=x对称，则 若D关于y=x对称，则 轮换对称性在计算一些特殊二重积分时有着尤其作用。第44页 例例1 计算积分其中 。注注 本题也可用通常方法计算。例例2 求 ，其中f(t)为定义在 上连续正值函数，a0,b0，。注注 本题无法用普通方法计算。第45页 例例3 设f(x)在0,1上正值递减，试证 注注 本题关键是将其转换为二重积分问题。第46页 (2)二重积分换元法二重积分换元法 若变换x=x(u,v),y=y(u,v)将uOv面上区域变成xOy面上区域D，则其中，为Jacobi行列式。例例4 计算 注注 本题是经典换元法。第47页第三周作业第三周作业 1.研读本PPT中新内容，独立完成全部例题。2.完成第三部分练习110。第48页 例例5 设f(x)连续，证实其中 。例例6 设f(x)连续，证实其中 。注注 本题与练习7类似，难度较大，所用方法也较为独特。第49页 解解 依据题意，令 ，即考虑到这相当于将向量(x,y)T顺时针旋转了，故令 ，即这相当于将向量(u,v)T逆时针旋转了。(相关内容见线性代数教材P49)第50页而D变为 ，故第51页第52页第53页 (3)重积分计算与应用重积分计算与应用 数学竞赛中单独考查重积分计算可能性较小，往往与多元函数极值、几何与物理应用等问题相结合。例例7 求其中 。例例8 求其中 。第54页 例例9 求 例例10 设抛物面 及圆柱面 。(1)求 一个切平面，使它与 及 围成立体 体积最小。(2)当由(1)确定最小体积立体 上有质量分布，其密度为1，求 质心。第55页 练习练习1 计算积分其中 。练习练习2 求 ，其中 练习练习3 证实：第56页 练习练习4 求 练习练习5 计算其中D由直线x+y=1与两坐标轴所围三角形区域。本题为第一届预赛第1题。第57页 练习练习6 证实：练习练习7 证实：其中 。本题与第3届预赛中一个难题类似。第58页第59页 练习练习8 求 练习练习9 求其中 为常数。练习练习10 设曲面 。(1)S1将 S2分成三块，求这三块曲面面积。(2)记 ，求 位于S1内部分体积V。第60页第61页2.线面积分计算及应用线面积分计算及应用 本部分要求熟练掌握两类线面积分计算方法，熟悉第1,2类线积分及第1类面积分在物理上应用，尤其要注意格林公式和高斯公式及其应用问题。这里还要提醒各位，两类线积分尤其是两类面积分间联络在求解特定问题时会起到特殊作用。第62页 (1)线积分计算与格林公式线积分计算与格林公式 例例1 设曲线 是球面 与平面 交线，试求 。例例2 设 ，L为D正向边界，试证：注注 此题与第一届真题类似，但后一问做法有所不一样。第63页 例例3 设函数 导数连续，在围绕原点任意光滑简单闭曲线C上，曲线积分值为常数。(1)设L为正向闭曲线 ，证实 (2)求函数 。第64页 (3)设C是围绕原点光滑简单正向闭曲线，求 注注 此题为真题。例例4 求 ，其中L为自A(-1,0)沿y=x2-1至B(2,3)曲线弧。注注 此题为习题集上许多学生疑惑一个问题。第65页 例例5 设函数 导数连续，对平面上任一分段光滑曲线L，曲线积分I=与路径无关。(1)当 时，求 (2)设L为从点O(0,0)到 分段光滑曲线，计算I。注注 此题为与微分方程结合经典题。第66页 例例6 设 在 上导数连续，求其中L是从点 到点B(1,2)直线段。注注 请注意此题解题思绪。第67页 (2)面积分计算与高斯公式面积分计算与高斯公式 例例7 设S是椭球面 上半部分 ，为S在P点处切平面，为原点到 距离，求 注注 此题为常见综合题。第68页 例例8 设S是上半椭球面 点 ，为S在P点处切平面，为原点到 距离，求 (1)(2)注注 注意问题(2)中所用内容。第69页 例例9 计算曲面积分其中 为曲面 夹于平面 间部分外侧。例例10 求其中S+是曲面 上侧。第70页 练习练习1 设 ，L为D正向边界，试证：(1)(2)练习练习2 已知 (常数)，其中 可导且 ，L是绕原点(0,0)一周任意正向闭曲线，求 及A。第71页 练习练习3 求 练习练习4 设 二阶导数连续，其中为平面上任一简单封闭曲线。(1)求 ，使 ；(2)计算沿任一条曲线从点(0,0)到(1,1)积分。第72页 练习练习5 求 ，其中 是原点到S上点(x,y,z)处切平面距离。练习练习6 计算 。练习练习7 求 ，其中 是曲面 是 在点(x,y,z)处法线与z轴正向夹角，。第73页 练习练习8 求 ，S是由曲面 及两平面 所围成立体表面外侧。练习练习9 计算 ，为下半球面 上侧。第74页 练习练习10 已知点 ，是由直线AB 绕z 旋转一周而成旋转曲面介于 平面间部分外侧，函数 在 内导数连续，计算曲面积分 第75页