双曲线知识点归纳总结.doc

选修1-1

第二章 2.3 双曲线

双曲线
标准方程（焦点在轴）

标准方程（焦点在轴）

定义
第一定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
P

P

第二定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数，当时，动点的轨迹是双曲线。定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数（）叫做双曲线的离心率。
P

P

P

P

范围
，
，
对称轴
轴 ，轴；实轴长为,虚轴长为
对称中心
原点
焦点坐标

焦点在实轴上，；焦距：
顶点坐标
（,0） (,0)
(0, ,) (0，)
离心率
1)
准线方程

准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
顶点到准线的距离
顶点（）到准线（）的距离为
顶点（）到准线（）的距离为
焦点到准线的距离
焦点（）到准线（）的距离为
焦点（）到准线（）的距离为
渐近线
方程

共渐近线的双曲线系方程
（）
（）
1. 双曲线的定义
①　 当|MF1|－|MF2|=2a时，则表示点在双曲线右支上；
当时，则表示点在双曲线左支上；
②　 注意定义中的“（小于）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。

若2a=2时，即,当，动点轨迹是以为端点向右延伸的一条射线；当时，动点轨迹是以为端点向左延伸的一条射线；
若2a＞2时，动点轨迹不存在.
2. 双曲线的标准方程判别方法是：
如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；
如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.
对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
3. 双曲线的内外部
(1)点在双曲线的内部.
(2)点在双曲线的外部.
4. 形如的方程可化为
当，双曲线的焦点在轴上；
当，双曲线的焦点在轴上；

5.求双曲线的标准方程，
应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
6. 离心率与渐近线之间的关系

1） 2）
7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为渐近线方程：.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.
(4)与双曲线共渐近线的双曲线系方程是
(5)与双曲线共焦点的双曲线系方程是
(6)当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；
8. 双曲线的切线方程
(1)双曲线上一点处的切线方程是.
（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.
（3）双曲线与直线相切的条件是.
9. 直线与双曲线的位置关系
直线： 双曲线C：（＞0，＞0）

1) 当，即时，直线与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C相交于一点；
2) 当b2-a2k2≠0，即时，△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)
①　 时，直线与双曲线相交，有两个公共点
②　 时，直线与双曲线相切，有且仅有一个公共点
③　 时，直线与双曲线相离，无公共点
3) 直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗?为什么?（不一定）

10. 关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法
直线： 双曲线C：（＞0，＞0）
①　 联立方程法：

设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出，
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如
a. 相交弦AB的弦长

或
b. 中点, ，
②　 点差法：
设交点坐标为，，代入双曲线方程，得

将两式相减，可得

a. 在涉及斜率问题时，
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，
即，
11. 焦点三角形面积公式：。

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