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第二章 群表示理论

§2.12 表示的直积
矩阵的直积
（1）定义
例如：
，
则

维数（阶）n×m
（2）定理
若，，则有

直积表示
（1）定义：群G的两个表示，表示矩阵为
Da(A)， Db(A)
则表示矩阵的直积，也是群G的一个表示
Da(A)Db(A)
称为直积表示（一般是可约表示）。
（2）直积表示的特征标
（2.12-6）
（3）直积表示的约化
（2.6-6）
即
（4）直积表示的基函数
若直积表示 D(A)= Di(A)Dj(A)，
不可约表示的基函数分别为
Di ：{、、…、}
Dj ：{、、…、}
则直积表示有个基函数，分别是
（2.12-10）

§2.13 直积群的表示
复习：§1.5 直积群
Ga={E, A2, A3, …, Aga}
Gb={E, B2, B3, …, Bgb}
则阶的直积群
G= GaGb
={EGb, A2Gb, A3Gb, …, AgaGb }
={E,B2,…, Bgb,A2,A2B2,…A2Bgb,…, AgaBgb }

（1）两个可对易群的表示的直积，是直积群的表示。
（2）直积群表示的特征标，是可对易群的表示的特征标的乘积

（3）若Da和Db分别是群Ga和Gb的不可约表示，则
D=DaDb
是直积群 G= GaGb
的不可约表示。
（4）若群G= GaGb，则群G的所有不可约表示，是Ga与Gb的所有不可约表示的直积。
例如：
（a）群C2h={E, c2, I, Ic2=σh}
C2h=C2Ci

则直积群的不可约表示和特征标表为

（b）
其中O群是立方体的完全转动群。

（5）直积群表示的基函数
Da ：{、、…、}
Db ：{、、…、}
则直积表示有个基函数，分别是
（2.13-9）

§2.14 实表示
定义
（1）复共轭表示
若DG是群G的一个表示，例如表示矩阵为

其复共轭矩阵为

这一组矩阵记作DG*。可以证明：
(a) DG*也是群G的一个表示；
(b) 若DiG是群G的一个不可约表示，则DiG*也是群G的一个不可约表示；
(c) 若DG是一个么正表示，即
，
则DG*也是一个么正表示。
表示DG*称作群G的复共轭表示。

（2）实表示
(a) 若表示DG*与DG等价，而且都等价于同一组实数的表示矩阵，那么，表示DG就称为实表示。
例如：

若等价，则

即
特殊的：对角元为相同实数的两个复矩阵，
一定是等价的。

(b) 若表示DG*与DG等价，但却不等价于同一组实数的表示矩阵，或者说不等价于一实表示，那么，表示DG不是实表示。

定理1
若DG与DG*是群G的等价的不可约表示，即存在矩阵C，使得
D(R)*=CD(R)C-1， （2.14-1）
那么
（I）
相似变换矩阵一定是对称的或反对称的；
（II）

定理2 设群G的不可约表示DG的特征标为，那么

这是群G的不可约表示DG与DG*是否等价、是否为实表示的一个判据。

例如：D3群

恒等表示
二维表示 ，

所以，D3群的上述表示与其复共轭是等价的，并且与一个实矩阵表示等价，是实表示。

又例如：一个3阶群的一维表示为
1，ω，ω2
其中 .
对应的复共轭表示为
1，ω2，ω
这两个表示是否等价、是否为实表示？
判据：一维表示 1，ω，ω2

所以，表示 1，ω，ω2
与其复共轭表示 1，ω2，ω
是不等价的复表示
（不等价就不可能是实表示）。

第三章 完全转动群
§3.1 三维空间中的正交群
§3.1.1 三维转动矩阵
定义
（1）矢量的转动

如果保持任意两个矢量变换前后内积不变
（3.1-1）
称算符A为转动算符。
注意：转动包括正当转动（完全转动）与
非正当转动（镜面反映、中心反演等）

转动算符A的三维转动矩阵：
三维坐标空间中的矢量

（基矢或基函数记作一个行矩阵）。

在三维坐标空间写为

其中

称为三维转动矩阵，都是实数。

（2）基矢的转动
一组基矢用一个行矩阵表示

算符B作用于基矢，得到

矩阵形式

其中
比较：

矢量转动A与基矢转动B之间的等效关系

则 B=A-1
证明：

写成矩阵形式

代入
，

得到

有 BA=I0
所以 B=A-1

转动矩阵A的性质
（1）A是么正矩阵
这是保持任意两个矢量变换前后内积不变（保持任一矢量长度不变、任意两个矢量之间夹角不变）的要求。
证明：

则
转动算符是么正算符；
转动矩阵是么正矩阵。

（2）矩阵元之间存在正交归一关系
么正矩阵 ，
对于实矩阵 ，
即 ，
即 ，
表示矩阵元对列正交归一、对行正交归一。
实的么正矩阵是正交矩阵（）。
行或列的正交归一关系有6个，所以，转动矩阵元中只有3个元是独立的。

（3）转动矩阵的行列式detA=±1

所以 ，detA=±1.
转动包括正当转动 detA = +1;
非正当转动 detA = -1.

§3.1.2 正当转动
三维正当转动群SO(3)
（I）所有的满足detR=1的转动的集合构成群，称为正当转动群，或完全转动群。
SO(3)群描述球对称系统的转动对称性。

（II）正当转动相当于刚体转动
转动矩阵
转轴的单位矢 ，
方向余弦满足 ；
转动矩阵中含有3个独立参量。

把矢量记作一列矩阵，算符记作一个方阵：

一个方阵可以记作一个并矢

用并矢表示为

下面推导转动矩阵：
（3.1-24）

则正当转动矩阵对应的并矢为
（3.1-35）
下面把正当转动算符的并矢写成矩阵形式：

则正当转动矩阵为

可以验证满足detR=1，
三维正当转动群SO(3)的阶g=∞.
例如：
（1）转轴为z轴（，，）

（2）转轴为x轴（，，）

§3.1.3 非正当转动
非正当转动矩阵的行列式
detS = -1
仅由非正当转动，不能构成群。

非正当转动有两个相互有关的基本转动：
中心反演I、镜面反映（反射）σ
其中
，
性质：
（1）两个非正当转动的连续作用，是一个正当转动。
II = E，Iσ= C2, σσ= E
（2）一个非正当转动与一个正当转动连续作用，是一个非正当转动。
IC2 =σh
（3）非正当转动把右手坐标系变成为左手坐标系。
例如：若 ，则
，

§3.1.4 三维空间中的正交群
三维空间中全部的正当转动与非正当转动，构成一个群，称为三维空间中的正交群，或称为三维转动反演群。记作O(3).
三维空间中全部的正当转动，构成三维空间中的正当转动群，或称为三维完全转动群。记作SO(3).

SO(3)是O(3)的不变子群。
中心反演群Ci={E,I}也是O(3)的不变子群。
O(3)是SO(3)与Ci的直积群
O(3) = SO(3)Ci

§3.2 完全转动群SO(3)的不可约表示
函数变换算符PR
（1）由得到 和
绕z轴的一个小角度转动

对应的小角度函数变换算符

得到

对于有限大小的转角，有
（3.2-5）

（2）及其相应的

其中S满足 ，即

对应的函数变换算符

将代入，得到

可以证明
（3.2-17）
则 （3.2-18）

完全转动群SO(3)的不可约表示
SO(3)群描述球对称系统的转动对称性，
群阶g = ∞，类c = ∞
[ p.21，(7)
对于含转动操作的群，转角相同而转轴可由群中的元转成一致的，属同一类。]
SO(3)群中所有转角相同的转动，属同一类。
不可约表示数 r = c = ∞.

下面由构造SO(3)群的表示。
（1）基函数取为
首先分析一定的个球谐函数，在作用下构成一个维的完备的表示空间：
由于

又 ，
所以 .
则

即仍然是本征值为的本征函数，必然可以由这个球谐函数展开。所以，一定的个球谐函数，在作用下构成一个维的完备的表示空间。
同时，展开的这个维表示空间，维数不能再降低，所以这个维的表示是不可约表示。

表示的构造：

对于一定的，有个球谐函数，形成一个维的表示。作为表示的记号。
局限性：只有奇数维的不可约表示。

表示的特征标：
绕不同轴转相同角度的操作，属同一类。
选取绕z轴转α角的操作，分析特征标。

又
所以

得到第m列的表示矩阵元
（3.2-28）
表示矩阵为

则第个表示中，转角为α类的特征标为

特征标表（示意）

（2）用欧拉角表征正当转动
欧拉角的定义

任意的一个转动

等价于对固定坐标轴的转动

证明：转角相同的转动都是共轭的，有

又
即

则

用欧拉角表示的正当转动矩阵

可以验证

对应的函数变换算符为

也可以选用球谐函数构造的表示。

方向余弦及转角与欧拉角的关系
，
，
作业1和2：第三章习题3和5

§3.3 二维幺模幺正群SU(2)
二维幺模幺正矩阵u
若二维矩阵，满足
（1）； （2）det u=1
则矩阵u称为二维幺模幺正矩阵。

矩阵元之间的关系

即
以及
解得 ，
所以，二维幺模幺正矩阵写为
，
独立参量只有3个，与三维转动矩阵相同。

u矩阵实例：二维单位矩阵，以及
，

二维幺模幺正矩阵构成群，称为
二维幺模幺正群，记作SU(2).

二维幺模幺正群与完全转动群
矩阵与正当转动矩阵R之间存在对应关系。
对于 ， 即 ，
下面讨论存在一个u矩阵，同样能够对于
，得到 ，即。

（1）h矩阵
复习泡利自旋矩阵：
，，

（a）h矩阵的引入
h矩阵是泡利矩阵的线性组合，组合系数为
x、y、z
即

记，则
，，
另外 .
（b）用u矩阵，对h作幺正变换：

可以写成
这样就有
实现了
具体对h作幺正变换：
由 ，，得到

记，有

或写作

与二维幺模么正矩阵

对应的三维正当转动矩阵为

（2）R(u)的性质
（a）R(u)是实矩阵
（b）R(u)是转动矩阵（保长变换）
（c）detR(u) = 1
（d）例
例1 若u是对角矩阵
，
取，有

一般的与u对应的三维正当转动矩阵为
与对应的三维正当转动矩阵为

代入，得到

这是绕z轴转动α角的正当转动矩阵.

例2 若u为实矩阵

即、，代入对应的转动矩阵，得到

这是绕y轴转动β角的正当转动矩阵.

（3）SU(2)与SO(3)同态
已知
对应的u矩阵

前面是 若有u，可以得到对应的R；
这里是 对于R，可以得到对应的u.
u与R之间存在对应关系。

2对1的同态关系：

原因：

§3.4 SU(2)群的不可约表示
求SU(2)群的表示
二维幺模幺正矩阵群

群元本身就是群的一个二维表示。
记该二维表示的基为

在群元u作用下，变为

即

下面构造SU(2)群的其他维表示
基函数取为的齐次单项式：
三维表示 ，，
四维表示 ，，，
…
n+1维 ，，，…，，
n+1维表示基函数的一般形式

其中是非负整数。
改写基函数的形式：
（1）记
其中

基函数形式写为
（2）幺正表示要求增加因子

下面计算SU(2)群的各维表示矩阵

另一方面，由于

利用二项式定理 ，有

（令）

其中

这是SU(2)群2j+1维表示的矩阵元，其中

注意：

当j为整数时，，即
群元u与-u对应于同一个表示矩阵。
当j为半奇数时，.

例如：SU(2)群的群元
（对应于）
的2j+1维表示的矩阵元：

表示的性质
（1）以为基函数的表示是么正表示，即.
（2）是2j+1维的不可约表示；
取，是SU(2)群的全部不可约表示。
（3）是SU(2)群的不确实表示。

当j为整数时，，即
群元u与-u对应于同一个表示矩阵。

表示的特征标
SU(2)群的类：
具有相同本征值的矩阵，属于一类。

量子力学（复习）：
（1）幺正变换不改变算符的本征值；
（2）幺正变换不改变矩阵的迹（特征标）。

群元u的本征值方程

即

系数行列式为零，得到

即
群元u的本征值，只与有关；相同的群元具有相同的本征值，属于一类。
取

每一个实的值，确定了SU(2)群的一类；这一类具有相同的.

特征标计算：
取，，群元

计算第j个不可约表示（2j+1维）、具有相同的类的特征标。
表示矩阵元

得到第j个不可约表示的类的特征标

§3.5 双群
SO(3)群与SU(2)群同态：

其中SO(3)的群元与SU(2)的群元

用SU(2)群的不可约表示，作为SO(3)群的不可约表示。
第j个不可约表示矩阵元为

用欧拉角表示为

（3.5-2）
例：
对于绕z轴转过角的转动，上式简化为

对于，和的二维表示，有

所以，SO(3)群元的的二维表示矩阵为

计算表示的特征标：

（3.5-2）
选取绕z轴转过角的群元

表示矩阵元为

得到第j个不可约表示的类的特征标

同态关系小结：
j=半整数

j=整数

即SU(2)群与SO(3)群同态（2对1的关系），
SU(2)群的不可约表示是SO(3)群的不确实表示。

SO(3)群的双值表示
j=半整数时

对应着两个表示矩阵，这种表示称为SO(3)群的双值表示。

双值问题的原因：
与
是两个元，而

是相同的一个元。

双值问题的解决：
把SO(3)群扩大一倍，认为
与
是不同的元。
这样，形式上SU(2)群与新的SO(3)群同构，
SU(2)群的不可约表示是新的SO(3)群的确实表示。即

具体的做法：
（1）定义新的群元，单位元；
（2）产生g个新的群元；
（3）2g阶的群称为SO(3)群的双群SOD(3)。

旋量波函数
电子具有自旋角动量。自旋角动量算符为

电子的总角动量算符为

与有共同的本征函数

其中总角动量量子数。

或写作

称为旋量波函数。
对于一个任意转动

对于绕z轴转α角的转动

下面讨论本征波函数的转动特性

特别地，当时
j=整数， ；
j=半奇数，；.
具有半奇数自旋系统的对称性，要用双群。

作业3和4：第三章习题6、7。

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