直线与方程专题复习(教师).doc

直线与方程专题复习
一、知识归类
1.直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 （.
（2）直线倾斜角的范围是 .
（3）直线过两点的斜率公式为： .
2.两直线垂直与平行的判定
（1）对于不重合的两条直线，其斜率分别为，，则有： ； .
（2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两条直线 .
3.直线方程的几种形式
名称
方程形式
适用条件
点斜式

不表示 的直线
斜截式

不表示 的直线
两点式

不表示 的直线
截距式

不表示 和 的直线

一般式

注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式.
4.几个距离公式
（1）两点之间的距离公式是： .
（2）点到直线的距离公式是： .
（3）两条平行线间的距离公式是： .
二、典型例题
题型一：直线的倾斜角与斜率问题
例1 已知坐标平面内三点.（1）求直线的斜率和倾斜角.
（2）若为的边上一动点，求直线斜率的变化范围.

变式训练1、直线xcos α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　)
A.∪ B.∪ C. D.
2、直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k的取值范围是(　　)
A．－1＜k＜　　　B．k＞1或k＜ C．k＞或k＜1 D．k＞或k＜－1

本题小结：数形结合运动变化是解决数学问题的常用思想方法和观点.当直线绕定点由与轴平行（或重合）位置按逆时针方向旋转到与轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐增大到（即斜率不存在）；按顺时针方向旋转到与轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐减少到（即斜率不存在）.这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围.
题型二：直线的平行与垂直问题
例2 已知直线的方程为，求下列直线的方程, 满足
（1）过点，且与平行； （2）过，且与垂直.

变式训练1、已知直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，则a的值为(　　)
A．0或3或－1　　　B．0或3 C．3或－1 D．0或－1
2、已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)
A．－10　　　　B．－2　　　　C．0　　　　D．8

本题小结：与直线平行的直线方程可设为，再由其 他条件列方程求出；与直线垂直的直线方程可设为 ，再由其他条件求出.
题型三：直线的交点、距离问题
例3 已知直线经过点,且被平行直线所截得的线段的中点在直线上，求直线的方程.

变式训练、已知点P(2，－1)，试求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，并求出原点到直线的最大距离．

本题小结：解此类题目常用的方法是待定系数法，然后由题意列出方程求参数；也可综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线的特征，然后由已知条件写出直线的方程.
题型四：直线方程的应用
例4 已知直线.（1）求证：不论为何值，直线总经过第一象限；
（2）为使直线不经过第二象限，求的取值范围.

变式训练、已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3，4)．(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标．(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程
(1)证明　直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，
由得
∴直线l恒过定点(－2，3)．
(2)设直线l恒过定点A(－2，3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．
又直线PA的斜率kPA＝＝，
∴直线l的斜率kl＝－5.
故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.
本题小结：含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，这里对一般式灵活变形后发现问题是解决问题的关键，在变形后特点还不明显的情况，可研究直线过定点.
【检测反馈】
1.若直线过点则此直线的倾斜角是（ ）.
（A） （B）（C） （D）
2.过点和的直线与过点和点直线的位置关系是（ ）
（A）平行（B）重合（C）平行或重合（D）相交或重合
3.过点且垂直于直线的直线方程为（ ）.
(A) (B) (C) (D)
4.已知点则到两点距离相等的点的坐标满足的条件是（ ）.
（A） （B） （C） （D）
5.直线在同一直角坐标系中的图形大致是（ ）.

6.直线被两直线截得线段的中点是原点，则直线的方程为 .
7.已知若平面内三点共线，则= .
8.过点且纵、横截距的绝对值相等的直线共有（ ）.
（A）1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条
9.已知直线过点，且被平行直线与截得的线段长为，求直线的方程.

﹡﹡10、在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大．
解：设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．
设B′的坐标为(a，b)，
则kBB′·kl＝－1，
即·3＝－1.
∴a＋3b－12＝0.①
又由于线段BB′的中点坐标为，且在直线l上，∴3×－－1＝0，
即3a－b－6＝0.②
①②联立，解得a＝3，b＝3，∴B′(3，3)．
于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.
解得
即l与AB′的交点坐标为P(2，5)．

总结、反思：
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